基于马尔可夫调制利维动力学的货币衍生品定价

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英文标题：
《Pricing Currency Derivatives with Markov-modulated Levy Dynamics》
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作者：
Anatoliy Swishchuk, Maksym Tertychnyi, Robert Elliott
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Using a Levy process we generalize formulas in Bo et al.(2010) for the Esscher transform parameters for the log-normal distribution which ensure the martingale condition holds for the discounted foreign exchange rate. Using these values of the parameters we find a risk-neural measure and provide new formulas for the distribution of jumps, the mean jump size, and the Poisson process intensity with respect to to this measure. The formulas for a European call foreign exchange option are also derived. We apply these formulas to the case of the log-double exponential distribution of jumps. We provide numerical simulations for the European call foreign exchange option prices with different parameters.
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中文摘要：
利用Levy过程，我们推广了Bo et al.（2010）中对数正态分布的Esscher变换参数公式，从而确保鞅条件适用于贴现汇率。利用这些参数值，我们找到了一个风险神经度量，并提供了关于该度量的跳跃分布、平均跳跃大小和泊松过程强度的新公式。推导了欧式看涨期权的计算公式。我们将这些公式应用于跳跃的对数双指数分布的情况。我们对不同参数的欧式看涨期权价格进行了数值模拟。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_Currency_Derivatives_with_Markov-modulated_Levy_Dynamics.pdf (613.58 KB)

2022-5-24 18:04:57 上传

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关键词：衍生品定价 马尔可夫 动力学 衍生品 distribution

（它们与[8]中的相似，但新风险中性度量的平均跳跃大小和泊松过程强度不同）。2）在第3节中，我们将公式（19）、（20）、（39）、（40）应用于对数双指数过程的情况，（见（51）），对于跳跃（见（58）-（63））。3）在第5节中，我们提供了不同参数的欧洲看涨期权价格的数值模拟（在跳跃的对数双指数分布和指数分布的情况下）：S/K，其中S是初始即期外汇汇率，K是到期时间T的履约FXrate，参数θ、θ是对数双指数分布。附录中提供了用于期权价格数值模拟的Matlab函数代码。2通用L'evy Processlet的货币期权定价(Ohm, F、 P）是一个具有概率测度P的完整概率空间。考虑连续时间，有限状态马尔可夫链ξ={ξt}0≤T≤吨(Ohm, F、 P）对于状态空间，单位向量集（e，···，en）∈ RN具有速率矩阵∏。链的动力学由以下公式给出：ξt=ξ+Zt∏ξudu+Mt∈ Rn，（1）其中M={Mt，t≥ 0}是关于（Fξt）0的Rn值鞅≤T≤T、 自然过滤（Ft）的缺失0≤T≤T、 由马尔可夫链ξ生成。考虑马尔可夫调制的默顿跳差，该跳差模拟spotFX利率的动力学，由以下随机微分方程给出（在后续SDE中，请参见[8]）：dSt=St-utdt+σtdWt+（eZt-- 1） dNt公司. （2） 这里utis漂移参数；WT是布朗运动，σ是波动率；NTI是强度为λt，eZt的泊松过程-- 1是给定跳跃到达时间的跳跃幅度。zt的分布具有密度ν（x），x∈ R、 使用有限状态马尔可夫链对参数ut、σt、λt进行建模：ut：=<u，ξt>，u∈ Rn+；σt：=<σ，ξt>，σ∈ Rn+；λt：=<λ，ξt>，λ∈ Rn+。

（3） （2）的解为St=SeLt（其中Sis为t=0时的即期外汇汇率）。此处Ltis由以下公式得出：Lt=Zt（us- 1/2σs）ds+ZtσsdWs+ZtZs-dNs。（4） 在我们的数值模拟中，我们考虑了三态马尔可夫链，并使用外汇市场欧元/美元货币对计算∏中的元素。该市场由aMarkov调制跳跃扩散模型驱动，存在多个等价鞅测度。我们将定义区域切换广义Descher变换，以确定特定的等价鞅测度。利用伊藤公式，我们可以推导贴现现货汇率的随机微分方程。为了确定贴现即期外汇利率，我们需要引入本国和外国无风险利率，用于本国和外国货币的债券。国内外利率（rdt）0≤T≤T、 （rft）0≤T≤使用马尔科夫链（ξt）0定义皮重≤T≤T（见[8]）：rdt=hrd，ξti，rd∈ Rn+，rft=hrf，ξti，rf∈ Rn+。贴现即期汇率为：Sdt=expZt（rds- rfs）dsSt，0≤ T≤ T、 （5）使用（5）、微分公式（见Elliott et al.（1982，[12]）和即期外汇汇率的随机微分方程（2），我们找到贴现即期外汇汇率的随机微分方程：dSdt-= Sdt公司-（rdt- rft+ut）dt+Sdt-σtdWt+Sdt-（eZt-- 1） dNt。（6） 要得出主要结果，请考虑对数即期外汇汇率yt=logStS公司使用微分公式：Yt=Ct+Jt，其中Ct，Jt是Yt的连续和微分部分。它们在（7）、（8）中给出：Ct=Ztrds- rfs+usds+ZtσsdWs，（7）Jt=ZtZs-dNs。（8） Let（FYt）0≤T≤t去除自然过滤（Ft）的P-增强0≤T≤T、 由Y生成。对于每个t∈ [0，T]设置Ht=FYt∨ Fξt。

