参数风险平价

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英文标题：
《Parametric Risk Parity》
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作者：
Lorenzo Mercuri, Edit Rroji
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Any optimization algorithm based on the risk parity approach requires the formulation of portfolio total risk in terms of marginal contributions. In this paper we use the independence of the underlying factors in the market to derive the centered moments required in the risk decomposition process when the modified versions of Value at Risk and Expected Shortfall are considered.   The choice of the Mixed Tempered Stable distribution seems adequate for fitting skewed and heavy tailed distributions. The ensuing detailed description of the optimization procedure is due to the existence of analytical higher order moments. Better results are achieved in terms of out of sample performance and greater diversification.
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中文摘要：
任何基于风险平价方法的优化算法都需要根据边际贡献计算投资组合的总风险。在本文中，我们使用市场中潜在因素的独立性来推导风险分解过程中所需的中心时刻，其中考虑了风险价值和预期短缺的修正版本。选择混合回火稳定分布似乎足以拟合偏态和重尾分布。随后对优化过程的详细描述是由于分析高阶矩的存在。在样本外表现和更大的多样化方面取得了更好的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
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2022-5-13 09:18:51 上传

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关键词：Optimization Quantitative distribution Contribution R statistics

参数风险平价Lorenzo MERCURI和Edit Rrojis 2014年9月30日摘要任何基于风险平价方法的优化算法都需要根据边际贡献计算投资组合的总风险。在这篇论文中，我们利用市场中潜在因素的独立性来推导风险分解过程中所需的中心时刻，其中考虑了风险价值和预期缺口的修正版本。混合回火稳定分布的选择似乎足以适应倾斜和重尾分布。随后对优化过程的详细描述是由于分析高阶矩的存在。在样本外表现和更大的多样性方面取得了更好的结果。1导言现在，人们更加强调风险的来源，而不仅仅是风险水平。除了对某一特定因素对风险的边际贡献进行测试外，我们还必须处理风险平价等新概念。这是一种专注于风险分配而非资本分配的投资组合管理方法（详见Denis et al.，2011），它表明，在多元化程度较高的投资组合中，所有资产类别对投资组合总风险的边际贡献应相同。在金融文献中，基于历史模拟的非参数方法已经得到了深入研究，但正如Meucci（2009）所观察到的，只考虑利益变量过去实现的方法取决于时间间隔的选择。

这样一来，每个考虑因素的投资组合都有相似的TRC。3混合回火稳定分布在这一节中，我们回顾了在Rroji和Mercuri（2014a）中介绍的混合回火稳定分布的主要结果，并研究了在单变量情况下计算风险度量的方法。在介绍混合数据之前，我们先从正态方差-均值混合的定义开始。NVMM模型基于正态性假设，我们试图推广这一概念。事实上，正态方差-均值混合物的形式为：Y=u+uV+σ√V Z（5），其中参数u，u∈ R 还有Z~ N（0，1）。V在正半轴上连续分布。MixedTS背后的主要思想是用回火稳定液代替公式（5）中r.v.Z的正常消耗，以确保新分布的灵活性。我们记得，回火稳定分布是通过将α-稳定的L′evydensity乘以递减回火函数得到的（Cont和Tankov（2003））。尾部行为可以从重到半重，其特征是指数衰减，而不是功率衰减，并且确保了常规力矩的存在。Tweedie（1984）通过指数倾斜正稳定分布的尾部引入了单边回火稳定分布。Rosinski（2007）对回火稳定分布进行了推广，并根据其L’evy测度对其进行了分类。通过这种推广，还可以得到以整个实轴为支撑的分布。K¨uchler an d Tappe（2013）发现，定义在实轴上的回火稳定可以通过两个独立的单面回火稳定来获得。这种分布和相应的流程已广泛应用于金融领域（参见库什勒和塔普，2014年；默库里，2008年，关于莫德林资产回收和最近的教科书Rachev等人）。

(2011)).在本文中，我们考虑了一个参数分布，即稳定的混合分布，并将其用于风险计算。如果：Yd=u+uV，我们说连续随机变量Y遵循混合回火稳定d分布+√vx（6）式中X | V~ stdCT S（α，λ）+√V，λ-√V）是标准化的经典回火稳定分布（stdCT S K¨uchler和Tappe（2013））。V是一个定义在正轴上的不可整除分布，其m.g.f始终存在。m.g.f.的对数为：ΦV（u）=ln[E[exp（uV）]（7）我们计算新分布的特征函数，并应用替代期望定律：E艾伊= EHEIU（u+uV）+√V X）Vii=eiuuEhe[uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-)]Vi=eiuu+ΦV（uu+LstdCT S（u；α，λ+，λ-))（8） 特征函数确定了一个时变L’evy过程中某一时刻的分布，并且该分布是完全可分的。尽管从理论角度来看，这种分布具有很好的特征，但它允许s标准高阶矩不仅依赖于混合r.v，而且依赖于标准化的经典分布参数。

