错向风险模型：分析风险的比较

现在需要计算每个时间索引t的相关矩阵rrtf的表达式，我们现在推导出了这个表达式。为此，首先回顾一下，由两个布朗运动wi和WJIt=Zta（s）dWIs（3.36）Jt=Ztb（s）dWJs（3.37）驱动的两个It^o积分Itan和确定性被积函数a（t），b（t）Jt之间的协方差由cov（It，Jt）=Zta（s）b（s）dhWI，WJis给出。（3.38）有了这个表达式，我们可以计算相关过程之间的成对相关性。特别是，强度积分强度相关性ρλ，λ（t）不依赖于门静脉过程。它对应于rt=λt之间的相关性- φ（t）和yt：=Rtrsds，由ρr，y（t）=ρλ，∧（t）=ξ（1，t）给出- ξ（2，t）pξ（2，t）pt- 2ξ（1，t）+ξ（2，t）。（3.39）我们现在计算FRA和IRS原型风险敞口文件与贴现风险敞口变量的相关性。对于远期合约，λtand vticonstant之间的相关性由ρV给出，λ（t）=ρσθt√σt√θt=ρ（3.40），∧tand Vtis之间的相关性由ρV给出，∧（t）=ρ（t- ξ（1，t））√tp（t- 2ξ（1，t）+ξ（2，t）。（3.41）对于IRS型文件，λtand vt之间的相关性由ρV给出，λ（t）=ρσθ（t- t） RtT公司-十二烷基硫酸钠√σtqθt（t-t） t=ρp（t- t） t ln（t/（t- t） ）t（3.42）和∧tand Vtis之间的相关性由ρV给出，∧（t）=ρθσ（t- t）ln（T/（T- t） ）+e-κtRt-T-TeκSSD√σtqθt（t-t） t（3.43）=ρ（t- t）ln（T/（T- t） ）+eκ（t-t） Rt公司-T-TeκSSDpt公司- 2ξ（1，t）+ξ（2，t）qt（t-t） t.（3.44）上述结果表明，可以在随机“强度”模型下分析计算CVA，其中暴露和“强度”均为高斯过程。如我们现在所示，在使用Φ-鞅时，保持了分析的可处理性。由于无需计算ρλ，λ（t），因此结果表达式比赫尔白强度法的表达式更简单。实际上，eq。

（2.48）揭示了ζ是由阿加西过程的一个简单函数（平滑双射）给出的，而不是两个高斯过程的乘积：ζt=Д（Xt）k（t）（3.45）k（t）=eut/Д（Φ-1（G（t））（3.46），u=σ/2，其中潜在（Vasicek）过程分布为XT~ Φ-1（G（t））eut{z}A（t）+pe2ut-1 |{z}B（t）z。（3.47）另一方面，（Xt，Vt）是具有一定相关性ρ（t）的联合高斯分布，将在下面推导。因此，ρ（t）=p1- ρ（t）WWR EPE对CVA f（t）的时间t贡献：=E[V+tζt]由f（t）=k（t）Zx，yν给出A（t）+B（t）xa（t）+b（t）（ρ（t）x+(R)ρ（t）y）+Д（x）Д（y）dxdy（3.48）=k（t）ZxДA（t）+B（t）xI（x）Д（x）dx（3.49）I（x）：=Z∞-∞a（t）+b（t）（ρ（t）x+(R)ρ（t）y）+Д（y）dy（3.50）=Z-m（x）a（t）+b（t）（ρ（t）x+(R)ρ（t）y）^1（y）dy。（3.51）设置m（x）：=a（t）b（t）+ρ（t）x'ρ（t）（3.52）上面的积分I（x）变成si（x）=a（t）+b（t）ρ（t）xZ∞-m（x）Д（y）dy+a（t）+b（t）(R)ρ（t）Z∞-m（x）yИ（y）dy（3.53）=a（t）+b（t）ρ（t）xΦ（m（x））+b（t）(R)ρ（t）Д（m（x））。（3.54）使用I（x）的表达式，可以明确推导出积分（3.49）（见附录6.0.2）。本阶段唯一缺失的部分是ρ（t），这是我们现在为FRA和IRS文件计算的一个量。在FRA类型合同中，XT和VTI之间的相关性由ρ（t）=σθρeutRte给出-usdsqσRte2u（t-s） ds公司√θt=2ρ1- E-σ/2tσpt（1- E-σt）。（3.55）对于掉期类型合同，XT和VTI之间的相关性由ρ（t）=σθ（t）给出- t） ρeutRte-usT-sdsqσRte2u（t-s） dsq（θ（T- t） ）Rt（t-s） ds（3.56）=σθ（T- t） ρeutRTT-teuSSD√e2ut-1θqt（T-t） t（3.57）=σρRTT-teuSSD√1.- E-2utqtT（T-t） （3.58）=σρsT（t-t） t（1- E-σt）ZTT-teσ/2sds。（3.59）3.4相关性ρ对WWR EPE文件的影响在本节中，我们将比较WWR EPE文件f（t）=E[V+t |τ=t]作为ρ函数的正向和IRS原型示例。

