欧式Black-Scholes-Merton模型的李对称性分析

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Lie Symmetry Analysis of the Black-Scholes-Merton Model for European
  Options with Stochastic Volatility》
---
作者：
A. Paliathanasis, K. Krishnakumar, K.M. Tamizhmani and P.G.L. Leach
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We perform a classification of the Lie point symmetries for the Black--Scholes--Merton Model for European options with stochastic volatility, $\\sigma$, in which the last is defined by a stochastic differential equation with an Orstein--Uhlenbeck term. In this model, the value of the option is given by a linear (1 + 2) evolution partial differential equation in which the price of the option depends upon two independent variables, the value of the underlying asset, $S$, and a new variable, $y$. We find that for arbitrary functional form of the volatility, $\\sigma(y)$, the (1 + 2) evolution equation always admits two Lie point symmetries in addition to the automatic linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. However, when $\\sigma(y)=\\sigma_{0}$ and as the price of the option depends upon the second Brownian motion in which the volatility is defined, the (1 + 2) evolution is not reduced to the Black--Scholes--Merton Equation, the model admits five Lie point symmetries in addition to the linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. We apply the zeroth-order invariants of the Lie symmetries and we reduce the (1 + 2) evolution equation to a linear second-order ordinary differential equation. Finally, we study two models of special interest, the Heston model and the Stein--Stein model.
---
中文摘要：
我们对随机波动率为$\\ sigma$的欧式期权的Black-Scholes-Merton模型的Lie点对称性进行了分类，其中最后一个由一个带有Orstein-Uhlenbeck项的随机微分方程定义。在该模型中，期权的价值由一个线性（1+2）演化偏微分方程给出，其中期权的价格取决于两个自变量，即标的资产价值S$和一个新变量y$。我们发现，对于任意函数形式的波动率，$\\σ（y）$，除了自动线性对称和无穷多个解对称外，（1+2）演化方程总是允许两个Lie点对称。然而，当$\\ sigma（y）=\\ sigma\\u{0}$且期权价格取决于定义波动率的第二个布朗运动时，（1+2）演化并没有简化为Black-Scholes-Merton方程，该模型除了线性对称和无穷多个解对称外，还允许五个Lie点对称。我们应用李对称的零阶不变量，将（1+2）发展方程化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别有趣的模型，赫斯顿模型和斯坦-斯坦模型。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Merton模型 SCHOLES Merton choles Black

我们应用李对称的零阶不变量，将（1+2）发展方程简化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别感兴趣的模型，赫斯顿模型和斯坦-斯坦模型。关键词：Lie点对称性；金融数学；随机波动率；Black-Scholes-Merton方程MSC 2010:22E60；35Q911简介欧洲期权的Black-Scholes-Merton模型基于股票价格的一些Ansatz。具体而言，股票价格的过程具有连续性的特点，它能够利用交易成本进行连续对冲，并具有恒定的波动性[1、2、3]。*paliathanasis@na.infn.it+krishapril09@gmail.comkmtmani54@gmail.com§leach@ucy.ac.cyIn在Black–Scholes–Merton模型中，金融资产的价格由随机微分方程的解给出，其中，WT是一个B-rownian运动，期权的值u=u（t，S）由（1+1）演化方程的解给出，σSu，SS+rSu，S- ru+u，t=0（2），其中t是时间，S是标的资产的当前价值，例如股票价格，r是安全投资的回报率。当T=T时，选项的值取决于终端条件的满足情况，u（T，S）=u（S）。最后，σ是模型的波动率。布莱克-斯科尔斯-默顿模型假设波动率σ为常数。然而，在实际问题中，σ不是常数。模型的一个可能的推广公式（2）是考虑波动率取决于时间t和股票价值S，即σ=σ（t，S）。

随机波动性的统计重要性已在[8]中得到证实。这项工作的目的是研究具有随机波动率的Black–Scholes–Merton模式l，方程（5），通过使用组不变变换的方法，特别是方程的李（点）对称性。Lie对称性的重要性在于，它们提供了一种系统的方法来促进微分方程的求解，因为它们提供了一阶不变量，可用于减少微分方程。此外，李对称可以用于微分方程的分类。此外，我们可以从允许的不变变换组中提取微分方程的重要信息，从而提取模型的重要信息。Gazizov和Ibragimovin首次将Lie对称性应用于金融建模。他们研究了Black-Scholes-Merton方程（2）的不变变换组，具有恒定的波动性，并证明了方程（2）将李代数的元素{A3,8]作为李对称⊕sA3,1}⊕s∞A（在穆巴拉克·亚诺夫分类方案中【10、11、12、13】）。这意味着方程（2）是最大对称的，根据Sophus L ie[14]的定理，在变量s{t，s，u}的空间上存在一个变换，其中方程（2）可以用热方程的形式表示。最后一个是一个重要的结果，因为物理科学的数学方法可以用于研究金融数学中的微分方程。

