具有随机捐赠和交易的效用最大化问题

G≥ -M、 a.s.，对于一些M>0。然后，g∈ Cλ（x），当且仅当E[ZTg]≤ x、 f奥利奇Z∈ Zλe（S）。正实数不等式上的效用最大化问题在这一部分中，我们假设代理人对终端财富的偏好由优度函数U：（0，∞) → R、 它是严格递增的，严格凹的，连续可微分的，并且满足不满足的条件：U′（0）：=limx→0U′（x）=∞ 还有你(∞) := 利克斯→∞U′（x）=0。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(∞) > 0以简化分析。定义alsoU（x）=-∞ 每当x≤ 0.假设3.1。效用函数U满足合理的渐近弹性，即AE（U）：=lim supx→∞许′（x）U（x）<1。我们请读者参考[33]了解财务解释和关于先前假设的更多结果。对于效用最大化问题，我们将注意力限制在终端清算财富上，当x>0时，原始p问题是[U（x+VliqT（φ）+eT）]→ 最大值！，φ := (φ, φ) ∈ Aλadm（0）。（3.1）我们表示Cλ：=Cλ（0）。在不丧失一般性的情况下，我们可以用（3.2）Cλ=n k T重写Cλφ = (φ, φ) ∈ Aλadm（0），νT=0o。然后问题（3.1）的值函数定义如下（3.3）u（x）：=supg∈eCλE[U（x+g+eT）]，其中seteCλ由上述预期明确的Cλ元素组成。最后，为了排除琐碎的情况，我们有以下假设，即u（x）<∞ 由于u.假设3.2的凹陷性。

对于某些x>ρ，值函数u（x）的值是确定的。让我们表示V:R+→ R由v（y）定义的U（x）的凸联合函数：=supx>0{U（x）- xy}，y>0。很明显，V（y）是严格递减的、严格凸的、连续可微且满足的V（0）=U(∞), 五(∞) = U（0）。我们还定义了一：（0，∞) → (0, ∞) U′在（0，∞), 这是严格下降的，并且满足I（0）=∞, 我(∞) = 0和I=-V′。效用最大化，随机捐赠，交易成本7考虑对偶问题到（3.3），通常的对偶空间isMλa:=nZT∈ L（Z，Z）∈ Zλa（S）o，是L的子集。根据[10]，该子集相对较小，以保持问题的对偶优化器的连续定义。因此，我们通过在大空间ba=（L）上完成来扩展它∞)*, L的对偶空间∞, 定义以下ba子集，其配备弱星拓扑σ（ba，L∞),Dλ：=Q∈ ba+kQk=1和hQ，gi≤ 0，为所有g∈ Cλ∩ L∞,和Dλ，r：=Dλ∩ 五十、 其中r代表常规。我们注意到Dλ是明显凸的，并且σ（ba，L）也是凸的∞)-由阿洛格鲁定理压缩。自从-L∞+ Cλ，我们看到Dλ ba+。每个Q∈ ba+，它允许一个独特的吉田-休伊特分解，形式为Q=Qr+Qs，其中正则部分Qr是可数可加部分，Qs是纯可加部分。此外，我们定义了X∈ 五十、 从下面开始，Q∈ ba+，总部，Xi：=limn→∞总部，X∧ 镍∈ [0，∞].然后，我们观察到，对于每个g∈ Cλ，hQ，gi≤ 0，为所有g∈ Cλ和Q∈ Dλ。现在我们用（3.4）v（y）：=infQ来定义对偶优化问题∈DλE五、ydQrdP+ yhQ，eTi.以下定理是[10，定理3.1]在无摩擦情况下的对应定理。正如[13]所述，交易成本的存在不会改变primaland双域的功能结构。定理3.3。

