错向风险模型：分析风险的比较

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英文标题：
《Wrong-Way Risk Models: A Comparison of Analytical Exposures》
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作者：
Fr\\\'ed\\\'eric Vrins
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we compare static and dynamic (reduced form) approaches for modeling wrong-way risk in the context of CVA. Although all these approaches potentially suffer from arbitrage problems, they are popular (respectively) in industry and academia, mainly due to analytical tractability reasons. We complete the stochastic intensity models with another dynamic approach, consisting in the straight modeling of the survival (Az\\\'ema supermartingale) process using the $\\Phi$-martingale. Just like the other approaches, this method allows for automatic calibration to a given default probability curve. We derive analytically the positive exposures $V^+_t$ \"conditional upon default\" associated to prototypical market price processes of FRA and IRS in all cases. We further discuss the link between the \"default\" condition and change-of-measure techniques. The expectation of $V^+_t$ conditional upon $\\tau=t$ is equal to the unconditional expectation of $V^+_t\\zeta_t$. The process $\\zeta$ is explicitly derived in the dynamic approaches: it is proven to be positive and to have unit expectation. Unfortunately however, it fails to be a martingale, so that Girsanov machinery cannot be used. Nevertheless, the expectation of $V^+_t\\zeta_t$ can be computed explicitly, leading to analytical expected positive exposure profiles in the considered examples.
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中文摘要：
在本文中，我们比较了在CVA背景下建模错误路径风险的静态和动态（简化形式）方法。尽管所有这些方法都可能存在套利问题，但它们（分别）在工业界和学术界广受欢迎，主要是由于分析的可处理性原因。我们用另一种动态方法完成了随机强度模型，包括使用$\\ Phi$-鞅直接建模生存（Az¨ema supermartingale）过程。与其他方法一样，此方法允许对给定的默认概率曲线进行自动校准。我们通过分析得出，在所有情况下，与FRA和IRS的典型市场价格过程相关的正风险敞口V^+\\U t$“有条件违约”。我们进一步讨论了“默认”条件与测量技术变化之间的联系。以$\\tau=t$为条件的$V^+\\u t$预期等于无条件的$V^+\\u t\\zeta\\u t$。过程$\\zeta$是在动态方法中明确推导出来的：它被证明是积极的，并且具有单位期望值。然而，不幸的是，它不是鞅，所以Girsanov机制不能使用。然而，可以明确计算$V^+\\u t\\zeta\\u t$的预期值，从而在所考虑的示例中得出分析预期的正暴露曲线。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Wrong-Way_Risk_Models:_A_Comparison_of_Analytical_Exposures.pdf (1.34 MB)

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关键词：风险模型 Mathematical respectively Quantitative expectation

错误方向风险模型：分析风险的比较*Louvain管理学院和COREUniversit\'e catholique de LouvainMay，2016年8月18日摘要本文比较了在CVA背景下建模错误路径风险的静态和动态（简化形式）方法。尽管所有这些方法都可能会受到套利问题的影响，但它们（分别）在业界和学术界很受欢迎，主要是由于分析的可跟踪性原因。我们用另一种动态方法完成了随机强度模型，包括使用Φ-鞅直接建模生存（Az'ema supermartingale）过程。与其他方法一样，此方法允许自动校准到给定的默认概率曲线。我们通过分析得出，在所有情况下，与FRA和IRS的典型市场价格过程相关的“违约条件”正风险敞口V+t。我们进一步讨论了“默认”条件与测量技术变化之间的联系。V+t条件τ=t的期望值等于V+tζt的无条件期望值。过程ζ在动态方法中明确推导：它被证明是正的，并且具有单位期望值。不幸的是，它并不是鞅，所以Girsanov机制不能使用。然而，可以明确计算V+tζtca的预期值，从而在所考虑的示例中得出分析预期的正暴露值。*联系方式：Chauss’ee de Binche 151，办公室A.212，B-7000 Mons，比利时。电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.我们感谢ING银行的CVA部门为我们提供了用于校准风险敞口的数据。1简介推动衍生品价格的一个重要因素是交易对手风险。

