具有随机捐赠和交易的效用最大化问题

如果交易策略是一种可预测的、有限的变化，我们称之为交易策略，从（ν，ν）=（x，0）开始，满足λ-自我融资条件（2.1），并且存在一个序列（νn，0，νn，1）n∈N Aλadm（x）使UVliqT（νn）+eT∈L（P），UVliqT（νn）+eTL（P）-----→ UVliqT（ν）+eT安德夫~nn，0t，~nn，1t→~nt，~nt, T∈ [0，T]i=1。提案4.7。除了定理4.4的假设之外，我们进一步假设，对于某些λ′∈ （0，λ），存在λ′-一致价格系统Z、 Z∈ Zλ′e（S），如此五、yZT< ∞,对于某些>0的人。那么原始问题（4.3）的解决方案是可以实现的，即存在b~n，b~n∈ 一个λ通常指的是VliqTb~n= bg（x），而对偶优化器（bZ，bZ）属于Zλe（S），即（bZ，bZ）是一个λ一致的价格系统。证据根据定理4.4，存在一个序列（φn，0，φn，1）N∈N Aλadm使得（4.15）Ux+VliqT（νn）+eTL（P）-----→ Ux+bg（x）+eT.然后，forS:=ZZ，过程Zt（x+n，0t+n，1ST+Ant）0≤T≤这是一个非常有趣的故事∈ N、 地点：=（λ）- λ′）ZtSud~nn，1，↓u、 事实上，通过部件集成，我们可以编写Ex+~nn、0t+~nn、1ST+Ant=x+~nn、0t+Zt~nn、1udSu+ZtSud~nn、1u+Ant。效用最大化、随机捐赠、交易成本（1）- λ） 苏≤ 苏≤ 通过λ-自融资条件（2.1），我们得到了φn，0t- ~nn，0s+ZtsSud~nn，1u+Ant- Ans≤ -ZtsSud~nn，1，↑u+Zts（1- λ） 南欧，1，↓u+ZtsSud~nn，1u+Zts（λ- λ′）Sud~nn，1，↓u=-中兴通讯苏-苏d~nn，1，↑U-中兴通讯苏- (1 - λ′）Sud~nn，1，↓U≤ 0，为所有人0≤ s<t≤ 因此过程（Bnt）为0≤T≤T:=~nn，0t+RtSud~nn，1u+Ant0≤T≤这是不增加的。它遵循Bayes法则，即在measureQ下的局部martin gale~ P由dqdp定义：=ZT。由于φn，1是有限变化的，因此是局部有界的，所以余弦积分φn，1oS是Q下的局部鞅。因此，x+~nn，1oSt+Bntisa本地超级艺术家。

再次使用贝叶斯规则，我们得到Ztx+n、0t+n、1ST+Ant0≤T≤T=Ztx+~nn，1oSt+Bnt0≤T≤这是P.项下的一个局部超级鞅，因为（n，0，n，1）∈ Aλadm，我们有x+n、0t+n、1ST+Ant≥ZtVliqt（νn）≥ -MnZt，对于一些Mn≥ 0.由于zi是一个真正的鞅，过程Ztx+n、0t+n、1ST+Ant0≤T≤这是P下的一个真正的超马尔可夫，它特别暗示了eZTx+n，0T+AnT≤ x、 和（4.16）EZTx+n，0T+AnT+eT≤ x+ρ，对于所有n∈ N.利用芬切尔不等式和U的单调性，我们可以估计出x+VliqT（νn）+AnT+eT≥ Ux+VliqT（νn）+eT- 五、yZT.假设我们有VyZT∈ L（P），然后是（4.15）yZTx+VliqT（νn）+AnT+eT-N∈Nis一致可积。与（4.16）一起，我们得到了序列yZTx+VliqT（νn）+AnT+eTN∈nisl（P）有界。它由zt>0和VliqT（~nn）P得出-→ bg（x），该conv{AnT；n∈ N} 在L（P）中有界。因为在Q下是非负的局部马丁盖尔，所以也是非负的超马丁盖尔，我们在0中看到≤U≤TSu≥ inf0≤U≤TSu>016林一清和杨俊建[18，定理VI-17]。这意味着conv{VarT（~nn，1）；n∈ N} 在L（P）中有界，因此conv{VarT（~nN，0）也是如此；N∈ N} 。根据[8，命题3.4]，存在一个序列eаn，0，eаn，1∈ 卷积和多项式相乘~nk，0，~nk，1; K≥ N凸组合与可预测p过程b~n，b~n有限的变化，如pH值e k n，0t，e k n，1t→b k t，b k t, T∈ [0，T]i=1。这意味着（bа，bа）是一种λ-自我融资交易策略，因此VliqTb~n= bg（x），因此（bа，bа）∈ AλU.因为bg（x）=VliqT（b~n）<∞, 我们有bybzt（by）=U′x+bg（x）+eT> 根据我的情况。因此，（bZ，bZ）∈ Zλe（S）。5.

