参数风险平价

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英文标题：
《Parametric Risk Parity》
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作者：
Lorenzo Mercuri, Edit Rroji
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Any optimization algorithm based on the risk parity approach requires the formulation of portfolio total risk in terms of marginal contributions. In this paper we use the independence of the underlying factors in the market to derive the centered moments required in the risk decomposition process when the modified versions of Value at Risk and Expected Shortfall are considered.   The choice of the Mixed Tempered Stable distribution seems adequate for fitting skewed and heavy tailed distributions. The ensuing detailed description of the optimization procedure is due to the existence of analytical higher order moments. Better results are achieved in terms of out of sample performance and greater diversification.
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中文摘要：
任何基于风险平价方法的优化算法都需要根据边际贡献计算投资组合的总风险。在本文中，我们使用市场中潜在因素的独立性来推导风险分解过程中所需的中心时刻，其中考虑了风险价值和预期短缺的修正版本。选择混合回火稳定分布似乎足以拟合偏态和重尾分布。随后对优化过程的详细描述是由于分析高阶矩的存在。在样本外表现和更大的多样化方面取得了更好的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
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2022-5-12 01:18:47 上传

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关键词：Optimization Quantitative distribution Contribution R statistics

尾衰减（指数衰减）为重衰减（幂律衰减），而NVMM的尾行为仅取决于混合随机变量的尾行为（有关尾行为的完整讨论，请参见Barndor ff-Nielsen et al.，1982）。在这里，我们发现了混合模型在财务回报建模中的优势，因为我们不需要事先知道是否必须考虑重分布或半重分布。本文的主要贡献是介绍了通过直接建模给定市场中的潜在因素来获得风险平价投资组合的一般设置。对于因子识别，我们采用《国际贸易术语解释通则》（1994）中引入的独立成分分析（IC A）。Hyvarinen等人（2001年）给出了关于这一主题的详细信息和算法。利用独立分量分析（ICA）将观测信号分解为独立随机变量的能力，该方法只需对每个分量进行建模，因为通过该算法获得的混合矩阵捕捉到了因子的依赖结构。根据齐次函数的Euler-th-eorem，我们可以将齐次风险度量写为边际风险贡献的加权和，其中权重是各因素的风险敞口（参见Tasche，1999，完整处理）。因此，风险平价投资组合是作为约束最小化问题的解决方案实现的，如Maillard等人（2010年）提出的。在本文中，我们关注三个标准的同质风险度量：波动率、价值风险（VaR）和预期缺口（ES）。特别是对于最后两项措施，我们考虑了Zangari（1996）提出的VaR修正版本和Boudt等人（2007）提出的ES修正版本。

这两种改进措施的想法都是考虑基于前四个矩的非精确分布的渐近展开，在我们的方法中，可以使用ICA方法轻松推导出前四个矩，并假设因子混合分布。论文的概要如下。在第2节中，我们简要回顾了风险平价方法及其与其他投资组合优化方法的联系。第3节回顾了关于混合回火稳定分布的主要结果，而第4节则分析了使用修正VaR和修正ES进行投资组合优化的风险平价方法。第5节和第6节给出了实证结果。2使用风险平价方法构建投资组合风险平价是一种分配风险而非资本的方法。它克服了标准方法的一些限制，例如均值-方差优化。事实上，正如Maillard等人（2010）所观察到的，均值-方差方法在实践中有两个缺点。首先，最优投资组合似乎集中在少数资产上。其次，估计参数的微小变化会导致最优投资组合的相关修改，正如默顿（1980）所说，在投资组合预期收益估计的情况下，这种修改更为重要。为了避免这种稳定性的缺乏，研究人员提出了几种调节技术。最常用的方法是对米肖（1989）提出的目标函数进行重采样，以及Ledoit和Wolf（2003）提出的协方差矩阵的收缩估计。在文献中，我们还发现了不需要收益估计的启发式方法，如等权（EW）、等风险贡献（ERC）或最小方差（MV）投资组合。通过这些方法，我们将约束直接放在投资组合权重上，不需要高级编程问题。

这些方法并不完全相距遥远。例如，如果我们对所有因素具有相同的风险和相同的相关性，那么等权重的投资组合可以被视为一种特殊情况，即风险贡献相同。表达投资组合收益的一种常见方法是将因子收益（F）与β中的投资组合风险敞口给出的权重进行线性组合：r=β′F（1）。识别影响投资组合收益的所有因素并非易事，但一旦我们得到了一个非常重要的概念，即在处理风险分析时，定义的因子或资产类别对风险的边际贡献（MRC）as:MRCi=R（R）βi（2）该数量代表我们的投资组合每增加一个单位暴露于第i因子的额外风险。特别令人感兴趣的是风险的边际贡献，即总风险贡献（TRC）：T RCi=βiR（R）βi（3）TRC的使用使得风险归因更容易理解，因为它将风险分成了可加部分，构成了投资组合的总风险。与其他投资组合优化规则一样，风险平价旨在确定满足特定标准的投资组合权重（或敞口）。在实践中，投资组合构建中考虑的每个因素的TRC必须相同。Maillard等人（2010年）建议进行以下最小化，以获得所需的权重：最小化βXNi=1NXj=1（T RCi- T RCj）受试者toNXi=1βi=1,0≤ βi≤ i=1，N.（4）不平等约束指的是无卖空条件。值得注意的是，当TRC彼此不同时，优化问题中的目标函数引入了相似性。

