具有随机捐赠和交易的效用最大化问题

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英文标题：
《Utility maximization problem with random endowment and transaction
  costs: when wealth may become negative》
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作者：
Yiqing Lin and Junjian Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study the problem of maximizing expected utility from the terminal wealth with proportional transaction costs and random endowment. In the context of the existence of consistent price systems, we consider the duality between the primal utility maximization problem and the dual one, which is set up on the domain of finitely additive measures. In particular, we prove duality results for utility functions supporting possibly negative values. Moreover, we construct the shadow market by the dual optimal process and consider the utility based pricing for random endowment.
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中文摘要：
本文研究了具有比例交易成本和随机捐赠的终端财富的期望效用最大化问题。在一致价格系统存在的背景下，我们考虑了原效用最大化问题和对偶效用最大化问题之间的对偶性，对偶效用最大化问题建立在有限可加测度域上。特别地，我们证明了效用函数可能支持负值的对偶结果。此外，我们利用对偶最优过程构造了影子市场，并考虑了基于效用的随机捐赠定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Utility_maximization_problem_with_random_endowment_and_transaction_costs:_when_w.pdf (302.02 KB)

2022-5-11 14:08:52 上传

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关键词：效用最大化 最大化 Mathematical maximization proportional

具有随机禀赋和交易成本的效用最大化问题：当财富可能为负时林毅清和杨俊坚摘要。本文研究了具有比例交易费用和随机捐赠的终端财富的期望效用最大化问题。在一致价格系统存在的背景下，我们考虑了原始效用最大化问题和对偶效用最大化问题之间的对偶性，对偶效用最大化问题建立在完全可加测度域上。特别地，我们证明了效用函数支持可能负值的对偶结果。此外，我们利用对偶最优过程构造了影子市场，并考虑了基于效用的随机捐赠定价。1.引言数学金融中的一个经典问题是经济代理人如何通过在金融市场交易，从终端财富中最大化其预期效用。特别是，为了将这个问题与马尔可夫资产价格之外的一般市场模型结合起来考虑，自20世纪90年代以来，人们发展了一种称为“对偶方法”或“鞅方法”的现代方法。这种方法基于“鞅测度”集合提供的投资组合的对偶特征。其主要思想是解决一个对偶变分问题，然后通过凸对偶找到原效用最大化问题的解。在[33]中，Kramkov和Schachermayer在一般半鞅框架中讨论了这个问题，他们为L的双极子集上的原问题和对偶问题建立了一个抽象对偶理论。特别是，作者考虑了一个具有确定性初始财富的代理，其参考由只支持正财富的效用函数建模。Schachermayer在[38]中考虑了当股票价格过程是局部有界半鞅时，支持可能负财富的效用函数的情况。

之后，Biagini和Frittelli[4]通过去除局部边界假设，推广了[38]的结果。[33]中讨论的模型随后在Cvitani\'c等人[10]中通过允许有界随机禀赋而非确定性禀赋进行了改进。在那篇论文中，效用函数与[33]中的相同。然而，双重问题是在完全可加性测度的扩大范围内定义的。然后，当市场由局部有界半鞅驱动时，Owen[35]处理了[38]中关于经济主体的新设置的效用最大化问题。最近，[10]和[35]的结果显示日期：2018年9月19日。2010年数学学科分类。91B16，91G10。关键词和短语。效用最大化，随机禀赋，二元方法，影子价格，基于效用的定价。作者衷心感谢奥地利科学基金（FWF）在25815号拨款下和欧洲研究理事会（ERC）在321111号拨款下提供的财政支持。这项工作的部分完成是因为杨俊杰访问了CMAP，即“Ecole Polytechnique”，对此非常感谢。2林毅清和杨俊建在几个方向上进行了扩展，例如，在随机禀赋或股票价格过程中，对有界性假设进行了推导，参见[28,36,5]。在本文中，我们将考虑具有交易成本的效用最大化问题，它本质上与无摩擦问题一样古老。Cvitani\'c和Karatzas是第一个将对偶方法引入该领域的人。在[9]中，问题是用正半直线上的效用函数来建立的，市场是用债券和股票通过It^o过程来建模的。此外，代理人在交易时面临固定比例的交易成本，并被要求在交易结束时将其投资组合变现为债券。

[9]的作者通过先验地假设对偶优化器在适当的域中存在，证明了效用最大化问题解的存在性，而Cvitani\'c和Wang[11]最终给出了一个没有这种假设的完整结果。之后，Bouchard通过考虑在整条实线上定义的效用函数，并在[6]中添加有界随机禀赋，扩展了这个结果。在无摩擦的情况下，我们通常假设这是一个单一的消费资产，它被用作一个数字。从数学上讲，代理人是否对其持有的股份进行液化，在无风险的市场上没有区别，但与交易成本问题无关。因此，允许代理访问多个消费资产是很自然的，这就引出了财务模型的新公式。这种新模型描述了一个多货币市场，由卡巴诺夫[30]根据偿付能力锥的概念首次引入。基于该模型，Deelstra等人[17]、Campiand Owen[7]以及Benedetti和Campi[2]研究了具有多元效用函数的效用最大化问题，他们没有随机禀赋，也没有随机禀赋。他们以不同的方式提供静态数据结果。与多货币模型相比，本文采用了一个由一般股价过程驱动的基于连续时间序列的市场模型。请注意，这个过程不一定是semimartin gale，这在无摩擦的情况下是必要的，以确保没有套利。在这个框架下，Czichowsky和Schachermayer在[13,14]中研究了一致价格系统存在下的效用最大化问题。