影子价格对于具有比例交易成本的效用最大化问题，已经观察到，具有交易成本的原始市场有时可以被无摩擦的影子市场所取代，该市场产生相同的最优策略和效用。在本节中，我们将研究上一节中考虑的效用最大化存在这样一个有效市场。特别是，我们首先通过问题的双优化器（4.4）构建经典意义上的影子价格。然后，我们引入了影子价格过程的一个广义定义，并证明了每当效用最大化问题可以通过对偶方法解决时，这种过程总是存在的。首先，我们将经典意义上的影子价格过程定义[14，定义2.2]调整为随机捐赠。定义5.1。半鞅=美国东部时间0≤T≤这被称为影子价格，如果（i）eS在买卖价差中取值[1]- λ） S，S]；（ii）解决方案bh=必和必拓0≤T≤t无摩擦效用最大化问题（5.1）u十、锿:= 嘘∈AU锿EUx+HoeST+eT,存在于[35]的意义上，其中AU锿表示存在序列（Hn）n的所有可积可预测过程的集合∈Nof允许的无交易成本的自我融资交易策略x+（HnoeS）T+eT∈ L（P）andUx+（HnoeS）T+eTL（P）-----→ Ux+（HoeS）T+eT;（iii）针对无摩擦问题（5.1）的最优交易策略与针对效用最大化问题（4.3）的股票持有量一致，交易成本如下：bHoeST=bg（x）=VliqT（b~n）。效用最大化，随机捐赠，交易成本17一般来说，经典影子价格（如果存在）允许我们通过解决无摩擦效用最大化问题（5.1）来获得效用最大化问题（4.3）的最优交易策略。

值得注意的是，交易费用产生的预期效用高于交易成本下的交易。因此，影子价格是一个最不利的无摩擦市场，存在于买卖过程中。此外，由于Bh和b的重合，影子市场中问题（5.1）的最优策略bh具有有限的变化。此外，他们都只交易出价或要价的IFB，即。，d b~n>0bS=S和d b~n<0bS=（1）- λ） S.我们请读者参考[13]了解上述概念的详细信息。以下命题为影子价格的存在提供了充分条件，特别是，这是由具有有限V-期望的λ′一致价格系统的存在所保证的，其中0<λ′<λ。提议5.2。在定理4.4的假设下，假设原始问题（4.3）的解bg（x）是可得的，且解bz：=bZ，bZ对偶问题（4.4）属于Zλe（S），即bZ是λ-相容价格系统。然后，bybS:=BZBZI定义的过程在定义5.1的意义上是问题4.3的影子价格。证据通过假设b~n是可实现的，我们知道存在一系列允许的λ-自我融资交易策略~nn，0，~nn，1N∈令人满意的（5.2）Ph值~nn，0t，~nn，1t-→b k t，b k t, T∈ [0，T]i=1和（5.3）Ux+n，0T+eTL（P）-----→ Ux+bg（x）+eT.通过弗雷切尔共轭，以及E[bZTx+bg（x）+eT] < x+ρ，我们可以用类似于命题4.7的方式表示bybZTx+n，0T+eT-N∈Nis一致可积。由于eT的有界性，我们bybZTx+n，0吨-N∈nis也是一致可积的。然后，证明的方式与[14，命题3.3]的相同。特别是，我们有bZt（x+bаt）+bZtbаt0≤T≤这是P下的超鞅，因为它是超鞅序列的极限。