这样一来，每个考虑因素的投资组合都有相似的TRC。3混合回火稳定分布在这一节中，我们回顾了在Rroji和Mercuri（2014a）中介绍的混合回火稳定分布的主要结果，并研究了在单变量情况下计算风险度量的方法。在介绍混合数据之前，我们先从正态方差-均值混合的定义开始。NVMM模型基于正态性假设，我们试图推广这一概念。事实上，正态方差-均值混合物的形式为：Y=u+uV+σ√V Z（5），其中参数u，u∈ R 还有Z~ N（0，1）。V在正半轴上连续分布。MixedTS背后的主要思想是用回火稳定液代替公式（5）中r.v.Z的正常消耗，以确保新分布的灵活性。我们记得，回火稳定分布是通过将α-稳定的L′evydensity乘以递减回火函数得到的（Cont和Tankov（2003））。尾部行为可以从重到半重，其特征是指数衰减，而不是功率衰减，并且确保了常规力矩的存在。Tweedie（1984）通过指数倾斜正稳定分布的尾部引入了单边回火稳定分布。Rosinski（2007）对回火稳定分布进行了推广，并根据其L’evy测度对其进行了分类。通过这种推广，还可以得到以整个实轴为支撑的分布。K¨uchler an d Tappe（2013）发现，定义在实轴上的回火稳定可以通过两个独立的单面回火稳定来获得。这种分布和相应的流程已广泛应用于金融领域（参见K¨uchler和Tappe，2014；Mercuri，2008，mo-deling asset retur ns和最近的教科书Rachev et al。

(2011)).在本文中，我们考虑了一个参数分布，即稳定的混合分布，并将其用于风险计算。如果：Yd=u+uV，我们说连续随机变量Y遵循混合回火稳定d分布+√vx（6）式中X | V~ stdCT S（α，λ）+√V，λ-√V）是标准化的经典回火稳定分布（stdCT S K¨uchler和Tappe（2013））。V是一个定义在正轴上的不可整除分布，其m.g.f始终存在。m.g.f.的对数为：ΦV（u）=ln[E[exp（uV）]（7）我们计算新分布的特征函数，并应用替代期望定律：E艾伊= EHEIU（u+uV）+√V X）Vii=eiuuEhe[uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-)]Vi=eiuu+ΦV（uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-))（8） 特征函数确定了一个时变L’evy过程中某一时刻的分布，并且该分布是完全可分的。尽管从理论角度来看，这种分布具有很好的特征，但它允许s标准高阶矩不仅依赖于混合r.v，而且依赖于标准化的经典分布参数。

正如罗吉（2013）所观察到的，为了适应不对称性和尾部垂度方面的差异，有一个灵活的分布是很重要的。命题1:MixedTS的前四个矩有一个解析表达式，因为：E[Y]=u+uE[V]var[Y]=uV ar（V）+E[V]m（Y）=um（V）+3uV ar（V）+（2- α)(λα-3+-λα-3.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]m（Y）=um（V）+6uEh（V）- E（V））Vi+4u（2- α)λα-3+-λα-3.-λα-2++λα-2.-V ar（V）+（3- α)(2 - α)(λα-4++λα-4.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]（9），其中m（）和m（）分别是第三和第四中心矩。有关力矩推导的详细信息，请参见附录A。使用这种分布的选择来自这样一个事实：如果我们假设V~Γ（a，σ），作为特例，我们有一些著名的收益建模分布。我们得到了α=2的方差Gamma（Madan and Seneta，1990；Loregian et al.，2012），以及σ为=√a和a一起进入实体。假设V~ Γ（a，σ）E[V]=aσV ar[V]=aσEh（V）- E（V））Vi=Eh（V）- E（V））i+E（V）V ar（V）=√aa3/2σ+aσEh（V- E（V）i=√aa3/2σEh（V- E（V）i=3+a根据伽马r.v.的标度性质，我们得到了σvd=σ＠Vwhere＠v~ Γ（a，1）和（6）中的定义可以写为：Yd=u+u-V+σp＠V＠X其中＠u=uσ和＠X~ stdCT S（α，λ+σ）√V，λ-σ√V）。