让我们也定义两类区域切换参数（θcs）0≤T≤T、 （θJs）0≤T≤T： θmt=<θm，ξT>，θm=（θm，…，θmn） Rn，m={c，J}。定义随机Esscher变换Qθc，θJ~ 使用这些参数族（θcs）0≤T≤T、 （θJs）0≤T≤T（详见【8】、【13】、【15】：Lθc，θJt=dQθc，θJdPHt=：（9）经验RtθcsdCs+RtθJs-DJE经验值RtθcsdCs+RtθJs-DJFξt.下面的定理给出了埃舍尔变换密度Lθc，θjt的显式公式。在[8]中，对数正态分布也证明了类似的说法。下面的公式可以通过Elliott和Osakwe（[14]）考虑的另一种方法获得。定理2.1。对于0≤ T≤ T（9）中定义的Esscher变换的密度Lθc，θJt由Lθc给出，θJt=expZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（10）经验ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司.此外，随机Esscher变换密度Lθc，θJt（见（9），（10））是指数（Ht）0≤T≤t可满足以下SDE：dLθc、θJtLθc、θJt-= θctσtdWt+（eθJt-Zt公司-- 1） dNt公司- λtZReθJtxν（dx）- 1.dt。（11） 定理2.1的证明。复合泊松过程，驱动jumpsPNt（eZs--1） 布朗运动是独立的过程。因此：E经验值ZtθcsdCs+ZtθJs-DJFξt=E经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+ZtθcsσsdWs）FξtE经验值ZtθJs-Zs公司-dNsFξt. （12） 让我们计算：E经验值ZtθJs-Zs公司-dNsFξt.WriteΓt：=扩展Ztαs-dNs, αs=θJsZs。利用微分规则（见[12]），我们得到了Γt的以下表示：Γt=Γ+MJt+Z]0，t]ΓsZR（eαs- 1） ν（dx）λsds，（13），其中mjt=Z]0，t]Γs-（eαs- 1） dNs-Z] 0，t]sZR（eαs- 1） ν（dx）λsds是关于Fξt的鞅。

利用这个事实和（13）我们得到：E经验值ZtθJsZs-dNsFξt= 经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司（14） 我们从差异规则中得到：EheuRtσsdWsi=expuZtσsds, （15） 其中σ是市场的波动性。将（14）和（15）代入（12），我们得到：E经验值ZtθcsdCs+ZtθJs-DJFξt=经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+Zt（θcsσs）ds）经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司. （16） 将（16）代入Lθc，θJtin（9）的表达式中，我们得到：Lθc，θJt=expZtθcs（us- 1/2σs）ds+ZtθcsσsdWs）经验值ZtθJs-Zs公司-dNs×（17）经验值Ztθcs（us- 1/2σs）ds+Zt（θcsσs）ds）经验值ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司-1=经验值ZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×经验值ZtθJs-Zs公司-dNs-ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司.如果我们以Lθc，θJt=eXt的形式表示Lθc，θJt（见（17））并应用微分规则，我们得到（11）。从（11）可以看出，Lθc，θjt是一个鞅。我们将推导贴现即期外汇汇率（（5））为鞅的以下条件。这些条件将用于计算风险中性Esscher transformparameters（θc，*s） 0个≤T≤T、 （θJ，*s） 0个≤T≤然后给出度量值Q。然后我们将使用这些值来确定欧洲看涨期权货币衍生品的无套利价格。定理2.2。让随机Esscher变换由（9）定义。那么鞅条件（对于Sdt，请参见（5））成立，当且仅当马尔可夫调制参数（θct，θJt，0≤ T≤ T）满足所有0≤ T≤ T条件：rft- rdt+ut+θctσt+λθ，Jtkθ，Jt=0。（18） 这里，泊松过程的随机Esscher变换强度λθ，Jt和主要跳跃大小百分比kθ，Jt分别由λθ，Jt=λtZReθJsxν（dx），（19）kθ，Jt=RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）给出- 1，（20）只要rreθJtxν（dx）<+∞,RRe（θJt+1）xν（dx）<+∞.定理2.2的证明。贴现即期外汇汇率的鞅条件dθc，θJ【Sdt | Hu】=Sdu，t≥ U

