错向风险模型：分析风险的比较

（2.24）众所周知，很容易证明，在校准方程（2.21）下，可以通过寻找满足Sτ=U的通过时间τ来采样默认分布'G（t），其中U是均匀分布的独立势垒。在这样一个框架中，Az'ema supermatringale的动力学采用形式DST=-λtStdt，（2.25），其中λt>0 Q-a.s.Cox设置因此对应于特殊情况，其中Az'ema supermartingale STI是一个递减的F适应过程。特别地，Doob-Meyer分解中的鞅部分消失了，M≡ 生存过程减少的限制是由cox设置所驱动的，其中λt被限制为正值，因为它对应于默认强度。根据公式（2.18），u（·）=-λtStso错误方向过程变为ζt=λtSth（t）G（t）=λte-Rtλsdsh（t）G（t）。（2.26）这种方法最初是在Lando（1998）和Duffeeand Singleton（1999）的可违约债券估值和其他信用风险证券定价的背景下提出的。在这里，可以再次使用几个随机过程，但在实践中，可以利用短期利率和违约强度之间的关系（参见Brigo和Mercurio（2006））。方程（2.24）确实对应于根据连续复合利率r计算的随机贴现因子：Dt=e-RTRSD。（2.27）所有有效模型得出零息票债券价格的以下表达式（参见Brigo andMercurio（2006））Pλ（t，t）。=Ehe公司-RTtrsds | Fti=A（t，t）e-B（t，t）rt.（2.28）用λt替换rt，上述表达式为t← 0只是Pr（0，t）=G（t）的校准方程（2.21）。因此，可以通过将强度λt建模为“短速率过程r”，通过确定性函数φ进行偏移，从而实现对任何有效曲线G（t）的分析和精确校准，以允许对初始生存概率曲线的完美拟合：λt=rt+φ（t）（2.29）St=Dte-Rtφ（s）ds。

（2.30）校准方程式（2.21）得出漂移函数：G（t）=A（0，t）e-B（0，t）re-Rtφ（s）ds。（2.31）现在让我们重点关注RTI受Ornstein-Uhlenbeck（OU）和平方根扩散（SRD）动力学控制的标准案例。它们在工业上很受欢迎，基本上与高斯copula的原因相同：它们的易处理性。OU的移位版本称为赫尔白流程。它通常用于利率建模，但也用于描述融资利差的动态，即信贷利差，或风险率Lando（2004），Benaim（2011）。从业者意识到可以得出负强度，但他们通常同意使用违反理论要求的属性的模型，前提是可以控制“错误路径”的数量（从而尝试确保聚合结果是可信的，无论它意味着什么）；例如，见Cesari等人（2009年）。为了进行故障强度建模，赫尔-怀特过程的一个有吸引力的替代方法是平方根差异（也称为CIR、Du-ffe和Singleton（1999）），或者，考虑到完美的市场数据，移动平方根差异（SSRD，也称为CIR++），有无跳跃（Brigo和Alfonsi（2005），Brigo等人（2013））。然而，根据市场数据（即函数G（t）），移位函数可能导致具有负内容的非零概率，因此可能违反St6 1约束。因此，我们将重点关注赫尔-怀特过程，该过程是高斯过程，允许分析结果。然而，我们也将对SSRD获得的一些结果进行评论（以下大部分结果可在Brigo和Mercurio（2006）中找到）。我们将强度过程建模为λt=rt+φ（t；κ，θ，σ），（2.32），其中drt=κ（θ-rt）dt+σ（rt）dWt。

（2.33）注意ξ（x，t）=1- E-xκtxκ，（2.34）表2.2.1给出了函数A、B和φ的解析表达式。Vasicek CIRσ（x）σσ√xln A（t，t）θ-σ2κB（t，t）- T+T-σ4κB（t，t）2κθ/σln2k e（κ+k）（T-t） /22k+（κ+k）（e（t-t） k级-（1）B（t，t）ξ（1，t- t） （e（t-t） k级-1） 2k+（κ+k）（e（T-t） k级-1） φ（t；κ，θ，σ）h（t）+B（0，t）σB（0，t）- θκ- re公司-κth（t）-2κθetk-12k+（κ+k）（etk-1） +r4（k）etk（2k+（κ+k）（etk-1） ）尽管在两种短期利率模型中都可能存在负强度，但这种方法可能是Cox设置中模拟连续“正强度”过程最常用的方法。当然，也可以采用其他随机强度模型（如Hull and White（2012）、Willemen和Vrins（2014）），但它们不允许进行分析校准，需要数值方案。出于正性属性，当CVA的上述两种方法基本上为正时，它们的行为与CVA的上述两种方法类似（见下文与SSRD的比较）。2.2.2鞅方法Cox设置的替代方法是直接建模超鞅S，而不通过最新过程λ。更明确地说，我们遵循Cesari et al.（2009）中描述的Cesari设置，该设置最初是在信用挂钩期权CVA的背景下衍生出来的。在本节中，我们指定了一系列F-鞅的动力学，T：=Q（τ>T | Ft）（2.35），并通过让T↓ tSt：=St，t.（2.36）在Cesari et al.（2009）中，作者建议对t上的鞅（St，t）t>0建模∈ [0，T]使用阿加西过程st，T=G（T）+Ztη（s，T）dWs（2.37），导致动态st，T=η（T，T）dWt。（2.38）波动系数η应满足（Lipschitz或Holder-1/2连续性以及线性增长界限，参见。

