基于模式匹配的零成本投资组合学习

特定代理持有的对象集合将被称为代理的对象集群。表示代理的参数通常是一个参数，该参数是代理决定使用的对象集群的索引，以及算法特定参数；通常是一个数据窗口参数k，确定要包含多少过去的数据，以及一个更特定于给定算法（如果需要）的参数，如分区参数\'，以及一个与预测时间相关的参数τ。本文实现的学习算法可以使用任意四个有用的参数。然后，代理的数量是这四个自由参数的函数。然后，学习算法将根据agent过去对这四个参数枚举的agent的性能执行加权平均过程。参数分别表示为τ、w、k和`。我们为算法特定参数保留了参数k和`这是为了与先前文献中的图像保持一致[20]。层位参数τ最多有w值、K值、L值和τn值。地平线参数的默认值为1：τ=1。为了简单和计算速度，短期出售前的结果是，以小额费用借入一项资产，从出售中筹集的资金可以用于其他交易或投资活动，例如，募集资金可以通过多头头寸购买另一项资产。当初始投资组合的总价值为零时，多头和空头头寸的组合可以是现金中性的。这种投资组合被称为零成本或现金中性投资组合。本文中使用了默认值。这些参数的选择将决定系统中代理的数量。

代理数用n表示，其中代理总数为n=τnW KL。第n个代理由一个元组表示，该元组包含给定时间的控件及其性能（Hnm、t、Sn、t）。这个元组通常用向量表示为（Hn，t，Sn，t），其中对象索引m被抑制。对于从t=1到某个最大时间t的连续时间的离散值，代理控制H是t个时序（N，M）维矩阵的集合，这些矩阵在软件中表示为多维双精度矩阵。时间t时，第m个对象的第n个代理控件的值为Hnm，t表示离散的时间值。代理的性能表示为（N，T）-维矩阵，其中第N个代理在第T个时间间隔内的性能为Sn，T。最多有M个对象。因此，m可以采用整数间隔[1，m]上的值来枚举对象。agiven agent的对象数量保持不变，即使它们可能在特定agent中实现零位置。从学习算法的角度来看，代理生成机制并不重要，需要在每个时间增量上正确枚举所有N个代理。在每次时间增量开始时，将实施在前一个时间增量结束时确定的控制，然后将其保持到确定代理性能的时间段结束，然后使用学习算法调整代理控制。学习算法更新了agent混合控制qn，它是一个给定agent对总投资组合贡献的度量。q变量根据代理过去的性能控制代理的相对混合度。

一般来说，混合控制不能被视为概率，这使得它们的使用和符号不同于之前的一些文献【20】。2.1。在线学习算法学习算法的灵感来自于【17、18】开发的universalportfolio方法，并由【22】定义。学习代理可以被认为是一个多重管理者，使用资产管理语言，多重管理者从一系列投资组合中选择和汇总基础战略，然后使用某种选择方法对单个投资组合Bt进行聚合，该组合在每个投资或交易期t实施。有趣的是，学习水平参数有优势，但这不会改变本文中的基本点基本学习算法是在线增量实施的，但它可以很容易地与交叉剂平行。学习算法有五个关键步骤：1。更新投资组合财富：第m个资产的投资组合控制bm、TF用于更新第t个期间的投资组合回报St=“Xmbm，t（xm，t- 1） #+1（2）St=St-1.St.（3）此处，第t个期间和第m个资产的价格相关系数xm，t与刚刚结束的期间的投资组合控制相结合，以计算该期间t的已实现投资组合回报。投资组合控制在前一期间结束时计算，并在当前期间开始时实施。假设在此投资期间没有现金流入或流出投资组合，投资组合中每个对象的相对金额将因相对价格变化而发生变化。2、更新代理人财富：代理人控制Hnm，t在时间段t结束时确定- 1.对于N个代理和M个对象，通过一些代理生成算法，代理对其进行专家级的资本分配决策。

在第三个时间段结束时，可以使用开始时的价格pm，t，根据投资宇宙中M个对象的相对价格xm，t的变化来计算每个代理的性能Sn，t-1和第t个时间增量pm，t的末尾，使用代理控件。Sn，t=“XmHnm，t（xm，t- 1)#+ 1. （4） Sn，t=Sn，t-1.Sn，t.（5）3。更新代理混合物：我们考虑了三种不同的代理混合物更新规则：1。）普遍一致的选择，以及2。）指数梯度选择[23]和3.）指数加权移动平均值。我们通常将这些在线更新称为规则g。在实践中，如果在部署之前尝试初始化算法，或在系统实时实施期间在线使用，则在西奥松林培训期间会选择三个更新规则中的一个。对于这里介绍的数字实验，我们采用了受[18，22]启发的普遍一致性方法，因为这证明了这一原理。我们可以定义控制的混合，因为累积的代理财富被用作下一次未实现增量的更新功能，并进行一些归一化，因此，下一次增量t+1的第n个代理的代理混合控制与财富的度量成正比：qn，t+1=Sn，t、 （6）替代选择可以包括[23]的指数梯度（EG）方法或基于指数加权移动平均（EWMA）的学习策略。我们采用最简单的更新规则来混合控制，应该注意的是，使用更具适应性的方法（如EG和EWMA学习）可能会有实际优势，其中学习率可以用作额外参数，以使用厚建模框架[15]进行BELERNT。重新标准化试剂混合物：如果试剂混合物被认为是正概率，那么我们需要Pnqn=1，并且所有的qn≥ 0