（21）为了推导该条件，使用了Bayes公式：Eθc，θJ[Sdt | Hu]=E[Lθc，θJtSdt | Hu]E[Lθc，θJt | Hu]，（22）考虑到Lθc，θJt是关于Hu的鞅，所以：ELθc，θJt胡= Lθc，θJu。（23）使用公式（5）求解即期外汇汇率的SDE，我们得出贴现即期外汇汇率的表达式如下：Sdt=SduexpZtu（rfs- rds+us- 1/2σs）ds+ZtuσsdWs+ZtuZs-dNs, T≥ u、 （24）然后，使用（10），（24），我们可以将（23）重写为：ELθc，θJtLθc，θJuSdt胡= SduE公司经验值ZtuθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds×（25）经验ZtuθJs-Zs公司-dNs-ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司×经验值Ztu（rfs- rds+us- 1/2σs）ds+ZtuσsdWs+ZtuZs-dNs|胡=SduE公司经验值Ztu（θcs+1）σsdWs- 1/2Ztu（（θcs+1）σs）ds×（26）经验Ztu（rFs- rDs+us+θcsσs）ds经验值ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司|胡×E经验值Ztu（θcs+1）Zs-dNs|胡.使用布朗运动特征函数的表达式（见（15））我们得到：E经验值Ztu（θcs+1）σsdWs- 1/2Ztu（（θcs+1）σs）ds|胡= 从（14）中我们得到：E经验值Ztu（θcs+1）Zs-dNs|胡= 经验值ZtλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司. （28）将（27）、（28）替换为（26），我们最终获得：ELθc，θJtLθc，θJuSdt胡= SduexpZtu（rfs- rds+us+θcsσs）ds×（29）经验-ZtuλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司经验值ZtuλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司.从（29）中，我们得到了贴现即期外汇汇率的鞅条件：rft- rdt+ut+θctσt+λtZRe（θJs+1）xν（dx）-ZReθJsxν（dx）= 0。（30）我们现在证明，在Esscher变换下，新的泊松过程强度和平均跳跃大小由（19）、（20）给出。请注意，LJt=RtZs-dNsis即期外汇汇率SDE解公式（4）中L’evy过程的跳跃部分。我们有：EQheLJti=ZOhm经验值ZTZ公司-dNsLθc，*,θJ，*t（ω）dP（ω），（31），其中P是初始概率测度，Q是新的风险中性测度。

将Esscher变换的密度（10）代入（31），我们得到了（另见[14]）：EQheLJti=EP经验值ZtθcsσsdWs- 1/2Zt（θcsσs）ds- （32）ZtλsZReθJsxν（dx）- 1.ds公司EP公司经验值Zt（θJs+1）Zs-dNs.使用（14）我们得到：EP经验值Zt（θJs+1）Zs-dNs= 经验值ZtλsZRe（θJs+1）xν（dx）- 1.ds公司（33）将（33）代入（32），并考虑到布朗运动的特征函数（见（15）），我们得到：EQheLJti=expZtλsZReθJsxν（dx）“RRe（θJs+1）xν（dx）RReθJsxν（dx）- 1个#ds公司. （34）返回到初始测量值P，但λθ，Jt，kθ，Jt不同，我们有：E∧，νheLJti=expZtλθ，JsZRex￠ν（dx）- 1.ds公司. （35）新强度λθ的公式（19），Jtof泊松过程直接来自（34），（35）。通过以下公式从（35）中确定新的跳跃密度：RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）=ZRex（dx）。（36）我们现在计算新的平均跳跃大小，给定跳跃到达相对于新度量Q:kθ，Jt=ZOhm（eZ（ω）-1） d￠ν（ω）=ZR（ex-1） ν（dx）=ZRexν（dx）-1=RRe（θJt+1）xν（dx）RReθJtxν（dx）-1，（37）其中，新测量值|ν（dx）由公式（36）定义。我们可以将贴现即期外汇汇率的鞅条件（30）改写为以下形式：rft- rdt+ut+θctσt+λθ，Jtkθ，Jt=0，（38），其中λθ，Jt，kθ，Jt分别由（19），（20）给出。如果我们把kθ，Jt=0，我们就得到了产生鞅条件（38）的区域切换Esschertransform参数的以下公式：θc，*t=rdt- rft公司- utσt，（39）θJ，*t： RRe（θJ，*t+1）xν（dx）RReθJ，*txν（dx）=1。（40）在下一节中，我们将这些公式（39），（40）应用于跳跃的对数双指数分布。现在，我们继续讨论欧式调用的一般公式（参见[8]、[29]）。对于执行价格为K且到期时间为T的欧洲看涨期权，时间为0时的价格由∏（S，K，T，ξ）=Eθc给出，*,θJ，*他-RT（rDs-rFs）ds（ST- K） +| Fξti。