通过计算贴现未来现金流的风险中性预期值得出的交易对手无风险价格需要通过所谓的信用价值调整或CVA进行调整。后者旨在获取交易对手违约造成的损失的价值。其计算涉及条件期望。相关条件指的是我们对给定违约的投资组合价值感兴趣的事实：它捕获了信贷/市场的混合依赖性。这种市场信用关系通常被称为错误方向风险（WWR）。根据考虑的投资组合，WWR可能非常重要；自言自语的例子是当一个人多头买入对方的股票（正确的方式）或卖出（错误的方式）。尽管自金融危机和雷曼兄弟破产以来，交易对手风险尤其是CVA受到了更多的关注，但WWR影响的建模仍然是一个难题。在金融行业，大多数现有模型都依赖于静态或动态copulas（Gregory（2010）、Sokol（2011a）、Cepedes等人（2010）），而学者们通常会以不同的方式解决这个问题，他们通常更喜欢基于随机强度方法的动态设置（Hull and White（2012）、Brigo等人（2013））。在同时违约问题变得相关的情况下，还制定了处理CVAon信用违约掉期或双边交易对手风险管理的具体方法（见Brigo et al.（2013）和其中的参考资料，尤其是R'epey、Jeanblanc、Bielecki和其他合著者在这方面的工作，例如Assefa et al.（即将出版））。然而，令人惊讶的是，到目前为止，还没有提出关于WWR预期正暴露（EPE）比例和CVA水平的模型比较。

此外，现有的连续模型侧重于上述方法中的所有方法，同时可以考虑其他替代方法。另一个值得研究的方面是，是否可以使用测量技术的变化来处理预期中的WWR条件。事实上，条件期望只不过是关于条件密度的期望，人们可能会想，这种技术与Girsanov理论的结合是否有助于降低问题的维数。本文的目标是通过观察混合相关性对WWR EPEpro文件的影响，以及对静态和随机强度模型的原型暴露路径的CVA水平的影响，填补这一差距。我们还基于Φ-鞅导出了一个新的动态建模设置，Φ-鞅是在[0，1]中发展起来的一个可处理鞅。我们表明，它的行为类似于copula方法，因为相关性影响比随机强度模型产生的影响更为显著。本文的组织结构如下。我们首先回顾了CVA的定价公式，并强调了WWR的影响。然后，我们在第2.1节中回顾了静态（基于copula的重采样）模型的机制。在第2.2节中，我们介绍了WWR的两种动态方法。在引入新的设置之前，我们首先回顾了信贷风险建模的强度范式，我们称之为鞅方法。然后，我们在第3节中介绍了两种方案，旨在以原型的方式对远期利率协议（FRA）和利率掉期（IRS）的风险敞口进行建模。对于其中的每一个，WWR暴露都是在静态（第3.2节）和动态（第3.3节）模型中推导出来的。

最后，在第3.4.2节CVA和错误方式风险模型中对重抽样、随机强度和鞅方法进行了比较。起点是信用估值调整（CVA）的表达式，表示为交易对手违约导致的衍生工具组合未收回损失的现值Gregory（2010）；Brigo等人（2013）：CV A：=E【V+τ1I{τ6T}】。（2.1）在该表达式中，E代表风险中性度量Q下的预期，vt表示时间t时衍生产品组合的调整后（即贴现）价值，t是投资组合到期日，τ是代表交易对手违约时间的随机变量，1I{ω}是指标函数，如果ω为真，则为1，否则为零。我们将折扣价格过程称为无条件折扣过程。该表达式可以通过对交易对手违约时间的第一个条件重写，然后使用交易对手的生存概率曲线G（t）：=Q{τ>t}，由主要可用市场信息确定：CV A=-中兴通讯[V+t |τ=t]dG（t）=中兴通讯[V+t |τ=t]h（t）G（t）dt（2.2），其中，在最后一个表达式中，我们通常假设τ是由确定性风险率函数h（t）>0:G（t）：=e的时间非均匀泊松过程的第一次跳跃触发的-Rth（s）ds=：1-\'G（t）。（2.3）为了保持符号简单，我们已隐含地假设交易对手的回收率为零，但通过重新调整上述表达式的比例，可以轻松放宽该假设。