对于商品的单因素模型[15]也发现了类似的结果，这意味着三个不同的方程，即he at方程、Black–Scholes–Merton方程和商品方程的单因素模型，在数学水平上是等效的，即使它们描述了不同的主题。近年来，谎言理论在金融数学中有着广泛的应用。例如，[16]研究了Cox–Ingerso ll–Ross定价方程的群不变量，而[17]研究了非线性模型。就亚洲n期权而言，在[18]中进行了李对称分类。至于Black-Scholes-Merto n模型的推广，非自治模型的Lie对称性和简化过程可以在[19，20]中找到，而等式（2）的另一种推广（带有“源”）在[21]中进行了研究。此外，在[22，23]中，对与空间和时间相关的单因素商品模型以及非自治二维Black-Scholes-Merto n方程进行了对称性分析。关于Lie对称在金融数学中的其他应用，请参见[24,25,26]及其参考文献。随机波动率模型方程（5）是一个（1+2）演化方程。下面，我们进行对称分析并确定群不变解。特别是，我们将分析局限于风险溢价因子vanis不一定|ρ|=1的模式lin，并且从等式（9）中，只有表示风险回报率的术语仍然存在。此外，我们研究了两种具有仓促波动性的欧元期权模型，即赫斯顿模型[27]和斯坦-斯坦模型[28]。后者是两个布朗运动wt和^Zt之间没有相关性的模型，即方程（4）中的ρ=0。

论文计划如下。在第2节中，我们给出了微分方程Lie点对称的基本性质和定义，并对我们的模型进行了对称分类。我们发现，没有风险前置因子的方程（5）在{3A}opluss下总是不变的∞ALie代数。然而，当f（y）是常数时，方程（5）在更大的L ie代数下是不变性的。李对称在方程（5）中的应用可以在第3节中找到，其中我们使用李对称提供的零阶不变量来简化（1+2）演化方程，并导出不变量解。在第4节和第5节中，我们研究了欧佩恩期权的两种随机波动率模型，分别是Hestonmodel和Stein–Stein-mo-del。对于这两个模型，我们发现它们在李代数{3A}下都是不变的⊕s∞A、 我们应用李对称性来求解这两个模型的方程。对于theHeston模型，闭式解用Kummer函数表示，而对于Stein–Steinmodel，闭式解用超几何函数表示。此外，我们还给出了这两个模型的一些数值解。最后，在第6节中，我们讨论了我们的结果并得出了我们的结论2李对称分析我们认为Black–Scholes–Merton方程具有由进化方程（5）控制的随机波动性，其中保费期限仅取决于风险回报率。

对于与时间无关的回报率，方程式（5）变为：0=f（y）Su，SS+ρβSf（y）u，Sy+βu，yy+（10）+rSu，S+α（m- y）- βρu- rf（y）u、 y型- ru+u，t（11）设Φ为一参数点变换的映射，例如Φ（u（t，S，y））=u′（t′，S′，y′）（12），具有极小变换（ε是小参数）t′=t+εξ（t，S，y，u）（13）S′=S+εξ（t，S，y，u）（14）y′=y+εξ（t，S，y，u）（15）u′=u+εη（t，S，y，u）（16）和ge-ne-ratorX=t′型εt+S′εS+y′εy型+u′型εu（17）现在考虑u（t，S，y）是方程（11）的解，在Φ映射下，方程（12），u′（t′，S′，y′）也是方程（11）的解。然后，我们说，单参数点变换的有限变换Φ的生成器X是（方程11）的李（点）对称，并且方程（11）在映射Φ的作用下是可变的。