Kloeden和Platen（1999））St，Tto是amartingale（而不仅仅是局部鞅）的正则性假设。因此，相应的Az'ema supermartingale为给定的系统=G（t）+Ztη（s，t）dWs。（2.39）注意，在我们的特定环境中，当η（t，t）=η（t）时，这种设置显然是不合适的。事实上，我们已经看到WWR特性是由错误的方式过程ζ控制的。然而，在这种特殊情况下，dSt=-h（t）G（t）dt+η（t）dWt（2.40），即u（t）=-h（t）G（t）表示ζ≡ 1、换句话说，不存在WWR影响，无论其相关性ρ如何。考虑更复杂的函数η（t，t）无助于解决St的范围问题，它是R而不是[0，1]。作者认为，在实际情况下，只要保持对概率Q（St＞1）和Q（St＜0）的控制，这是可以接受的。从某种意义上说，这种情况与上述“考克斯模型”没有太大区别，因为赫尔-怀特模型产生负强度，而CIR++可能有同样的缺点，具体取决于市场数据和工艺参数。通过考虑属于[0，1]，Qa的鞅St，t，就可以很容易地避开范围问题。s、 虽然这些过程在财务上很少受到关注，但最近提出了分享该属性的分析可处理过程，如Vrins（2014）；Vrins和Jeanblanc（2015年）。让我们将Vrins（2014）中描述的过程应用到我们的CVA上下文中，以下称为圆锥鞅。我们考虑一类潜在过程Xt，Twith dynamicsdXt，T=a（Xt，T）dt+σdWt（2.41），然后选择一个双射H:R→ [0，1]。设置St，T=H（Xt，T）。然后，我们使用It^o引理确定漂移函数a（x），确保St是局部鞅，前提是存在解Xt，Tto等式（2.41）。由于任何有界局部鞅都是鞅（参见Protter（2005）中的Th.5.1），因此St，Two也可以是真鞅。

在我们选择标准正态累积分布Φ作为映射函数H的特定情况下，它^o引理结合局部鞅条件唯一地确定漂移函数bea（x）=σx。（2.42）在这种特殊漂移下，随机微分方程（2.41）允许每个T的唯一强解。这产生了一系列具有零长期平均值和负平均值反转速度的Vasicek过程（Vrins和Jeanblanc（2015））：Xt，T=X0，Teσ/2t+σZteσ（T-s） dWs。（2.43）注意Д（x）=Φ（x）标准正常密度，并使用-Φ（x）/Φ（x）=-Д（x）/Д（x）=x，T=Φ（Xt，T）（2.44）的动力学由DST给出，T=σД（Φ-1（St，T））dWt（2.45）由于St是通过累积分布函数映射过程得出的，因此它被限制在[0，1]（扩散系数σД（Φ-1（x））在unitinterval的边界{0，1}处消失）。因此，它是有界局部鞅，因此是鞅。有关此随机过程的静态特性的更多详细信息，请参见Vrins和Jeanblanc（2015）。这里有趣的一点是，解，以及由此得到的St的分布，很容易从Xt，T的分布中得出，它与平均值X0，Teσ/2t和方差eσT呈正相关-1、下面我们设置x0，T：=Φ-1（G（T））（2.46），并将生存过程定义为S：=Φ（X），其中X：=（Xt）T>0，Xt：=Xt，T。很容易显示SCOR对以下It^o过程作出响应：St=1+Zteσ/2sД（Φ-1（Ss））Д（Φ-1（G（s）））dG（s）+σZtД（Φ-1（Ss））dWs。（2.47）在该模型中，错误路径过程ζ的形式为ζt=eσ/2tД（Φ-1（St））Д（Φ-1（G（t）））。（2.48）初始化（2.46）保证（2.21）保持：E[St]=E[Φ（Xt）]=EhΦX0，teut+peσt-1Zi=Φ（X0，t）=G（t）。（2.49）直观地说，该过程表现如下。在t=0左右，S’G（t）’1：波动性仍然可以忽略，根据确定性曲线G（t）：dSt’dG（t），生存过程从1减少。