由于定理4.4（4），我们得到了moreoverx=EhbZTx+b~nTi、 从中我们可以得出结论bZt（x+bаt）+bZtbаt0≤T≤这是第18页林一清和杨俊建的鞅，我们用分部积分得到了那个bztx+b~nt+bZtb~nt=bZtx+b~nt+b~ntbSt=bZtx+b k bT-Zt苏-bSud b k 1，↑U-ZtbSu- (1 - λ） 苏d b k 1，↓U=:bZtx+b k bT- 在.正如在[14，命题3.3]的证明中一样，我们可以证明bzx+b~nobS是一个局部鞅，a是递增的，这意味着≡ 0和fur thermored b~n>0bS=S和d b~n<0bS=（1）- λ） S.很明显，美国十、学士学位≤ E[V（yZT）+yZTeT]+xy，对于y>0和ZT∈ Za学士学位. 像bZ，bZ∈ Zλe（S），我们得到bzi是无摩擦过程b的一个等价局部鞅测度的密度过程，因此ehvbybZT+ bybZTeTi+xby=u（x）≤ U十、学士学位≤ 超高压bybZT+ bybZTeTi+xby。根据无摩擦对偶定理[35，定理1.1]，by和bzis是无摩擦对偶问题的优化器，而且，x+（b~nobS）T+eT=x+bg（x）+eT=-V′bybZT是无故障问题（5.1）的最优终端财富。由于b~nobS是dbqdp:=bZT给出的阿马丁格尔低于q，我们得出b~n必须是AU中的最优策略十、学士学位根据[35，T heorem 1.1.（v）]。总之，对于交易成本下的效用最大化问题（4.3），价格过程B是定义5.1意义上的影子价格。如[14]所述，美国(∞) = ∞ 是命题5.2中经典影子价格存在的一个充分条件，这意味着BZ∈ Zλe（S），从而得到命题4的结果。7点。当你(∞) < ∞ , 我们观察到，原始问题（4.3）的解决方案不一定是可以实现的，也就是说，可能不存在最优的λ-自融资交易策略（bа，bа），使得bаT=bg（x）。

然而，对偶问题的解（bZ，bZ）总是局部鞅（绝对连续一致价格系统）。我们可以定义以下广义影子价格，它只会导致与交易成本下相同的最优效用。定义5.3。我们保留定理4.4的所有设置。A半鞅=（eSt）0≤T≤对于优化问题（4.2），如果（i）过程取值i n[（1），则称为广义影子价格- λ） S，S]。（ii）解决方案∈ CU（eS）到相应的无约束效用最大化问题（5.4）u（x；eS）：=supg∈CU（eS）E[U（x+g+eT）]效用最大化、随机捐赠、交易成本19存在并与最优解bg一致∈ CλUto（4.2）在交易成本下，其中cu（eS）：=（g）∈ L（P；R）∪ {∞})gn∈ C（eS）s.t.U（x+gn+eT）∈ L（P）和u（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT）），和c（eS）：={g∈ L | g≤ （HoS）t对于一些可容许的组合H}。备注5.4。在效用最大化p问题的对偶定理中，效用函数定义在正实线上，最优交易策略b的存在性∈ λadmfollows直接来自对偶优化器bg的存在性∈ Cλ。因此，在影子价格的经典定义中，要求无价格影子市场中的最优交易策略也是原始市场中具有交易成本的最优交易策略是很自然的。对于在整条实线上定义效用函数的问题，我们通常没有办法找到最优策略。这就是我们以这种方式定义广义影子价格的动机。定理5.5。由（2.2）定义的与解（bZ，bZ）相关的半鞅∈对偶问题（4.4）的Zλa（S）是由上述定义得到的广义影子价格。证据