这意味着存在一个函数ψ，使得以下条件保持[29]X[2]（H）=ψH，mod（H）=0（18），或者，等价地，X[2]（H）=0（19），其中X[2]是变量{t，S，y，u，u，S，u，y，u，SS，u，Sy，uyy}空间中X的第二次投影/扩展。规范X【2】由以下公式定义X【2】=X+ηAiuA+ηAij其中ηAi，ηAijare由关系式ηAi=ηA，i+uB，iηA，B给出- ξj，iuA，j- uA，iuB，jξj，B（21）和ηAij=ηA，ij+2ηA，B（iuB，j）- ξk，ijuA，k+ηA，BCuB，iuC，j- 2ξk，（i | B | uBj）uA，k- ξk、BCuB、iuC、juA、k+ηA、BuB、ij- 2ξk，（juA，i）k- ξk，BuA、kuB、ij+2uB（、juA、i）k（22）表1:f（y）=f时方程（11）的L ie对称性的李括号。XI，XJ\'X'X'X'XXu'X0 0-a'X2f'X+F- 2r级Xuα'X'X0 0 0 2Xu0 0'Xα'X0 0 0 2αfXu'X-2f'X-F- 2r级Xu2Xu0 0 0 0'X-a'X0-2αfXu0 0 xu0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0偏微分方程李对称性存在的重要性在于，从关联的拉格朗日系统中，dxiξi=duAηa（23）零阶不变量，U[0]xk，uA, 可以确定哪些可以用来减少微分方程独立变量的数量。下面，我们对方程（11）的Lie对称性进行分类。函数f（y）由方程（11）允许李对称s的要求定义。

此外，正如我们在导言中所讨论的，单因素模型与Black–Scholes–Merton方程一样是最大对称的。另一方面，f（y）=f表示波动率σ为常数。然而，在σ定义的空间中，第二个布朗运动^Zt与布朗运动wt相互作用，并修改了Black-Scholes-Merton模型。然而，在相关性ρ消失的情况下，即ρ=0，方程式（11）不会简化为方程式（2），而只有当Orstein–Uhlenbeck过程相同为零时，即β=0，α=0。否则，价格u取决于Orstein–Uhlenbeck过程。通过应用zeroth阶李不变量，我们继续推导等式（11）。此外，我们还研究了每个约化方程的李对称性。3群不变解在这一节中，我们应用李对称来简化方程（11）。我们研究了两种情况，f（y）=f，并且f（y）是任意函数。为了进行约简和后续方程以给出原始问题的解，在李对称向量和终端条件之间应该有一个约束。然而，由于初始条件可以从不同的选项中修改，因此我们在不考虑终端条件的情况下进行还原。关于Black–Scholes–Mer-ton方程（2）的不变量解，参见[34]。3.1任意函数f（y）对于任意函数形式的f（y），如上所述，方程（11）除了有限个解对称外，还允许三个Lie-po-int对称。最后一个不能用于减少。因此，我们不考虑他们。此外，u不依赖于一个独立变量的解是不可接受的解，也就是说，静态解不受关注。

因此，我们使用对称向量Y=X+κXu，Y=X+κXuand Y=X+cX+κXu进行约化。考虑对称向量Ygivesu（t，S，y）=exp[κt]v（S，y）（28）的李不变量，其中v（S，y）满足方程0=f（y）Sv，SS+ρβSf（y）v，Sy+βv，yy+rSv，S+α（m- y）- βρu- rf（y）v、 y型- （r）-κ） v（29）对于该方程，除了线性对称和有限数量的解对称（我们称之为平凡对称）外，方程允许向量场Y=SS、 这是一个简化的对称。因此，应用Yto方程（2 9）可得出二阶常微分方程βw，yy+2α（m- y） +2βf（y）ρκf（y）- u+rw、 y型+κ- 1.f（y）+2（rκ- r+κ）w=0（30），其中w=w（y）和U（t，S，y）=Sκexp[κt]w（y）（31）方程（30）是一个线性二阶微分方程，众所周知，它是最大对称的，并且在特殊线性（sl）代数sl（3，r）李代数下是不变的。类似地，如果我们用Y进行约化，则约化方程允许李对称X、Xv、Xb，最后，方程（31）和约束方程（30）再次给出解，考虑李对称向量Yto方程（30）的应用。我们有u（t，S，y）=exp[kt]v（z，y），z=S exp[-ct]（32），其中0=zf（y）v，zz+2ρβf（y）v，zy+βv，yy+2（r-c） zv，z+2α（m- y）- βρu- rf（y）v、 y型- （r）- κ） v（33）人们很容易发现，这个方程只允许李对称，zz、 除了平凡对称，它是一种约化对称。

因此，系统向量（z）的零阶不变量的应用z+κvv） 方程（33）给出了形式方程（31）和约束方程（30）的解。我们继续确定常数f（y）的群内变量解。3.2常数波动率f（y）=f，方程（11）允许六个Lie点对称，加上解对称的有限个数。此外，方程（11）是一个（1+2）演化方程，并且，为了将其简化为一个普通的微分方程，我们必须应用两个李对称的零阶不变量。