当从1开始计算时，鞅部分进入图片，但仍然冻结在单位间隔[0，1]的边界处。现在，我们将继续分析所提出方法中的WWR EPE比例和CVA水平。为此，我们将介绍典型的衍生品风险敞口报告。3风险敞口比较此处的目的是从风险敞口比例和CVA水平角度比较上述WWR模型。因此，我们对信贷/市场耦合的影响比对投资组合动力学的精确建模更感兴趣。相反，我们希望制定出易于处理和复制的简化流程。为此，我们将使用原型仪器。特别是，我们假设主要生存概率曲线（h（t）=h）的风险率过程，并使用重新标度的布朗运动或布朗桥对贴现组合过程建模，从而试图分别模拟普通远期合约和利率掉期（IRS）的结果。这种建模设置的优点是可以引入高斯过程，使我们能够导出EPE文件的闭合形式表达式。3.1典型风险敞口从风险中性定价理论可以清楚地看出，到期日为T的远期合约的风险敞口（即贴现价格）过程必须是[0，T]上的F鞅，初始值为零。因此，我们可以将风险敞口过程建模为，0 6 s 6 T<T:Vt=θBt（3.1）Vt=Vs+θ（Bt- Bs）（3.2）~ Vs+θ√T- sZ（3.3），其中Bt是布朗运动，Z~ N（0，1）。美国国税局正在支付现金流，因此表现出对零的拉动效应。因此，贴现的投资组合流程可以用t∈ [0，T）作为布朗桥以确定性方式移动。

假设GV=0：Vt=γt（t- t） +θ（t- t） ZtT公司- sdBs（3.4）Vt | Vs=T- tT- sVs+γ（t- s） （T- t） +θ（t-t） ZtsT公司- udBu（3.5）~T- tT- sVs+γ（t- s） （T- t） +θr（t- s） （T-t） t型- sZ（3.6），其中Z~ N（0，1），并使用终端条件VT=0。在式（3.4）中，Bt是一个布朗运动，第一项控制预期暴露（EE）比例，第二部分是一个重新缩放的布朗桥，它将使预期正暴露（EPE）和预期负暴露（ENE）比例偏离预期暴露（平均，EE）比例。Constantθ控制敞口波动率，γ控制利润率。对于付款人掉期，γ的正（负）值模拟递增（递减）远期曲线。Shreve（2004）的定理4.7.6给出了布朗桥的具体公式，该公式特别重要，因为它会导致Ft可测量的过程。对于5年期欧元付款人掉期，可从掉期期权或上限/下限价格中获得的合理值为γ=0.5%和θ=2.2%。由于这些数据是高斯过程，所以它们是正态分布的，所以一般来说，Vt~ N（a（t），b（t））。（3.7）在上述情况下，我们分别有无条件预期敞口、正预期敞口和负预期敞口0 1 2 3 4 5-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06tVt（a）（γ，θ）=（0%，2.2%）0 1 2 3 4 5-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06tVt（b）（γ，θ）=(-0.1%，2.2%）0 1 2 3 4 5-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06tVt（c）（γ，θ）=（+0.1%，2.2%）0 1 2 3 4 5-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10tVt（d）（γ，θ）=（0.1%，4.4%）图1：IRS类型文件的贴现风险敞口文件。

五个样本路径（蓝色），平均5k路径（实心红色），平均±一个标准偏差（虚线红色），预期曝光γT（T- t） （实心、黑色）、EPE和ENE（预期正、负比例，由正、负绿色虚线比例给出）a（t）b（t）向前0θ√tIRSγt（t- t） θpt（1- t/t）由[Vt]=a（t）（3.8）E[V+t]=b（t）Д给出a（t）b（t）+ a（t）Φa（t）b（t）. （3.9）我们现在采用静态和动态方法计算有条件的EPE利润和CVA水平。3.2静态WWR CVA（使用高斯Copula）在本节中，我们计算了单因子高斯Copula设置下两种原型仪器的WWR EPE文件和相关CVA。这种原型建模的一个优点是，它允许在此设置下闭合形式的EPE表达式，从而避免了重采样步骤：分析表达式可用，无需蒙特卡罗模拟。我们现在开始推导这两种产品的EPE。由于无条件曝光是高斯过程，等式（3.7）yieldsF-1Vt（u）=a（t）+b（t）Φ-1（u）。（3.10）在静态设置中，WWR暴露根据toE【V+t |τ=t】=E【V+t（t）】（3.11）建模，其中Vt（t）是重采样的条件暴露。高斯copula设置将平均值为a（t）且方差为b（t）的无条件曝光Vt转换为WWR（条件）曝光Vt（t），根据Vt（t，ω）=F-1Vt（Φ（ρΦ-1（G（t））+p1- ρZ（ω））（3.12）=a（t）+b（t）ρΦ-1（G（t））+b（t）p1- ρZ（ω）。（3.13）因此，WWR暴露也是正态分布的：Vt（t）~ N（▄a（t），▄b（t）），（3.14），其中▄a（t）：=a（t）+ρΦ-1（G（t））b（t）（3.15）~b（t）：=b（t）p1- ρ（3.16），因此WWR预期贴现正风险敞口由[V+t |τ=t]=E给出V+t（t）=b（t）Дa（t）~b（t）+ a（t）Φa（t）~b（t）.