从CU（bS）和C（bS）的定义中，我们知道u（x；bS）=supg∈C（bS）E[U（x+g+eT）]。自Cλ C（bS），然后（5.5）u（x）=supg∈CλE[U（x+g+eT）]≤ 苏普格∈C（bS）E[U（x+g+eT）]=U（x；bS）。此外，（5.6）D（bS）：=Q∈ 文学士kQk=1和hQ，gi≤ 0代表所有g∈ C（理学士）∩ L∞Q∈ 文学士kQk=1和hQ，gi≤ 0代表所有g∈ Cλ∩ L∞= Dλ。让我们通过：=u′（x）。现在考虑以下值函数v（by；bS）：=infQ∈文学硕士（bS）E五、bydQdP+ bydQdPeT.根据[22，推论A.2.]，函数v（·）的公式相当于（5.7）v（by；bS）=infQ∈D（理学士）E五、bydQrdP+ byhQ，eTi.然后，我们从（5.6），（5.8）v（by；bS）推导出≥ infQ∈DλE五、bydQrdP+ byhQ，eTi= v（by）。As（bZ，bZ）∈ Zλa（S），我们有一个由dbqdp=bZT定义的测度bQ，它是一个绝对连续的鞅测度，即bQ∈ 文学硕士（理学士）。因此，我们推断bzta fortiori是20 YIQING LIN，而JUNJIAN Yangjin是v（by；bS）的优化器。特别地，v（by）=v（by；bS）。根据定理4.4，芬切尔定理和（5.5），（5.9）u（x）=v（by）+xby=v（by；bS）+xby≥ infy>0nvY学士学位+ xyo≥ u（x；bS）≥ u（x），因此初值函数重合。在无摩擦市场，我们有一个后验概率（x；bS）<U(∞). 通过原解的唯一性和Cλ C（bS）是（5.4）的原优化问题，它是唯一的，并且与优化问题（4.2）的原优化问题一致。备注5.6。在上述定理中，不清楚影子市场B是否存在等价鞅测度，除非e（bZ，bZ）严格为正。

Westress表示，在假设Ma（bS）6=:u（x；bS）≤ infy>0nvY学士学位+ xyo。事实上，这源于芬切尔不等式和无摩擦环境下超复制理论的简单部分，可以在较弱的假设Ma（bS）6=.此外，我们观察到不存在二元性缺口，即u十、学士学位= 五、通过学士学位+ xby=infy>0nvY学士学位+ xyo，并且在影子市场中至少存在一个原始优化器（可能无法通过交易策略获得）和一个du-al优化器，这两个优化器与原始市场中具有交易成本的优化器一致。备注5.7。事实是BZT∈ Mλa（或Mλe）是对偶问题的唯一解lem（4.4）并不意味着偶（bZ，bZ）的唯一性∈ Zλa（S）（或Zλe（S））。换句话说，影子价格过程不必是唯一的。相反，下面的结果表明，如果（广义）影子价格bS作为上述价格存在，并且满足我（bS）6=, 它必然来自于一个双极小值。（比较[13，命题3.8]。）提议5.8。如果（广义）影子价格B如上所述，且满足我（bS）6=,然后存在一个P-鞅bZ，这样（bZ，bZbS）∈ Zλa（S）是对偶问题（4.4）的一个解。证据选择Q∈ 文科硕士学士学位用Z表示它的密度过程。很明显，（Z，Z）：=Z、 ZbS∈ Zλa（bS）。此外，马学士学位 Mλa和[38，Th eorem 2.2]，我们有u（x）=v作者（x）+ xby（x）≤ 五、作者（x；bS）+ xby（x；bS）≤ 五、由（x；bS）；学士学位+ xby（x；bS）=u（x；bS）=u（x），这意味着（x）=by（x；bS）和v作者（x）= 五、由（x；bS）；学士学位, 因此bZ，bZ:=bZ，bZbS∈Zλa（S）是摩擦对偶问题（4.4）的解，其中bz∈ 文科硕士学士学位是影子价格过程的无摩擦对应物的解决方案。效用最大化，随机捐赠，交易成本21备注5.9。

