证券组合市场风险的有效随机拟蒙特卡罗方法

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英文标题：
《Efficient Randomized Quasi-Monte Carlo Methods For Portfolio Market Risk》
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作者：
Halis Sak and \\.Ismail Ba\\c{s}o\\u{g}lu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the problem of simulating loss probabilities and conditional excesses for linear asset portfolios under the t-copula model. Although in the literature on market risk management there are papers proposing efficient variance reduction methods for Monte Carlo simulation of portfolio market risk, there is no paper discussing combining the randomized quasi-Monte Carlo method with variance reduction techniques. In this paper, we combine the randomized quasi-Monte Carlo method with importance sampling and stratified importance sampling. Numerical results for realistic portfolio examples suggest that replacing pseudorandom numbers (Monte Carlo) with quasi-random sequences (quasi-Monte Carlo) in the simulations increases the robustness of the estimates once we reduce the effective dimension and the non-smoothness of the integrands.
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中文摘要：
我们考虑在t-copula模型下模拟线性资产组合的损失概率和条件超额问题。虽然在市场风险管理的文献中，有论文提出了有效的方差缩减方法来模拟投资组合市场风险，但没有论文讨论将随机拟蒙特卡罗方法与方差缩减技术相结合。本文将随机拟蒙特卡罗方法与重要性抽样和分层重要性抽样相结合。实际投资组合示例的数值结果表明，在模拟中用准随机序列（准蒙特卡罗）替换伪随机数（蒙特卡罗）可以在降低被积函数的有效维数和非光滑性后提高估计的鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Efficient_Randomized_Quasi-Monte_Carlo_Methods_For_Portfolio_Market_Risk.pdf (1.25 MB)

2022-5-24 14:13:31 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 蒙特卡罗 市场风险 蒙特卡 Quantitative

我们在第5.2节t-Copula模型中给出了投资组合市场风险的数值结果。任何投资组合市场风险模型的本质都是它能够捕捉资产之间的依赖关系。在本节中，我们描述了广泛使用的t-copula模型（参见Glassermanet al.，2002；Sak et al.，2010）。我们对固定时期内股票贬值造成的损失分布感兴趣。以下符号用于表示此分布。oD=投资组合中的股票数量owd=dth股票的权重oXd=dth股票的对数回报率oL=1-PDd=1wdeXd=投资组合损失（假设投资组合的初始值等于1）我们假设我们得到了一个具有已知权重（w，…，wD）和未知未来对数回报（X，…，XD）的股票组合。主要目的是估计损失概率P（L>τ）和条件超额E[L | L>τ]，尤其是在τ值较大时。为了建立股票之间的依赖关系模型，我们需要引入对数收益之间的依赖关系。假设股票的对数回归向量（X，…，XD）遵循一个具有ν自由度的t-copula。依赖性是通过一个具有ν自由度的多元t-vecort=（t，…，TD）引入的。每个日志返回都表示为xd=cdG-1d（Fν（Td）），d=1，D、 （1）其中oFν表示具有ν自由度的t分布的累积分布函数（CDF）；oGD表示潜孔锤测井返回值边缘分布的CDF；oCd是dth日志返回的比例因子。通过这种表示，可以通过Td之间的相关性来确定日志返回之间的依赖关系Xd。假设给出了向量T和let∧的相关矩阵∑∈ RD×Dbe∑满足∧∧=的下三角Cholesky因子。然后，可以使用T=λZpY/ν（2）生成T，其中Z=（Z。