正如罗吉（2013）所观察到的，为了适应不对称性和尾部垂度方面的差异，有一个灵活的分布是很重要的。命题1:MixedTS的前四个矩有一个解析表达式，因为：E[Y]=u+uE[V]var[Y]=uV ar（V）+E[V]m（Y）=um（V）+3uV ar（V）+（2- α)(λα-3+-λα-3.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]m（Y）=um（V）+6uEh（V）- E（V））Vi+4u（2- α)λα-3+-λα-3.-λα-2++λα-2.-V ar（V）+（3- α)(2 - α)(λα-4++λα-4.-)(λα-2++λα-2.-)E[V]（9），其中m（）和m（）分别是第三和第四中心矩。有关力矩推导的详细信息，请参见附录A。使用这种分布的选择来自这样一个事实：如果我们假设V~Γ（a，σ），作为特例，我们有一些著名的收益建模分布。我们得到了α=2的方差Gamma（Madan and Seneta，1990；Loregian et al.，2012），以及σ为=√a和a一起进入实体。假设V~ Γ（a，σ）E[V]=aσV ar[V]=aσEh（V）- E（V））Vi=Eh（V）- E（V））i+E（V）V ar（V）=√aa3/2σ+aσEh（V- E（V）i=√aa3/2σEh（V- E（V）i=3+a根据伽马r.v.的标度性质，我们得到了σvd=σ＠Vwhere＠v~ Γ（a，1）和（6）中的定义可以写为：Yd=u+u-V+σp＠V＠X其中＠u=uσ和＠X~ stdCT S（α，λ+σ）√V，λ-σ√V）。

注意，在该公式中，混合分布与（5）中定义的NVMM具有相同的结构。对于单变量随机变量，一旦我们得到r.v Y的特征函数φY（t），就可以直接计算风险度量，因为我们使用基于反向傅里叶变换的公式计算其分布函数FY（Y）：FY（Y）=-2πZ+∞-∞E-φY（t）Itd信心水平α下的风险值通过反转分布函数得到：V arα（Y）=-FY（α）在假设e（Y）存在的情况下，使用以下公式计算预期短缺：eα（Y）=e[Y | Y≤ yα]=yα-αZyα-∞F（u）du在多元环境中，分布函数不能简单地获得，因为它基于一个能够捕捉资产依赖性的模型，并且需要计算多重积分。在下一节中，我们将介绍一种计算组合风险度量的方法，其中资产的依赖结构通过ICA分析重建，每个信号通过混合分布建模。4参数风险分解我们关注齐次连续可微分风险度量，对于这些度量，可以使用齐次函数的欧拉定理来确定风险贡献（更多详细信息，请参见Tasche，1999）。设R（R）为正齐次风险测度，应用欧拉定理，我们得到：R（R）=nXi=1βiR（R）βi=nXi=1T RCi（10），其中第i个风险因素的总风险分布（见Tasche，1999）定义为不等式（3）。

特别是本文中考虑的风险措施的RCIT如下所示对于波动率：T RCi=（∑β）i√β′∑β（11），其中∑是因子的方差-协方差矩阵风险值（参见Gourioux等人，2000年，完整治疗）：T RCi=-E[Fi | r=V aRα（r）]βi（12），其中V aRα（r）是在α水平上评估的投资组合的风险价值对于预期短缺（更多详细信息，请参见Tasche，2002）：T RCi=-E[Fi | r≤ -V aRα（r）]βi（13）使用历史方法可以很容易地计算给定因素的总风险贡献。实际上，我们只需要在第一列中包含向量rw的矩阵，而在其他列中，我们将因子返回。考虑风险价值作为分配的标准。我们获取完整的数据矩阵，并对投资组合收益列后面的所有数据进行排序。O注意，一旦对矩阵进行了排序，我们就拥有了风险分解所需的所有信息。然后在排序因子列上计算因子的边际贡献。然而，正如Boudt等人（2007年）所观察到的，使用历史风险值和历史预期短缺获得的估计结果，与基于正确指定的参数分布类别的估计结果相比，样本外观测值有很大的差异。在非高斯参数框架中，Zangari（1996）提出的修正VaR和Bou dt等人（2007）提出的修正ES似乎是一种很有吸引力的方法，因为这两种方法都保持了同质性，并且一旦因子的多变量矩可用，就可以很容易地计算出它们。使用（1），我们将每个资产回报率建模为要素回报的加权平均数。因子的平均向量为u，而∑是其维数为N×N的方差-协方差矩阵。