这就是不允许做空的完全投资代理人的情况。我们将这些类型的代理称为绝对代理：qn，t+1=qn，t+1Pnqn，t+1。（7） 对于我们将考虑活跃的代理人，零成本投资组合的杠杆设置为unity：（1）Pnqn=0和（2）ν=Pn | qn |=1。在这里，由于一个代理对另一个代理的短缺，混合控制变为自筹资金。混合控制不再被认为是正概率。qn，t+1=qn，t+1-NPnqn，t+1Pn | qn，t+1-NPnqn，t+1 |（8）为了确保学习算法和代理生成算法之间的一致性，杠杆被标准化。5.更新投资组合控制：投资组合控制SBM，皮重在时间段t结束时更新，时间段t+1使用代理混合控制SQN，t+1来自更新的学习算法，代理控制Hnm，t+1来自代理生成算法，使用时间段t的信息，对所有n个代理进行平均。bm，t+1=Xnqn，t+1Hnm，t+1。（9） 基于指数梯度（EG）的学习：qn，t+1=qn，teηSn，tPnqn，tSn，t基于指数加权移动平均（EWMA）的学习：qn，t+1=λqn，t+（1）- λ)qn、tSn、tPnqn、tSn、t该策略是实施投资组合控制，直到增量结束，测量特征，更新代理，然后重新应用学习算法来计算代理混合和投资组合控制，以供下一次增量使用。算法1在线学习算法（OLA）要求：1。更新的代理控制Hn、t+12。当前功能实现xt3。当前投资组合控制bt4。当前代理控制Hn、t5。前探员财富序列号-16

过去投资组合财富St-1对于t-state doStep 1：投资组合财富更新St=St-1（bt（xTt- 1） +1）步骤2：代理财富更新Sn，t=Sn，t-1（Hn，t（xTt- 1） +1）步骤3：根据规则gqn更新试剂混合物，t+1=g（qn，t，Sn，t）步骤4：试剂混合物重新标准化dqn，t+1=（Pnqn，t+1=1，qn，t+1≥ 0Pn | qn，t+1 |=1，Pnqn，t+1=0。步骤5：更新投资组合控件bt+1=Pnqn，t+1Hn，t+1平均值更正如果（ν=Pm | bm，t |）6=1，则重新规范化控件bn，t+1=νbn，t+1异常混合SQN，t+1=νqn，t+1结束返回（bt+1，Sn，t，St，qn，t+1）3。代理生成算法代理生成算法的目的是为第m个对象的n-thagent依次生成代理控件Hnm、TF，以便在第t个时间段开始时实现。这些将用矢量表示法表示为Hn，t。我们最初考虑了三种不同的代理生成算法，在这些算法上进行了厚建模，以了解各种算法的自由参数：1。）一种模式匹配算法[20]，2.）我们称之为anti-BCRP的反向人方差投资组合算法（因为它与给定k元组数据的最佳常数再平衡投资组合进行交易），以及3。）反正交反BCRP算法可用于学习均值算法[16]。这些算法的各种自由参数，例如窗口大小k和分区，被用来枚举在学习算法中竞争资本分配的代理。我们在本文的数值实验中采用了模式匹配方法[20]，因为我们发现，寻找更一般的模式比仅仅针对均值回归效应具有性能优势，更重要的是，模式匹配算法更通用，因为它们不需要对所学习的结构进行任何先验选择。

这被认为是为了更忠实于本文的意图——我们希望表明，可以通过一种既可以击败股票领域中最好的单只股票，又可以击败自我融资策略中的现金投资组合的方式来学习非特定模式。3.1. 注释第m个对象xm，t在时间t的特征实现也用向量表示法表示为xt。agent控制和特征时间序列是在线学习算法中的关键输入，用于确定agent的混合度qn，t。在线学习算法依赖于路径，因此，它既是代理控件历史的函数，也是特征时间序列历史的函数。在之前的工作之后，我们将随机特征变量表示为X，并将其实现为X[20,22]，其中对于一些向量值平稳和遍历过程{Xt}+∞-∞实现表示为x，x，Xt及其相应的随机变量X，X，Xt。然而，我们将进一步定义符号，以便更有效地计算特定实施的代理。这些策略基于为m对象构建所选特征的k元组。我们将用xk`w表示代理元组，并将k元组表示为xt-kt。ktuple是当前时间t中长度为k、宽度为m的数据片段，用于枚举所有对象。我们将把k元组符号修改为{xt-kt}s（n），`表示从给定对象群w=s（n）的数据`-分区中提取的k元组。这里是n-thagent的聚类指数。我们正在抑制m索引，并使用向量表示法将k元组写入x。代理元组对于第n个代理是唯一的，其中n是唯一的代理索引，枚举k、`和w的特定组合。k元组用于确定代理控件Hn，t。