假设我（bS）6= 确保我们可以将[38，定理2.2]的结果应用于具有B的无价格市场，特别是我们可以推导出以下等式V由（x；bS）；学士学位+ xby（x；bS）=u（x；bS）。从所谓的“面子提升定理”可知，在交易成本下，从超复制参数获得的操作价格的界限只是微不足道的界限。（例如参见[24]。）因此，在存在交易成本的情况下，su再应用的概念在经济上没有意义。然而，在存在交易成本的情况下，效用差异价格的概念具有良好的经济意义。（例如，参见[27]。）我们现在用ueT（x）代替u（x）来表示价值函数，以强调对eta的依赖，并注意到没有随机禀赋的效用最大化问题的价值函数。效用差异价格是ET的解决方案p（x）十、- p（x）= u（x）。让我们考虑一下指数效用函数u（x）=- 经验(-γx），x∈ R、 其中γ>0表示绝对风险规避参数。在这种情况下，使用dualityresult，我们可以得到基于效用的价格的对偶公式。对于指数效用函数U（x），我们有v（y）=yγ日志γ- 1., y>0。引理5.10。对于指数效用函数，我们有thatueT（x）=infZT∈MλaUγEZTlogZT+ EZTeT+ 十、,为了所有的x∈ R.上述引理的证明来自定理4.4，类似于[6，命题11]中的证明，因此我们省略了它。现在，我们将介绍ET5.11提案中基于效用的定价。为了所有的x∈ R、 基于效用的eTequalsp（x）=U价格-1.ueT（x）- U-1.u（x）= infZT∈MλaEhZTγ测井曲线ZT+ ZET+xi+supZT∈MλaEh-γ测井ZT- xi证据

根据指数函数的特殊性质，我们得到（5.10）ueT（x+w）=e-γwueT（x）。尤其是，ueT（x）=e-γxueT（0），它跟在thatlimx后面→-∞ueT（x）=-∞ , 利克斯→∞ueT（x）=0.22林一清和杨俊建由于ueT是凹的、连续的且严格递增的，所以方程ueT（x）存在一个解- p） =u（x），用p（x）表示。到（5.10）我们又有了这个经验γp（x）ueT（x）=ueT十、- p（x）= u（x）。断言之后是一个简单的计算和引理5.10。推论5.12。在定理4.4的假设下，基于效用的定价可以通过影子市场上对偶问题的解来表示，即p（x）=infZT∈MλaEhZTγ测井曲线ZTγ-ZTγ+ZTeTi- infZT∈MλaEhZTγ测井曲线ZTγ-ZTγi=v1.bS（x；eT）- 五、1.学士（x）,其中，bs（x；eT）是与问题（4.2）相对应的广义影子价格，其中bs（x）是与问题（4.2）相对应的广义影子价格，其中问题（4.2）有x，但没有随机禀赋。备注5.13。广义影子价格的选择不会改变上述结果。参考文献[1]E.Bayraktar和X.Yu。具有随机禀赋和交易成本的最优投资：二元理论和影子价格。预印本，2015年。[2] G.Benedetti和L.Campi。具有比例交易成本和随机捐赠的多元效用最大化。暹罗控制与优化杂志，50（3）：1283-13082012。[3] G.Bened etti、L.Campi、J.Kallsen和J.Muhle Karbe。关于影子价格的存在。《金融与随机》，17（4）：801–81818，2013年。[4] S.比亚基尼和M.弗里特利。不完全市场中无界过程的效用最大化。《金融与随机》，9（4）：493-5172005。[5] S.比亚基尼、M.弗里泰利和M.格拉塞利。一般半鞅的不同价格。《数学金融》，21（3）：423-4462011。[6] B.布查德。比例交易成本下实线效用最大化。