（3.17）在这两种情况下，价格过程的高斯行为允许以闭合形式获得EPE文件，因此CVA由半分析公式CV A=-ZT^1a（t）~b（t）b（t）dG（t）-ZTΦa（t）~b（t）a（t）dG（t）。（3.18）3.3动态WWR CVACVA由WWR EPE相对于违约概率G（t）=1的积分得出- G（t）至投资组合到期日；这是等式（2.2）。在动态方法中，该WWR EPE的形式为[V+t |τ=t]=E[ζtV+t]，（3.19），其中ζt=-u（t）/（h（t）G（t））是根据模型隐含的Az'emasupermartingale动力学定义的错误方法。在本节中，我们使用移位Vasicek方法和鞅方法分析强度方法。这里没有详细讨论SSRD的原因是，我们关注的是仍然可以分析处理的案例，而不是SSRD的案例（特别是由于难以计算λtand∧t=Rtλsds之间的相关性）。此外，与Vasicek相比，SRD（CIR）过程的主要优点是（在我们的上下文中）正性。不幸的是，由于移位函数φ，无法保证正属性，这使得模型的吸引力降低。此外，当远离零时，两种强度模型的行为（就WWR影响而言）或多或少相同（经验证据说明了第3.4节中的这一点）。因此，我们仅限于对船体白强度方法进行详细分析，并将根据数值结果对SSRD做出一些评论。后者将基于蒙特卡罗模拟，使用Brigo和Alfonsi（2005）提出的欧拉模式。用适当的相关矩阵λt表示标准正态变量~ A（t）+B（t）Z（3.20）A（t）=re-κt+φ（t）（3.21）φ（t）=h（t）+σκ（ξ（1，t）- ξ（2，t））- re公司-κt（3.22）B（t）=σpξ（2，t）。

（3.23）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.00 0.02 0.04 0.06 0.08EPE（T/2）与相关性ρ条件EPE（T/2）（a）正向型文件（h=1%）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.00 0.02 0.04 0.06 0.08EPE（T/2）与相关性ρ条件EPE（T/2）（b）IRS类型文件（h=1%）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05EPE（T/2）与相关性ρ条件EPE（T/2）（c）正向型文件（h=10%）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05EPE（T/2）与相关ρ条件EPE（T/2）（d）IRS类型文件（h=10%）图2：T=T/2和T=5的E[V+T（T）]wrtρ，θ=2.2%，γ=0.4%（蓝色，固体），贴现条件暴露平均ΔγT（1- 电汇）+θpt（1）- δt/t）ρΦ-1（G（t））（红色，虚线）和残余标准偏差θpt（1- δt/t）（1- ρ） （蓝色，虚线）表示正向（δ=0）和IRS（δ=1）文件。另一方面，St=e-Rtrs+φ（s）ds=：e-∧t（3.24），其中∧t=Ztλsds=Zt（rs+φ（s））ds（3.25）~ ω（t）+Ohm（t） Z（3.26）ω（t）=rξ（1，t）+Ztφ（s）ds（3.27）=σ2κ（t- 2ξ（1，t）+ξ（2，t））- ln G（t）（3.28）Ohm（t） =σκpt- 2ξ（1，t）+ξ（2，t）（3.29），回想一下，这两个数据都是正态分布的，即vt=a（t）+b（t）Z.（3.30）。对于每一次t，强度、生存概率和贴现风险变量可以写成iid标准正态变量X，Y，Z的函数：λt=a（t）+b（t）X（3.31）St=e-ω（t）-Ohm（t） （rX+rY）（3.32）Vt=a（t）+b（t）（rX+rY+rZ）（3.33），其中rijis是通过（λt，λt，Vt）相关矩阵的Choleski分解得到的下三角矩阵R的（i，j）元素，并满足| r1·········································=1。忽略时间指数以便于阅读，1ρλ，λρλ，Vρλ，λ1ρ∧，Vρλ，Vρ∧，V= RRT（3.34），R取形式R：=1 0ρλ，∧q1- ρλ∧ρλ，Vρ∧，V-ρλ，Vρλ，S√1.-ρλ，∧r1- ρλ，V-（ρ∧，V-ρλ，Vρλ，λ）1-ρλ，λ. （3.35）使用该公式，EζtV+t分析可用为EλtStV+t可以以闭合形式获得；这在附录第6.0.1节中进行。