同样，我们也忽视了金融机构违约的可能性，即关注单边CVA。我们假设（Vt，τ）允许节理密度fVt，τ，τ的密度fτ在R+上严格为正，因此e[V+t |τ=t]=fτ（t）R∞xfVt，τ（x，t）dx在贴现风险独立于交易对手信用价值的特殊情况下，我们得到⊥=中兴通讯[V+t]h（t）G（t）dt。（2.4）如上所述，这种信贷市场独立性假设通常不现实，可以区分无条件（贴现）预期正风险E【V+t】和有条件（贴现）预期正风险E【V+t |τ=t】。我们自然将E[V+t |τ=t]称为错误的预期正风险敞口或WWR EPE，暗示我们正在考虑贴现风险敞口。信贷或有产品的建模可以通过我们所知的两种主要方式来处理。2.1使用静态（高斯）copula重新采样静态设置在实践者中非常流行（Sokol（2011a），Cepedes等人（2010），Sokol（2011b））。它依赖于连接函数，并允许采用计算效率高的两步程序来分离信贷和市场风险。在这种方法中，首先计算未来某个时间点{t，…，tn}到投资组合到期日的贴现风险敞口的风险中性分布FVt（x）。这些分配需要在投资组合级别进行计算。因此，在实践中，需要绘制贴现组合价格（称为风险敞口）的样本路径，忽略交易对手风险Vt（ω），然后计算经验分布^FVt（x）。在第二阶段，对于每个ti，我们通过平均从Vti分布中提取的样本来计算E[V+ti |τ=ti]。

根据概率积分变换，如果U是[0，1]中的均匀随机变量，独立于驱动暴露的风险因素和^F-1Vt（x）代表^FVt（x）的广义逆，那么我们有（直到^F导致的估计误差-1Vt≈ F-1Vt）：^F-1Vt（U）~ Vt.（2.5）WWR影响是由于采样变量U与defaulttimeτ相关：U=U（τ）。Vtigivenτ=tiare中的样品通过用U（ti）采样FvTi获得。重采样技术背后的思想是，使用两个自变量（Z，Z）将U和τ耦合起来：U=f（Z，Z；ρ），其中Z=g（τ），ρ控制着Z对U的影响。因此，通过将τ替换为Z中的t：Vt（t，ω）=^f，可以获得以τ=t为条件的当前投资组合值的样本Vt（t，ω）-1Vt（U（t，ω））=^F-1Vto f（g（t），Z（ω）；ρ） ，（2.6），其中Vt（t，ω）括号内的时间参数t强调默认条件τ=t，与表示无条件暴露的Vt（ω）相反。因此，我们有条件暴露的样本，从中可以计算经验预期^E[V+t（t）]。最后，根据大数定律，我们得到E[V+t |τ=t]≈^E[V+t（t）]。因此，通过计算条件期望值^E[V+ti（ti）]与相应违约概率的加权和，得出CVA。CVA表达式（包括WWR）是通过用E[V+t（t）]ineq替换E[V+t（t）]得到的。（2.2）：CV A=-中兴通讯【V+t（t）】dG（t）=中兴通讯【V+t（t）】h（t）G（t）dt。（2.7）与该模型相关的最终耦合方案（即copula）取决于集合{f，g，Z}的选择。设Φ（x）为标准正态累积分布函数。然后，程序包括选择Z作为标准正态变量，f（x，y；ρ）=Φ（ρx+p1- ρy）和g（x）=Φ-1（G（x））（因此▄Z=G（τ）=Φ-1（G（τ））是独立于Z）的标准正态变量，对应于高斯copula。

也可以考虑其他copula。然而，我们将在本例中使用高斯copula，因为它是一种市场标准，并允许在考虑的情况下得到分析结果。在这种框架中，τ和Vt（t）=Vt |τ=t之间的耦合通过与默认时间变量无关的标准正态潜变量Z引入：Vt（τ，ω）=F-1Vto ΦρΦ-1（G（τ））+p1- ρZ（ω）. （2.8）由于G（τ）在[0，1]中是均匀的，Φ-1（G（τ））是独立于Z，Vt（τ）的标准法线~ Vt：Φ-1.o FVt（Vt（τ））~ N（0，1）。（2.9）相比之下，条件暴露（其中τ设置为t）具有不同的均值和方差：Vt（t，ω）=F-1Vto ΦρΦ-1（G（t））+p1- ρZ（ω）（2.10）Φ-1.o FVt（Vt（t））~ NρΦ-1（G（t）），p1- ρ. （2.11）注意，在ρ→ 1（分别为1），Vt（t）由itsG（t）-分位数（分别为1）给出- G（t）-分位数：Vt（t，ω）（ρ=1）=F-1Vto G（t）=：q+（t）（2.12）（ρ=-1） =F-1Vto （1）- G（t））=：q-（t） 。（2.13）2.2动态错误方式风险建模备选（动态）方法是以联合、动态的方式对违约和风险敞口过程进行建模。默认过程可以是固定值（结构模型）或基于强度（简化形式）的模型。违约是罕见的具有极端影响的事件。这意味着在实践中，需要进行大量的模拟才能达到收敛。由于需要绘制违约时间和投资组合价格路径，因此这些模拟的成本很高。为了避免这个问题，可以使用生存概率过程，而不是实际的违约时间。这种设置需要对信息流（过滤）进行适当的建模。完整信息标注为G=（Gt）t>0，可以写成默认自由市场信息（不包括默认值）F=（Ft）t>0，并用默认指示器的σ字段rgt=Ft放大∨ σ1I{τ>s}，0 6 s 6 t.