在假设2.1、2.8、3.1、3.2下，我们有（1）u（x）<∞ 为了所有的x∈ R和v（y）<∞ 对于所有y>0。（2） 原始值函数u在（x，∞) u（x）=-∞对于所有x<x，其中x:=-v′(∞) = supQ∈DλhQ，-埃蒂。双值函数在（0，∞).（3） 函数u和v在v（y）=supx>x{u（x）的意义上是共轭的- xy}，y>0，u（x）=infy>0{v（y）+xy}，x>x.（4）对于所有y>0，存在一个解bxy∈ Dλ到对偶问题，这是唯一的单部分。对于所有x>x，bg:=IbydbQr^ydP- 十、- Eti是主问题的解，其中by=u′（x），它达到了{v（y）+xy}的最大值。证据这个定理的证明应以与[10]相同的方式进行，因此我们省略了细节，但强调交易成本的新结果是否适用。对详细讨论感兴趣的读者请参考[21]。首先，我们通过回顾对偶问题[13]的性质和随机禀赋的有界性，观察到v是有限值。然后，拿起一个最小序列8林一清和杨俊坚（Qn）n∈关于问题（3.4）。由于Dλ是凸的弱星紧的，我们可以用[10，引理A.1]通过（eQn）n的簇点构造bq∈N、 （Qn）N的凸组合的一个子序列∈N、 使dbqrydp=f=limn→∞德克兰德潘·赫克恩-→ hbQ，eTi。多亏了[33，引理3.2]，sequencenV的负部分ydeQrndP在…上∈Nis一致可积，因此Fatou引理适用于证明BQ的最优性。很明显，由于V的凸性，值函数是凸的，而且，对偶运算timizerbQ不等于奇异部分。值函数v的可微性及其定量性质可以通过[10，引理4.2，引理4.3]来推导。

特别是，对于y>0，（3.5）v′（y）=-*Bkry，IydbQrydP！++hbQy，eTi。然后，对于每个x>x:=-v′(∞), 存在唯一的by>0，使得v′（by）+x=0，by达到{v（y）+xy}的最大值。为了简单起见，表示bq:=bQby。让我们考虑一下bg:=IbydbQrdP！- 十、- 从（3.5）可知（3.6）-x=v′（by）=-*bQr，IbydbQrdP++DbQ，eTE=-DbQr，x+bgE+DbQs，等等。与[10，引理4.4]类似，我们可以证明UPQ∈Dλ{hQr，x+bgi- hQs，eTi}=hbQr，x+bgi- hbQs，eTi=x，这意味着hQ，x+bgi≤ x、 bgi总部≤ 0，对于每个Q∈ 特别是博士，我们得到了E[ZTg]≤ 0，作为{ZT|Z∈ Zλe（S）} 显然，bg是从下方有界的，然后通过定理2.9我们得到bg∈ Cλ。由于I（·）的严格正性，我们知道x+bg+eT>0，thushbQ，eTi+x=hbQr，x+bg+eTi≤ hbQ，x+bg+eTi≤ hbQ，eTi+hbQ，xi≤ hbQ，eTi+x。然后，从U和V之间的共轭性质和bg的定义，我们得到了U（x）≥ E[U（x+bg+eT）]=E“VbydbQrdP！+bydbQrdP（x+bg+eT）#=E”VbydbQrdP！#+byhbQ，eTi+xby=v（by）+xby≥ u（x）、效用最大化、随机捐赠、交易成本9，其中最后一个不等式可由交易成本下的超级复制定理（theorem 2.9）加以验证。证据是完整的。4.最优投资当财富可能为负时，在本节中，我们考虑效用函数U:R的问题→ R、 在实线上的任何地方都有明确的价值。我们通常假设U是连续可微的、严格递增的、严格凹的，并且满足以下条件：U′(-∞) := 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) := 利克斯→∞U′（x）=0。我们还假设函数U具有[38]中定义的合理渐近弹性。假设4.1。