使用的初始特征是历史价格序列，这些序列被认为是从某个随机过程中实现的。然后，模式匹配算法将k元组重新定义为最近邻组，这些最近邻组通过直接使用每个对象过去的k个性能实现，在给定的分区中，通过找到平均方差财富最小化投资组合（以实现反向投资），即完全投资或零成本，来反映历史选择的结果，从而更好地反映回归，并使用具有特定窗口和分区参数的代理的最终投资组合权重：Hn，t+1=Hn，t+1（γ，-u（xn，t），∑（xn，t））与等式n比较。（25）和（26）。未来结果，而不仅仅是最后一次价格变化或价格变化序列。这是通过比较CurrentRealization xt来实现的-回顾过去。这样，给定一组枚举第n个代理的参数，我们将根据算法参数，使用一些选择函数fxn，t=xn（k，`，w），t=xk `w，t=f`，w（xt，xt），从现有数据实现中选择所需的元组-kt）（10），其中k元组的第m个分量为xmn，t.3.2。对数最优策略在平稳性和遍历性假设下的对数最优策略已被证明是长期策略的最佳选择[14]。这种类型的分析已扩展到半对数最优情况[20]，其中导出了弱化条件。令人惊讶的结果是，即使使用这种较弱的公式，最优性的损失也使得对数最优性对于所有实际目的而言，都是使用半对数最优性选择的等效性能拓扑组合[20]。

这为在基于代理的资本竞争框架中使用平均方差投资组合的竞争序列提供了一个论据。使用一系列投资组合控制的初始投资财富B={bi}t-1i=1从时间i=1到当前时间t，完全投资组合的投资组合财富为[20]St=S∏Ti=1b（xi-1） xTi=SePTi=1log（b（xi-1） xTi）。（11） 这给出了平均投资组合增长率Wt（B）=TPTi=1log（B（xi-1） xTi）。对数最优投资组合选择问题是thusb*（Xt）-1） =参数maxbE日志（b（Xt-1） Xt）|Xt-1.. （12） 这里的目标是通过增量选择完全投资的投资组合控制序列B.3.3，最大化整体财富。普遍一致性策略普遍对数最优的基本结果是，任何投资策略的平均增长率都不可能比对数最优投资组合的平均增长率更快【13、14、17、18】。然而，需要充分了解流程的分布情况。在不知道分布的情况下实现同等增长率的策略称为普遍一致[14,20]策略。原则上，人们可以通过模拟列举所有可能的控制，并通过蛮力找到解决对数最优投资组合选择问题的控制集。考虑到当前的技术限制，股票的机会集通常很大，代表特征的数据更大，尤其是对于日内定量交易问题，这是一个雄心勃勃的目标。在理想情况下，我们将定义一些单纯形∧，其中单纯形上存在先验分布u，例如一些专家或代理人b是该投资组合分布的给定实现。

然后，我们将在t[18,19]b时直接评估u加权的完全投资环球投资组合*t=R∧bSt-1（b，xt-1） du（b）R∧St-1（b，xt-1） 其中∧du（b）=1，投资组合价值统计时间t为SST（b，xt）=tYj=1bxTj=tYi=1mXj=1bjxj，t.（14）在这里，投资组合完全投资，使得单位向量1的b1T=1。尽管我们寻求的策略与静态和遍历过程的类别是一致的。考虑到不切实际的分布假设，以及我们在枚举控制空间时所面临的维数问题，需要一种实用的方法。该策略旨在通过找到一个更为知情的控制子集来减少问题，该子集可用于近似所需的投资组合控制序列，用于代表一个普遍一致的策略。除了减少一组适用的控制措施，one还可以简化这些控制措施的评估及其随时间的调整，这可以通过将对数最优标准降低为半对数最优来实现。3.4. 半对数优化我们选择关注价格相对分布的前两个矩：均值和协方差。这将提高算法的性能速度（见图13），但在长期优化[30,20]方面有所损失，因此偏离了普遍一致的策略。首先，我们减少了所有可能投资组合的单纯形中的机会空间，以使在整个特征空间中找到最优投资组合的问题在计算上易于处理，这是通过使用代理生成算法和学习这些代理生成算法的自由参数来实现的。其次，我们用一个二次逼近来代替优化，这将为我们提供解析解来代替优化，否则我们将不得不用数值求解。