注意，在该公式中，混合分布与（5）中定义的NVMM具有相同的结构。对于单变量随机变量，一旦我们得到r.v Y的特征函数φY（t），就可以直接计算风险度量，因为我们使用基于反向傅里叶变换的公式计算其分布函数FY（Y）：FY（Y）=-2πZ+∞-∞E-φY（t）Itd信心水平α下的风险值通过反转分布函数得到：V arα（Y）=-FY（α）在假设e（Y）存在的情况下，使用以下公式计算预期短缺：eα（Y）=e[Y | Y≤ yα]=yα-αZyα-∞F（u）du在多元环境中，分布函数不能简单地获得，因为它基于一个能够捕捉资产依赖性的模型，并且需要计算多重积分。在下一节中，我们将介绍一种计算组合风险度量的方法，其中资产的依赖结构通过ICA分析重建，每个信号通过混合分布建模。4参数风险分解我们关注齐次连续可微分风险度量，对于这些度量，可以使用齐次函数的欧拉定理来确定风险贡献（更多详细信息，请参见Tasche，1999）。设R（R）为正齐次风险测度，应用欧拉定理，我们得到：R（R）=nXi=1βiR（R）βi=nXi=1T RCi（10），其中第i个风险因素的总风险分布（见Tasche，1999）定义为不等式（3）。

特别是本文中考虑的风险措施的RCIT如下所示对于波动率：T RCi=（β∑）i√β′∑β（11），其中∑是因子的方差-协方差矩阵风险值（参见Gourioux等人，2000年，完整治疗）：T RCi=-E[Fi | r=V aRα（r）]βi（12），其中V aRα（r）是在α水平上评估的投资组合的风险价值对于预期短缺（更多详细信息，请参见Tasche，2002）：T RCi=-E[Fi | r≤ -V aRα（r）]βi（13）使用历史方法可以很容易地计算给定因素的总风险贡献。实际上，我们只需要在第一列中包含向量rw的矩阵，而在其他列中，我们将因子返回。考虑风险价值作为分配的标准。我们获取完整的数据矩阵，并对投资组合收益列后面的所有数据进行排序。O注意，一旦对矩阵进行了排序，我们就拥有了风险分解所需的所有信息。然后在排序因子列上计算因子的边际贡献。然而，正如Boudt等人（2007年）所观察到的，使用历史风险值和历史预期短缺获得的估计结果，与基于正确指定的参数分布类别的估计结果相比，样本外观测值有很大的差异。在非高斯参数框架中，Zangari（1996）提出的修正VaR和Bou dt等人（2007）提出的修正ES似乎是一种很有吸引力的方法，因为这两种方法都保持了同质性，并且一旦因子的多变量矩可用，就可以很容易地计算出它们。使用（1），我们将每个资产回报率建模为要素回报的加权平均数。因子的平均向量为u，而∑是其维数为N×N的方差-协方差矩阵。

C o-维度N×Nis的偏度因子m矩阵：m=E[（F）- u）（F）- u)′ （F）- 当它们的共峰度矩阵的维数为N×N:M=E[（F- u）（F）- u)′ （F）- u)′ （F）- u）′（15）其中 表示克罗内克积。向量r的二阶、三阶和四阶中心矩分别为：m=β′∑βm=β′m（β β） m=β′m（β β  β） （16）偏度（skew）和峰度（kurt）是根据中心力矩定义的：skew=mm（17）和kurt=mm- 3（18）为了计算∑，进而计算中心矩，我们需要通过copula函数得到因子r的多元分布或它们的依赖结构。在这里，我们从不同的角度面对这个问题，也就是说，我们寻找产生观察到的回报的潜在独立因素。在实践中，应用于因子的ICA分析（见Hyvarinen，1999）简化了∑，Mand Msince:F=AS（19）的计算，其中在S=[S….SN]\'中，我们有原始来源，A是要估计的混合矩阵。每个信号都使用MixedTS建模，即：Si~ ui+uiVi+√ViXi（20）如Ap pendix B所示，由于因子独立性，力矩矩阵元素的计算非常简单和快速：∑ik=PNj=1aijakjσ（sj）Mikl=PNj=1aijakjaljskew（sj）Miklm=PNj=1aijakjaljamjkurt（sj）（21）计算矩和共矩，使用Zangari（1996）中推导的公式获得修正的VaR:mV aRα（r）=-β′u -√mΦ-1(α) +√mC（zα，skew，kurt）（22），其中数量：C（zα，skew，kurt）=-（zα）- 1） 歪斜-（zα）- 3zα）kurt+（2zα）- 5zα）歪斜（23）通过考虑回归向量r的偏度（偏斜）和峰度（库尔特）以及zα=Φ来修正高斯VaR-1(α). Φ（）表示标准正态分布，而其逆态用于分位数测定。修改了Boudt等人定义的预期短缺。