函数U:R→ 满足合理的渐近弹性，即AE-∞（U） ：=lim infx→-∞xU′（x）U（x）>1和AE+∞（U） ：=lim su px→∞许′（x）U（x）<1。（4.1）本节的目的是研究优化问题（4.2）E[U（x+g+eT）]→ 最大值！，G∈ Cλ，其中Cλ在上一节中定义为所有可容许清算价值的集合（见定义2.5和（3.2））。然后，相应的值函数g由u（x）：=supg给出∈CλE[U（x+g+eT）]。正如[14]中指出的，一旦效用函数支持负财富，即使没有随机禀赋，也可能无法在Cλ中获得（4.2）的最优值（与无摩擦情况下的[38,35]相比）。因此，与[14,6]类似，我们考虑了扩大集Cλ上的优化问题（4.2），定义如下：CλU:=（g∈ L（P；R）∪ {∞}){gn}n∈N Cλs.t.U（x+gn+eT）∈ L（P）和u（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT））。显然，原始域的扩大不会改变最优值，即（4.3）E[U（x+g+eT）]→ 最大值！，G∈ CλU，yieldsu（x）=supg∈CλE[U（x+g+eT）]=supg∈CλUE[U（x+g+eT）]。特别是，U（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT）意味着gn→ g在P中，因为u严格地在增加。为了排除不重要的情况，我们将做出以下假设，即u（x）的值是确定的。假设4.2。

值函数满足u（x）<u(∞), 为了一些x∈ R.10林一清和杨俊建为了建立（4.2）的对偶问题，我们引入了U（x）：V（y）：=supx的共轭函数∈RU（x）- xy, y>0，这是一个连续可微的严格凸函数，满足V（0）=U(∞), 五(∞) = ∞, V′（0）=-∞, V′(∞) = ∞.我们还有公式v（y）=UI（y）- yI（y），其中I是反函数（U′）-1，等于-V′。在不丧失普遍性的情况下，我们假设在U（0）处的th>0，然后可能向U添加一个常数。这意味着V（y）的严格正性，这确保了结果[38，推论4.2]。现在，我们可以确定双重问题。（4.4）v（y）：=inf（Z，Z）∈Zλa（S）EV（yZT）+yZTeT= infZT∈MλaEV（yZT）+yZTeT.备注4.3。尽管如此，g∈ Cλ，y>0和（Z，Z）∈ Zλa（S），根据超复制理论下的交易成本（定理2.9），我们有[U（x+g+eT）]≤ EV（yZT）+yZT（x+g+eT）,因此（x）≤ infy>0{v（y）+xy}。下面是本文的主要结果：定理4.4。在假设2.1、2.8、4.1和4.2下，并且S是局部有界的，我们有（1）值函数u（分别为v）是整值函数，严格凹（分别为凸），连续可微分函数定义在R（分别为R+）上。函数u和v是共轭的且满足于‘(-∞) = ∞, u′(∞) = 0，v′（0）=-∞, v′(∞) = ∞.此外，函数u具有合理的渐近弹性。（2） 当y>0时，最优解bzt（y）∈ 对偶问题（4.4）存在且唯一。