（2.14）该设置允许我们在过滤F中工作，消除了以G-stoppingtimesτ为特征的指标。这种方法的特点是F-可预测生存过程被称为Az'ema超马尔丁格尔：St：=E[1I{τ>t}| Ft]=Q（τ>t | Ft）=：1- Ft.（2.15）在动态方法中，目标是通过在较小的过滤F中工作来消除G-停止时间τ。可以避免实际的违约模拟，这是一个好消息。这些方法依赖于theAz\'ema supermartingale。假设τ>0，直接应用有关过滤变化的关键引理（参见Bielecki et al.（2011）的引理3.1.3），我们可以写出式（2.1）asE的右侧V+τ1I{τ6T}= -E“ZTV+tdSt#。（2.16）这里有趣的一点是，这个表达式没有默认指标或默认时间。它们已经被F-可预测的生存过程所取代。S-特定的动力学选择符合WWR模型。可以显示（参见Bielecki et al.（2011）），S承认Doob-MeyerdecompositiondSt=dAt+dMt，（2.17）其中A是满足A=1的F-可预测递减过程，M是非负F-鞅。特别是，对于方程式（2.16）的S递减性没有限制。唯一的限制是∈ [0，1]几乎可以肯定，因为这是一种概率（见等式（2.15））。在连续情况下，S的动力学采用一般形式：dSt=u（.）dt+σ（.）载重吨。（2.18）由于所有t的h（t）G（t）>0，我们可以确定错误的过程ζ=（ζt）t>0：ζt：=-u（.）h（t）G（t）。（2.19）回顾It^o积分具有零期望，并使用Fubini定理，公式（2.16）becomesCV A=-中兴通讯V+tζtdG（t）=中兴通讯V+tζth（t）G（t）dt。（2.20）在续篇中，我们将假设风险中性预期值E【St】被限制为由满足式（2.3）中给出的G（0）=1的连续正非增长曲线G（t）给出。

在金融应用中，校准方程【St】=G（t）（2.21）确保随机违约模型与市场报价一致。特别是，它对应于利率和信贷独立下的CDS报价校准。这一假设被广泛接受，因为已知它对模型所暗示的CDS利差影响很小，参见Brigoand Alfonsi（2005）。该方程表明，对于所有t>0E[ζt]=1的情况，错误的方式过程ζ满足。（2.22）方程式（2.20）为控制WWR效应的动力学ζ命名了错误的方式过程。ζ应独立于V，例如，CV A=CV A⊥: 没有WWR影响。在动态的单因素设置中，将通过关联暴露和信用风险驱动因素引入错误的风险影响。在由单一布朗运动b和W驱动的暴露和生存过程的情况下，我们可以假设dhb，Wit=ρtdt。（2.23）我们将在后继中使用与时间无关的相关性，ρt=ρ。现在，我们回顾了用于错误方向风险动态建模的随机强度方法，并介绍了所谓的鞅方法。2.2.1随机强度法信用风险建模最常用的方法是考克斯法。在这种情况下，违约事件由泊松过程的第一次跳跃触发，其强度为非负随机过程λ，即τ被建模为Cox过程的第一次跳跃。由此得出的Az'ema supermartingale是式（2.3）的随机版本，其中确定性风险率函数h（t）被与市场因素相关的随机过程λt所取代：St=e-Rtλsds。