C o-维度N×Nis的偏度因子m矩阵：m=E[（F）- u）（F）- u)′ （F）- 当它们的共峰度矩阵的维数为N×N:M=E[（F- u）（F）- u)′ （F）- u)′ （F）- u）′（15）其中 表示克罗内克积。向量r的二阶、三阶和四阶中心矩分别为：m=β′∑βm=β′m（β β） m=β′m（β β  β） （16）偏度（skew）和峰度（kurt）是根据中心力矩定义的：skew=mm（17）和kurt=mm- 3（18）为了计算∑，进而计算中心矩，我们需要通过copula函数得到因子r的多元分布或它们的依赖结构。在这里，我们从不同的角度面对问题，即我们寻找产生观察到的回报的潜在独立因素。在实践中，应用于因子的ICA分析（见Hyvarinen，1999）简化了∑，Mand Msince:F=AS（19）的计算，其中在S=[S….SN]\'中，我们有原始来源，A是要估计的混合矩阵。每个信号都使用MixedTS建模，即：Si~ ui+uiVi+√ViXi（20）如Ap pendix B所示，由于因子独立性，力矩矩阵元素的计算非常简单和快速：∑ik=PNj=1aijakjσ（sj）Mikl=PNj=1aijakjaljskew（sj）Miklm=PNj=1aijakjaljamjkurt（sj）（21）计算矩和共矩，使用Zangari（1996）中推导的公式获得修正的VaR:mV aRα（r）=-β′u -√mΦ-1(α) +√mC（zα，skew，kurt）（22），其中数量：C（zα，skew，kurt）=-（zα）- 1） 歪斜-（zα）- 3zα）kurt+（2zα）- 5zα）歪斜（23）通过考虑回归向量r的偏度（偏斜）和峰度（库尔特）以及zα=Φ来修正高斯VaR-1(α). Φ（）表示标准正态分布，而其逆态用于分位数测定。修改了Boudt等人定义的预期短缺。

（2007）是α以下收益预期值的线性变换-Cornish Fisher分位数，其中考虑了真实分布的二阶边扩展：mESα（r）=-β′u -√梅格[z | z≤ gα]（24），其中gα=g-1(α). 扩展公式为：EG[z | z≤ gα]=-αφ（gα）+我- 6I+3φ（gα）库尔特+我- 3I歪斜（25）+我- 15I+45I- 15φ（gα）歪曲（26）其中=Qq/2j=1（Qq/2j=12jQij=12j）g2iαφ（gα）+（Qq/2j=12j）φ（gα）f或q*j=0（Qq*j=0（2j+1）Qij=0（2j+1））g2i+1αφ（gα）- （Qq）*对于q奇数（27）和q，j=0（2j+1））φ（gα）*=Q-1.中心力矩的偏导数公式为：Mβi=2（β∑）iMβi=3[M（β β） ]我Mβi=4[M（β β  β） [i（28）使用混合回火稳定模型对酸性ce信号进行建模。偏导数使我们能够使用以下公式获得可变价值形成因素的总风险贡献：mV-aRα（r）βi=-ui-Mβi√mΦ-1(α)+Mβi√M-（zα）-1） 歪斜-（zα）- 3zα）kurt+（2zα）- 5zα）歪斜+√M-（zα）- 1)歪曲βi-（zα）-3zα）库尔特βi+（2zα）-5zα）歪斜歪曲βi同样，通过Boudt等人（2007年）给出的类似公式，可以获得修正预期短缺的总风险贡献。（24）的导数要求进行正向计算，但可以直接使用任何编程语言中的标准代数来实现。在图1中，我们详细描述了本节中描述的整个过程。此处插入图1.5实证分析在本节中，我们将逐步展示如何使用Mixedts对市场中的源信号进行建模，从而获得风险平价投资组合。

该数据集由先锋基金指数（Vanguard Fund Index，VFIAX）的每日对数收益组成，该指数复制了标准普尔500指数和十大行业指数的表现，这十大行业指数包括公用事业、电信、材料、信息技术、工业、健康、金融、能源、主要消费品和被视为风险因素的非必需消费品。数据集指2010年6月24日至2013年7月10日期间。在表1中，我们给出了本节中使用的时间序列的主要统计数据。观察它们的结果是负偏态，尾巴比正态分布预测的要重。金融部门的更高波动性反映了这场危机在这个时间框架内是其最终阶段。在此插入表1。作为第一步，我们想展示当混合分布直接用于对观察到的时间序列建模时，我们得到的单变量风险度量。我们将混合TSR分布与VFIAX基金的回报进行比较，并使用公式（22）和（24）将整个期间的历史VaR和ESR与各自的参数版本进行比较。分析的置信水平α范围为（0.01；0.1）。α<0.08的历史VaR结果低于使用图2中观察到的混合EDT计算的VaR。这种差异只有在α<0.05时才明显。与ES有关的结果更加突出了选择参数或非参数方法测量风险的重要性。事实上，我们已经知道，ES的历史方法比基于混合EDTS的ES具有更高的价值。α的差异更大∈ (0.04 : 0.08). 注意ES是一个条件平均值，受极值的影响很大。我们考虑了与经验数据的比较（见Cont等人。