地图y 7→bZT（y）在变化范数中是连续的。（3） 为了x∈ R、 原始问题（4.2）的最优解bg（x）存在于CλU中，它是唯一的，且满足esx+bg（x）+eT=IbybZT（by）,其中by=u′（x）。（4） 我们有边际效用的公式：v′（y）=EhbZT（by）V′bybZT（by）+ eT我u′（x）=EU′（x+bg（x）+eT）;xu′（x）=Ex+bg（x）U′（x+bg（x）+eT）.效用最大化、随机禀赋、交易成本11根据[38,35]的规定，证明了该定理由连续逼近组成。我们首先构造一个递增序列（Un）n∈N、 这样每N∈ N、 oUn=U on[-N∞);o -∞ < 联合国≤ 继续(-（n+1），-n） Un=-∞ 在(-∞, -（n+1）；oUnis增加，严格凹面，持续变化(-（n+1），∞), 和满足极限→-（n+1）Un（x）=-∞, 利克斯→-（n+1）U′n（x）=∞.为y定义≥ 0，Vn（y）：=supx∈R{Un（x）- xy}=Un（In（y））- yIn（y），其中In:=（U\'n）-1= -V′n.在不丧失一般性的情况下，我们可以选择序列（Un）n∈N、 这种依赖于N的常数C同时对V和所有Vnin的估计有效[38，推论4.2]。De fineeun（ex）：=Un前任- （n+1）, 对于ex>0和s atis in a condition在0和+∞, 并给出了合理的渐近弹性条件+∞. 一方面，我们考虑以下效用最大化问题，对于ex>ex，（4.5）eun（ex）：=supg∈CλEheUn（ex+g+eT）i，它有唯一的最优解egn（ex）∈ Cλ。另一方面，（4.5）的对偶问题由（4.6）evn（y）：=infQ表示∈DλEeVnydQrdP+ yhQ，eTi,伊夫是伊恩的共轭体。应用上一节中的定理3.3，我们知道对于y>0，存在唯一解bqn（y）∈ Dλ到问题（4.6），而且，forby=eu′n（ex），egn（ex）=-eV\'nbydbQrn（by）dP！- 前任- 等。表示ex:=x+n+1。

通过定义（4.7）un（x）：=supg，我们将效用最大化问题向后转移∈Cλ[Un（x+g+eT）]=eun（ex）。显然，上述问题的唯一解bgn（x）：=egn（ex）和moreoveru′n（x）=eu′n（ex）。然后，u的共轭门由（4.8）vn（y）=infQ给出∈DλEeVnydQrdP+ yhQ，eTi+ （n+1）y.12林毅清和杨俊坚考虑到Vn（y）=eVn（y）+（n+1）y，我们有（4.9）Vn（y）=infQ∈DλE越南ydQrn（y）dP+ y hQn（y），eTi+（n+1）y1.- EdQrn（y）dP.总之，对于by=u′n（x）=eu′n（ex），唯一解bqn（by）解（4.6）也是（4.8）和（4.9）的解。此外，（4.7）的解允许（4.10）x+bgn（x）+eT=-V′nydbQrn（y）dP！。对于固定y>0，vn（y）在n中增加≤ V和Mλa Dλ，我们有（4.11）vn（y）=infQ∈DλE越南ydQrdP+ y总部，eTi+（n+1）y1.- EdQrdP≤ infZT∈MλaE五、yZT+ yZTeT= v（y），这意味着vn由v控制。因此，我们现在可以定义函数v∞（y） ：=林→∞vn（y），y>0，它后来被证明是函数v。此外，我们可以通过应用[38，推论4.2]来证明∞被v完全重视和支配，与[35，引理2.2]相同。定理4.4的证明。证明的第一步是考虑vn（yn）的收敛性→五、∞（y） ，作为n→ ∞, 提供∈n在v域中与y相交∞. 这可以通过回顾[35，引理2.3]来证明。特别是，对于每个yn，用bybQn（yn）表示∈ Dλ对偶问题vn（yn）的对应解。沿着[35，引理3.1]的直线，我们可以证明存在一个度量Q（y），使得（4.12）dbQrn（yn）dPL（P）----→dbQ（y）dp和kdbQ（y）dPkL（P）=1。表（4.12），很明显BQN（yn）ba-→bQ（y）。在下面的内容中，我们将证明存在一个耦合bz（y）：=bZ（y），bZ（y）∈ Zλa（S）使得bzt（y）=dbQ（y）dP。我们认为集合Dλ是σ（ba，L）∞)-Mλa的闭包。