（41）让Ji（t，t）表示在[t，t]，t<t期间，ξ在状态ei中的占据时间。我们引入几个新的量，将在未来的计算中使用：Rt，T=T- tZT（rds- rfs）ds=T- tnXi=1（rdi- rfi）Ji（t，t），（42），其中Ji（t，t）：=RTt<ξs，ei>ds；Ut，T=T- tZTtσsds=T- tnXi=1σiJi（t，t）；（43）λθ*Jt，T=T- tnXi=1λθ*JiJi（t，t）；（44）λθ*t、 t=t- tZTt（1+kθ*Js）λθ*Jsds=T- tnXi=1（1+kθ*Ji）λθ*JiJi（t，t）；（45）Vt，T，m=Ut，T+mσJT- t、 （46）其中σJis是跳跃分布的方差。Rt，T，m=Rt，T-T- tZTtλθ*Jskθ*Jsds+T- tZTlog（1+kθ*Js）T- tds=（47）Rt，T-T- tnXi=1λθ*Jikθ*Ji+mT- tnXi=1log（1+kθ*Ji）T- tJi（t，t），其中m是间隔[t，t]中的跳跃数，n是马尔可夫链ξ的状态数。请注意，在我们的考虑中，上述所有一般公式（42）-（47）都因以下事实而简化：kθ*对于新的风险中性度量，Jt=0，Esscher变换参数由（39）、（40）给出。

根据inMerton（1976，[29]）的定价公式，让我们定义（见[8]）π（S，K，T；R0，T，U0，T，λθ*0，T）=∞Xm=0e-Tλθ*,J0，T（Tλθ*0，T）mm！×（48）BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m），其中BS（S，K，T，V0，T，m，R0，T，m）是标准的Black-Scholes价格公式（见[6]），具有初始即期外汇汇率S、履约价格K、无风险利率r、波动率平方σ和时间T。然后，欧式看涨期权定价公式的形式为：∏（S，K，T）=Z[0，T]n∏（S，K，T；R0，T，U0，T，λΘ）*,J0，T）×（49）ψ（J，J，…，Jn）dJ。。。dJn，其中ψ（J，J，…，Jn）是占用时间的联合概率分布密度，由以下特征函数确定（见【14】）：E经验值胡，J（t，t）i= hexp{（π+diag（u））（T- t） }·E[ξ]，1i，（50），其中1∈ Rn是1的向量，u=（u，…，un）是变换变量的向量，J（t，t）：={J（t，t），…，Jn（t，t）}。3对数双指数过程的货币期权定价Zt的对数双指数分布-（eZt-- 1是（2）中的跳跃，在数学金融中起着基础作用，描述了一段时间内的即期外汇汇率变动。它由密度函数的以下公式定义：ν（x）=pθe-θx十、≥0+（1- p） θeθxx<0。（51）该分布的平均值为：平均值（θ，θ，p）=pθ-1.- pθ。（52）该分布的方差为：var（θ，θ，p）=2pθ+2（1- p） θ-pθ-1.- pθ. （53）Kou在[24]中首次研究了双指数分布。他还提出了在数学金融中使用这种分配的经济理由。双指数分布有两个有趣的特性：轻量级特征（见[22]，§3；[24]）和无记忆特性（如果对于任何非负实数t和s，我们有Pr（X>t+s | X>t）=Pr（X>s），则X的概率分布是无记忆的，见示例[45]）。

最后一个属性继承自指数分布。如果峰值（更高的峰度）高于正态分布，则统计分布具有轻轨特征。这个高峰值和相应的胖尾表明，与正态分布相比，分布更集中在平均值周围，标准偏差更小。有关厚尾分布及其在数学金融中的应用，请参见【44】中的详细信息。轻轨分布意味着微小变化的可能性较小，因为历史值以平均值为中心。然而，这也意味着在厚尾中，大的波动有更大的可能性。图1：双指数分布（绿色）与正态分布（红色），平均值=0，偏差=2。在【27】中，该分布用于模糊环境下的资产定价模型。与L'evy过程描述的其他模型相比，包括对数双指数分布跳跃在内的模型的一些优点包括：1）该模型恰当地描述了股票和外汇市场的一些重要实证结果。双指数跳变扩散模型能够反映收益分布的波动特征。此外，在[36]中进行的实证检验表明，对数双指数跳变扩散模型比对数正态跳变扩散模型更适合股票数据。2） 该模型给出了显式解，便于计算。3） 该模型具有经济性解释。4） 广泛的实证研究表明，市场往往对好消息或坏消息反应过度或反应不足。该模型的跳跃部分可以被视为市场对外部消息的反应。在没有外部消息的情况下，资产价格（或即期外汇汇率）随时间变化为几何布朗运动。