，ZD）是标准的多正态随机向量，Y是具有ν自由度的独立卡方随机变量。3有效的蒙特卡罗模拟方法在本节中，我们简要总结了为估计投资组合市场风险而设计的有效蒙特卡罗模拟算法。在此之前，我们先从实现朴素蒙特卡罗算法开始。损失概率的朴素恒等式是P（L>τ）=E{L>τ}, 其中1{.}用大括号表示事件的指示器。我们还对条件过剩感兴趣，条件过剩可以表示为两个期望值的比率se[L | L>τ]=EL1{L>τ}P（L>τ）=EL1{L>τ}E{L>τ}, （3） 可以在一次模拟运行中进行估计。朴素蒙特卡罗算法的每次复制都遵循以下步骤：1。生成D个独立的标准正态随机变量，Z=（Z，…，ZD），以及一个具有ν自由度的卡方随机变量Y，与Z.2无关。计算（2）中的T。计算日志返回Xd，d=1，（1）中的D。4。计算投资组合损失L=1-PDd=1wdexp（Xd），并返回估计器{L>τ}和L1{L>τ}。3.1重要性抽样对于较大的阈值τ，大多数朴素模拟算法的复制返回估计器1{L>τ}的值零。为了增加L>τ区域的复制次数，重要性抽样修改了随机输入的联合密度。假设f（.）是输入变量Z andY和▄f（.）的联合概率密度函数（PDF）是修改后的密度。重要性抽样使用以下身份来估计损失概率{L>τ}=E{L>τ}f（Z，Y）~f（Z，Y）,式中，E是使用修正密度f（.）得出的期望值。寻找一个使蒙特卡罗估计量方差最小化的重要抽样密度是一个微妙的问题。

但在研究有效is密度时，可以使用零方差is函数（参见Glasserman et al.（1999）和Arouna（2004））。Glasserman等人（1999年）补充道，对于路径相关期权的定价，零方差的模式是作为原始密度均值偏移的函数。Sak等人（2010年）利用sameidea发现了一个接近最优的参数，用于在投资组合市场风险的copula模型中模拟损失概率。Sak等人（2010年）在法向量Zan中添加一个带有负项的均值偏移向量，并使用小于2的尺度参数作为卡方（即Gamma）随机变量来构建IS密度。选择偏移向量和比例值，以便得到的IS密度模式等于零方差IS函数模式。有关IS参数确定和模拟算法实现的更多详细信息，请参阅Sak等人（2010）的第4节。3.2分层重要性抽样为了进一步减少方差，可以沿一个或多个方向对重要性抽样密度进行分层。对于t-copula模型，假设ξi，i=1，一、 是概率为▄pi=▄P（（Z，Y）的RD+1不相交子集的划分∈ ξi）在IS密度下。然后，分层重要性抽样（SIS）身份由E给出{L>τ}f（Z，Y）~f（Z，Y）=IXi=1▄pi▄E{L>τ}f（Z，Y）~f（Z，Y）|（Z，Y）∈ ξi.尽管分层抽样是一种简单的方差缩减技术，但其性能受到样本空间高维性的不利影响（见Cheng和Davenport，1989）。因此，我们需要降低分层的有效维度。Ba,soglu et al.（2013）在投资组合市场风险的t-copula设置下，通过沿单个方向将Z分层并将Y分层，将分层维度的数量从D+1减少到2。

他们使用Sak et al.（2010）的IS偏移作为Z的分层方向，因为IS偏移为多元正态输入提供了良好的分层方向（见Glasserman et al.，1999）。为了详细说明Ba,soglu等人（2013）中分层的实施情况，他们使用等概率地层，并使用最佳样本分配最小化分层估计器的方差。对于等概率地层，对黄芪的最佳复制分配与该地层的条件标准差成正比（见Glasserman，2004，第217页）。标准偏差的估计值可以通过试运行来计算。Etor\'e和Jourdain（2010）以自适应最优分配（AOA）的名义提出了相同想法的迭代版本。在每次迭代中，AOAA算法通过使用条件标准偏差估计来修改进一步复制的比例。通过迭代，这些比例收敛到最优分配分数。Etor\'e和Jourdain（2010）表明，AOAA算法的分层估计是渐近正态的，其渐近方差最小。Ba,soglu等人（2013年）利用Etor'e和Jourdain（2010年）的AOA算法进行了少量修改。有关使用分层重要抽样法估计损失概率的更多详细信息，请参见Ba,soglu等人（2013）第5节。对于条件超额模拟，SIS算法的分配策略应不同于我们用于损失概率模拟的分配策略。在这种情况下，我们使用最优分配分数，以最小化条件超额分层比率估计值的方差（见Ba,soglu和H¨ormann，2014）。对于等概率地层，分配分数应与toxsi，yy成比例-2xsi，xyy+si，xy，i=1。