实际上，我们只需要证明λaσ（ba，L∞) Dλ。假设存在一个元素eq∈ Dλ满足eq/∈Mλaσ（ba，L∞).由于Mλa的凸性，它的σ（ba，L∞)-closureMλaσ（ba，L∞)它也是凸的。根据HahnBanach定理，存在f∈ L∞, 这样heQ，fi>α和hq，fi≤ α, Q∈Mλaσ（ba，L∞),效用最大化，随机捐赠，交易成本∈ R.特别是E[ZTf]≤ α代表所有ZT∈ Mλa，由定理2.9f得出∈ Cλ（α），因此f- α ∈ Cλ。通过定义Dλ，我们得到了heq，f- αi=heQ，fi- α ≤ 0，这与heQ，fi>α的事实相矛盾。然后，根据[22，命题A.1]，存在一个序列锌，0T（y）N∈N Mλa，使得zn，0T（y）以概率收敛到bq（y）dPin。像锌，0T（y）L（P）=dbQ（y）dPL（P）=1，遵循舍夫引理，Zn，0T（y）在L（P）中收敛到bq（y）dp。通过下面的引理4.5，我们推导了dbq（y）dP∈ Mλa.因此，我们得到一个耦合bz（y）：=bZ（y），bZ（y）∈ Zλa（S）使得bzt（y）=dbQ（y）dP。根据[35，推论3.2.（i）]的证明，我们可以显示地图y7→bZT（y）在L（P）-正态中是连续的→∞vn（yn）=v（y）=EhVybZT（y）+ ybZT（y）eTi和thusbZT（y）∈ Mλais是对偶问题（4.4）的唯一极小值。对偶值函数v是严格凸的。从现在起，通过遵循[35，定理1.1]的证明，我们可以类似地展示其他断言。引理4.5。关于L（P）-拓扑，集合Mλais是闭合的。证据考虑一下顺序锌，0吨N∈N Mλa，与绝对连续一致价格系统Zn有关：=（Zn，0t，Zn，1t）0≤T≤T∈ Zλa（S）。此外，假设（4.13）Zn，0TL（P）----→ ZT，有些ZT∈ L（P）。我们现在展示ZT∈ 注意，对于每个n，这对过程（Zn，0，Zn，1）是非负的局部鞅，因此是超鞅。

根据[15，定理2.7]，存在一个序列（eZn，0，eZn，1）n∈N、 它是（Zn，0，Zn，1）N的凸组合的子序列∈N、 也就是说，（eZn，0，eZn，1）∈ 卷积和多项式相乘（锌，0，锌，1），（锌+1,0，锌+1,1），··此外，还存在两个非负的可选强超鞅（bZ，bZ）（不一定是c`adl`ag，cf[18，Append ix I]），使得f或每[0，T]值的停止时间σ，我们有（4.14）eZn，IσP-→bZiσ，as n→ ∞, i=0，1。由于集合Zλa（S）在可数凸组合下是闭合的（参见[13，引理a.1]），因此我们对每个n∈ N、 （eZn，0，eZn，1）∈ Zλa（S），特别是eZn，0是鞅。从（4.13）开始，eZn，0T收敛于tobZTin L（P）。因此，我们可以用Fatou引理证明bzi是一个鞅，明显地，bZT=ZT。此外，对于每[0，T]值的停止时间τ，序列eZn，0τN∈Nis一致可积。14林一清和杨俊坚是当地人，而且（eZn，1）n∈如果是一个局部鞅序列，可以选择一个停止时间序列（τm）m∈九增加，几乎肯定会收敛到∞, 使得每个停止的过程Sτ有界，对于每个n，eZn，1·∧τmis是鞅。来自（2.2），韦哈韦兹，1≤eZn，0秒。因此，对于每一个m，eZn，1τmN∈Nis一致可积，这意味着Ezn，1τmc收敛于tobZτmin L（P）和Zn，1·∧τmis是鞅。因此，我们得出结论（bZ，bZ）∈ Zλa（S），通过观察（2.2）满足（bZ，bZ）。我们现在考虑的问题是，在交易成本λ下，是否存在一种自我融资的交易策略（bа，bа），以实现解决方案bg（x）到（4.2），即VliqTb~n= bg（x）。如[14]所述，我们对所有可实现的交易策略的λU（x）定义如下。我们只需注意AλUby AλU（0）。定义4.6。