准确地说，一致性价格体系由两个过程组成：一个有效的股票价格过程，它位于买入和卖出之间；这一实际价格过程的（局部）鞅密度。例如[29,39,24]引入的这个创造性概念在无摩擦情况下用作等价鞅测度。在这种假设下，Gu asoniet al.[25]和Schacherm ayer[41]证明了一个类似于经典的su perreplication定理，因此[13,14]中考虑的主域和对偶域具有与[33,38]中类似的函数结构。因此，从[33,38]中导出的抽象定理可以在这个新的背景下用于解决上述两种效用函数的效用最大化问题。本文的目的之一是通过引入有界随机禀赋来推广[14]的结果。为了实现这一点，我们首先得到了正半直线上问题的中间结果，这可以通过处理[10]中的论点来证明。这个中间对偶结果与[2]类似，但是它更直接，并且适合于基于num’eraire的设置，这是后续近似所必需的。对于整条实线上的问题，我们首先通过适当的截断构造辅助主函数和对偶函数，以便回到中间结果的情况。然后，我们展示了与[35]类似的程序，通过近似优化器和期望值函数来完成证明。效用最大化、随机捐赠、交易成本3如上所述，每个一致的价格体系都模拟了一个活跃的市场。

按比例交易成本的投资组合优化理论中的一个重要问题是，是否存在所谓的影子价格过程，即最不利的无摩擦市场扩张，从而导致相同的最优策略和效用。如果答案是肯定的，那么给定经济主体的行为可以通过一个合适的无摩擦影子市场来解释。从[31]开始，sh ad ow价格已被证明有助于解决具体的效用最大化问题，例如[19,20,26]。此外，Kallsen和Muhle Karbe[32]指出，在有限概率空间中，效用最大化问题总是存在影子价格。对于正半线上的一般效用函数，Cvitani\'c和Karatzas[9]在It^o框架内工作，每当对偶解是鞅测度时，就构造一个影子市场。根据[9]，Czichowsky等人[16]表明，如果股票价格过程是连续的，并且满足“无无界利润和有界风险”的条件（NUP BR），则相应对偶问题的优化器总是局部鞅，因此影子价格存在。此外，一旦某个约束被约束到代理身上，就会获得有效的结果。例如，Loewens tein[34]证实，只要排除空头，持续的买卖过程中就存在影子价格。Benedetti等人[3]最近用Kabanov的一般多货币市场模型推广了这一结果，Gu等人[23]用正随机假设推广了这一结果。

然而，有几个反例表明，在没有进一步假设的情况下，经典意义上的影子价格可能不存在，见[37,12,3,13,16]。在一般的c`adl`ag框架中，Czichowsky和Schachermayer在[13]中引入了一个新的概念，这使得人们可以将对偶优化器解释为影子价格，但在一般意义上，无论对偶优化器是否是局部鞅。这种广义影子价格过程是通过一对“三明治”组合定义的，由一个可预测和一个可选的强超级定价组成，适用于所有在交易成本下仍处于破产状态的策略。这一概念后来由Bayraktar和Yu扩展到[1]中随机捐赠的案例。受Hugonnier和Kramkov[28]的启发，[1]的作者考虑了一个效用最大化问题，该问题具有交易成本，另外还有由最大交易策略和非if或可集成性条件定义的无约束随机捐赠。他们构造了广义影子价格，只要对偶结果成立，并且假定对偶优化器上有一个有效条件。与[13,1]相反，如果我们考虑效用函数定义在整条实线上的效用最大化问题，情况会发生变化。在[14]中，Czichowsky和Schachermayercon证实，具有“有限熵”的严格一致价格系统（定义见[39,8]）的存在保证了经典影子价格的存在。我们将在本文中发现，有界随机禀赋的存在不会改变这个结果，这是基于对偶优化器与严格正鞅密度相关的事实。对于[13,1]中正半线的情况，这个属性不一定成立。然而，类似于[1]的无限随机禀赋的情况留待未来研究。