，I，其中x=EL1{L>τ}, y=E{L>τ}, si，x和si，是L1{L>τ}和{L>τ}在第i层上的方差，si，xy是L1{L>τ}和1{L>τ}在第i层上的协方差。这些值可以通过AOA算法的迭代来估计。4使用RQM提高效率在本节中，我们首先简要描述了随机准蒙特卡罗模拟和蒙特卡罗模拟之间的差异，这两种模拟适用于评估投资组合市场风险的问题。在蒙特卡罗模拟中，我们从[0，1）D+1中随机采样点来近似积分（这是在生成Y和Z时隐式完成的）来自低差异点集的[0，1）D+1。与蒙特卡罗样本相比，低差异点集不具有i.i.D.属性。因此，我们不能直接使用蒙特卡罗模拟中使用的误差界公式。但是，可以基于低差异点集构造准随机估计量的随机样本。这可以通过创建独立的copie来实现通过以下随机化Ui=（Ui+W）mod 1，确定低偏差点集PN={U，…，UN}，（4）其中，W是[0，1）D+1中的均匀分布向量。向量Ui均匀分布在单位超立方体中（见Lemieux，2009，第204页）。因此，基于Ui的估计器是无偏的，并且可以使用PN的M个独立随机副本获得估计的误差界。给定低偏差点序列PNin[0，1）D+1，naive simulation算法的随机拟蒙特卡罗版本的每次复制（见第3节）都遵循以下步骤：1.使用（4）生成随机副本▄PN=n▄，▄UNoof PN={U，▄，UN}。2.对于i=1，▄，n；a.计算Y（i）=F-1ΓUi，1；ν、 2使用反向CDF-Gammadistribution的1Γ。B

计算Z（i）d=Φ-1.Ui，d+1对于d=1，D、 使用反向CDFΦ-1属于标准正态分布。c、 计算（2）中的T（i）。d、 计算日志返回X（i）d，d=1，D、 在（1）中。e、 计算投资组合损失L（i）=1-PDd=1wdexpX（i）d.3、返回估值器N-1PNi=1{L（i）>τ}和N-1PNi=1L（i）{L（i）>τ}。正如Ca flisch（1998）所指出的，QMC方法的性能因被积函数的高维和非光滑性而降低。上述RQMC实现解决了这些问题，因为投资组合中的股票数量D可能会变大，且被积函数包含一个指标函数。为了提高RQMC估计量的效率，需要解决这些问题或减少其影响。第一个问题是高维问题，可以通过对向量Z进行线性变换来解决，从而减少被积函数的有效维数（seeImai和Tan，2014）。此外，第二个问题（非光滑性）的影响可以使用方差缩减技术来减少（参见Dinge,c和H¨ormann，2014，亚洲期权定价中的应用）。在本节的其余部分中，我们首先解释我们使用的线性转换方法。然后，我们描述了RQMC如何与IS和SIS有效结合。4.1线性变换在上面给出的朴素模拟中，RQMC的自然实现只是用随机低偏差点集更改SPSEUDORANDOM数。我们的数值实验表明，这种方法与传统的蒙特卡罗方法相比并没有显著的改进。这是由于问题的高维性，即每个随机输入（Z，…，ZD，Y）对估计量的方差有显著贡献。