此外，我们提供了影子价格的一个更广义的定义，即我们只要求影子价格市场产生相同的最优效用，那么这种影子价格总是可以从对偶优化器中构造出来。本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将介绍b ASIC设置并阐述问题。在第三节和第四节中，我们分别研究了正实线和全实线上的效用最大化问题，并分别给出了林一清和杨俊建的对偶结果。我们在第5节中讨论了影子价格的存在性，并以指数效用函数为应用，讨论了基于效用的定价。2.金融市场。在本节中，我们简要回顾了一个基于连续时间的市场模型的初步内容，该模型具有比例交易成本。对该框架的更多细节感兴趣的读者可以参考[40,41,13,14,16]。我们考虑一个由一个无风险资产和一个风险资产组成的金融市场，其中无风险资产的价格是恒定的，且标准化为1。此外，允许在有限的时间间隔[0，T]内进行交易。用S=（St）0表示≤T≤t基于过滤概率空间的股价过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）满足右连续性和饱和性的一般假设，其中假设Fis是微不足道的。假设2.1。进程S=（S）0≤T≤它适应于（英尺）0≤T≤T、 具有严格的正向和c\'adl\'ag路径。我们引入股票交易的比例交易成本λ>0。两个过程（（1）- λ） 圣，圣）0≤T≤t对股票的买入和卖出价格进行建模，这意味着代理人在购买股票时必须支付较高的卖出价格，但只能收到较低的买入价格（1- λ） 卖的时候。

出于明显的经济原因，我们假设λ<1。考虑一下这个市场上的一个代理人，他拥有初始财富x∈ R、 在时间T时，谁获得了更多的外源性捐赠，这是FT可测量的，并且满足ρ：=keTk∞< ∞.代理人的交易策略由R值的、可预测的过程φ=（φt，φt）0建模≤T≤定义变动，其中在时间t重新平衡投资组合后，以无风险和风险资产为单位的持有量分别为和。我们注意到，每个有限变动的过程都是l`adl`ag，可以分解为两个非减损过程↑以及↓两者均为零，即φt=φ+φ↑T- φ↓t、 然后，由Vart（~n）=↑t+~n↓t、 我们用φcits表示连续部分φct:=φt-Xs<t+~ns-Xs≤T~ns，在哪里+~ns:=~ns+- ~n沙子~ns:=~ns- ~ns-分别是它的右跳和左跳。定义2.2（自我定义）。交易策略=（t，t）0≤T≤如果（2.1）Ztsd~nu，则称为交易成本下的自我融资λ≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ） 南欧1号，↓u、 0≤ s≤ T≤ T、 其中，积分是通过SSSUD~n1定义的，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 ZtsSudа1，↓u:=ZtsSudа1，↓,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↓u+X≤u<tSu+φ1,↓u、 效用最大化、随机捐赠、交易成本5在无风险状态下，购买和出售风险资产的自我融资状态（2.1）为0≤ s<t≤ T，Ztsdа0，cu≤ -ZtsSudа1，↑,cu+Zts（1- λ） 南欧1号，↓,铜，~nt≤ -圣-φ1,↑t+（1）- λ） 圣-φ1,↓T+~nt≤ -圣+φ1,↑t+（1）- λ） 圣+φ1,↓t、 定义2.3（清算价值）。我们通过Vliqt（ν）确定时间t的清算价值：=Фt+（νt）+（1- λ） 圣- （ηt）-St.备注2.4。以下公式可通过分段积分推导得出：Vliqt（魟）=魟+魟S+Zt魟udSu- λZtSud~n1，↓U- λSt（νt）+。定义2.5（可采性）。

如果存在M>0，则自融资交易策略被称为可接受策略，即对于每个[0，T]值的停止时间τ，Vliqτ（ν）≥ -M、 a.s.代表x∈ R、 我们用λadm（x）表示交易成本λ下的所有自融资和可接受交易策略的集合，从（ν，ν）=（x，0）和cλ（x）：=nVliqT（ν）φ = (φ, φ) ∈ λadm（x）o.定义2.6（λ-一致价格体系）。固定0<λ<1，股票价格过程s=（St）0≤T≤T.λ-一致价格系统是一个二维严格正过程z=（Zt，Zt）0≤T≤Twith Z=1，由一个鞅Zan和一个（局部）鞅P组成，因此存在一个适应过程过程：=（eS）t∈[0，T]满足于0≤ T≤ T，（2.2）东部时间∈ [(1 - λ） St，St]和Zt=ZteS，a.s.所有λ一致价格体系的集合用Zλe（s）表示。此外，我们用Zλa（S）表示除严格正性外满足上述所有条件的所有非负过程Z的集合。对于0<λ<1，我们说价格过程S=（St）0≤T≤Tsatis fies（CP Sλ），如果存在λ一致的价格体系。备注2.7。交易费用的存在使我们能够以无套利的方式考虑超越半鞅模型的优化问题。在这个新的背景下，λ-相容价格系统在无摩擦情况下起到了等价鞅测度的作用。每小时∈ Zλe（S），这对夫妇建立了一个具有股票价格过程的活跃市场模型，该过程满足风险为零的无风险（NF LVR）。根据Schachermayer[41]，可以在以下假设下建立重要的超复制定理。假设2.8。所有产品的满意度（CP Su）∈ （0,1）.6林毅清和杨俊坚定理2.9（超复制定理[41，定理1.4]）。让我们满足假设2.1和假设2.8。固定0<λ<1。让g∈ L(Ohm, F、 P）是一个从下到下的随机变量，即。