为了提高IS上RQMC的效率，应降低问题的有效维度，以便大多数方差可以仅通过少量随机输入来解释。然后，这些随机输入可以通过随机低差异点的第一个元素生成。这背后的基本原理是，低差异点集的第一个低维投影具有更好的均匀性（见Ca-flisch，1998）。我们对随机向量Z应用线性变换，以便第一个元素Z对应于Sak等人（2010）给出的IS位移u。线性变换可通过首先将Z乘以正交矩阵V来应用∈ RD×D，其FirstColumn等于v=u/kuk。其余列可任意选择。这种转换增加了估计量方差的影响。然后，我们使用随机低差异点的前两个元素分别生成Y和Z。在线性变换的应用中，AIVE RQMC算法复制的唯一变化是使用T=λVZpY/ν=AZpY/ν计算T向量，（5）其中A=λV.4.2 RQMC在重要性采样上上述线性变换大大降低了被积函数的有效维数。但是，如前所述，由指示函数1{L>τ}引起的被积函数的非光滑性仍然对RQMC的性能有很大影响。在较大的阈值τ下，大多数朴素模拟算法的复制都会为估计量1{L>τ}返回零值。这导致了朴素蒙特卡罗被积函数的大幅度跳跃。图1a说明了第5节数值示例中原始被积函数L1{L>τ}的非光滑性问题。我们使用由两支带有tmarginals的股票组成的投资组合（有关参数值，请参见第5节）。

在这种情况下，被积函数L1{L>τ}是[0，1]上的函数。事实上，这种被积函数无法在三维空间中进行说明。然而，出于演示目的，可以将zt fix为零（U=0.5）由于Zon的影响，线性变换后被积函数大大减小。图1b说明了重要抽样密度下的蒙特卡罗被积函数。图1b和图1a之间的主要区别是大部分域的跳线尺寸减小。我们通过将被积函数L1{L>τ}乘以IS中的相似比f（Z，Y）/~f（Z，Y）来实现这一点。在IS的RQMC实现中，我们简单地用kuk移位zk，并在IS尺度参数θ下生成Y。然后，我们使用（5）将线性变换应用于Z。最后，响应1{L>τ}和L1{L>τ}乘以（Z，Y）~f（Z，Y）=expkuk- Zkuk+（2- θ） Y2θ+ν对数θ.（a） 原始蒙特卡罗被积函数（b）是被积函数图1:L1{L>τ}的蒙特卡罗被积函数[0，1）.4.3图1b中观察到的分层重要性抽样，重要性抽样减少了大部分被积函数域上跳跃的大小。然而，如果我们关注UAK值和UTAKE值都接近一的区域，我们会看到较大的跳跃。这些区域对IS估计量的方差贡献是显著的。为了解决这个问题，可以分配更多的复制通过分层，将其转移到这些地区。在前面的小节中，我们已经解释了如何将RQMC与线性变换和IS相结合。本小节描述了如何将分层与前面讨论的技术相结合。在SIS算法的RQMC版本中，我们在每个层中使用相同的低差异点序列。为了保证跨阶层的独立性，我们对每个阶层使用不同的随机移位。

在AOA算法的整个迭代过程中，这些随机移位保持不变。当算法决定在astratum中分配更多复制时，我们从之前迭代中未使用的低差异序列的第一个点开始。此外，样本分配决策基于第3.2节所述的最优分配分数。随机拟蒙特卡罗SIS估计的误差界可以使用算法的M个外部复制来计算。5数值结果为了说明随机拟蒙特卡罗方法的有效性，我们在R中实现了所有算法（R Core Team，2015）。为了生成随机低离散点集，我们使用Bratley和Fox（1988）的实现，使用R包“randtoolbox”（Christophe和Petr，2015）使用随机移动的Sobol网络。在我们的实验中，我们使用大小为D等于2、5和10的股票投资组合。对于边际分布的选择，我们使用广义双曲线和t分布，因为它们似乎是股票对数收益的最佳拟合分布。对于模型参数，我们使用Halulu（2012）中报告的纽约证券交易所数据的拟合值（股票列表见第65页，t-copula参数见表E.1、E.6、E.7和E.8，边际参数见表6.4和6.5）。我们使用表1中的t和广义双曲线（GH）边缘给出了损失概率和条件超额估计的naive（EBNV）、IS（EBIS）和SIS（EBSIS）MCsimulations和naive（EBQNV）、线性变换（EBQLT）和IS（EBQIS）RQMCsimulations的95%误差界。对于不同的参数设置，还提供了损失概率为0.05和0.001的阈值（τ）。