我们对高斯Copula（GC）、Hull-White（HW）强度和圆锥鞅（CM）设置进行了分析或半分析处理。CVA的相应值，通过将上述值与默认分布'G（t）=1进行积分获得- 然后分析各种风险因素（危险率水平h）。注意，为了便于比较，我们在二次鞅方法中交换了ρ的符号。HW方法的缺点（负风险率）在EPEcontext中变得特别重要，因为一旦在模型中插入适当的波动性，交易对手就嵌入了很少的信用风险（h small）。事实上，由于强度过程是正常的，因此模型中没有偏差：强度过程λ可以以非常显著的方式偏离水平h（t）。当h（t）很小时，这会迅速导致随机强度的正值和负值。因此，可以观察到负ζ（与λ成比例），甚至在某个时间点t，负ρ的WWR EPE也可以变为负。这在图3和图4的面板（b）和（f）中分别明确强调了正向和IRS文件。虽然在SSRD中未观察到“负EPE”，但移位函数可以为负，导致λ的负值（我们将在下一节中再次讨论这一点）。当信用风险增加时，强度过程围绕着更多的正值移动，从而使负面路径变得更加罕见。HW和CM的挥发率在这里相当大。我们决定从外部指定该参数：（i）单名CDS选项没有流动报价，以及（ii）我们在这里的主要目的是比较模型的能力，证明极限行为分析的合理性。对于HW，ρ对CVA的影响似乎随着σ的增大而无限制地增大，因为存在较大的正相关。

然而，由于负相关，CVA变得为负。因此，对于HW，我们决定将σ设置为一个值，使得Φ-鞅属于二次鞅类，如Vrins（2014）所定义，或者？当h=5%且ρ=-任何一种产品的80%。对于CM，CVA不随σ单调增加：它先增加后减少；因此，我们选择了σ，考虑到ρ=80%时的最大CVA。对于所有三种模型，WWR EPE值通常随相关性ρ逐点增加。这通常适用于HW，对于信用风险较小的交易对手（小h：远期和IRS文件分别参见图3和图4的（a）、（b）、（c）和（e）、（f）、（g）面板），GC和CM也是有效的。这对于HW来说是正确的，即使对于增加的h，但对于最后两个模型，对于风险非常高的交易对手，WWR EPE的长期部分，WWREPE相对于ρ的单调性被打破。参见相同图表的面板（i）、（j）、（k）。再次，值得注意的是，所有这些结果都是以分析或半分析的方式获得的，没有重采样、估计或模拟误差。另一个重要的注意事项是，与GC和CM相比，HW只能在短端引入较小的WW影响；WWR需要时间才能实现。这不是HW的具体情况，但却是基于强度的方法的一个共同特征。WWR EPE比较表明，CM和GC的行为非常相似，因为它们都允许WWR对短期收益产生影响，并且在这两种情况下，WWR EPE值相对于ρ的单调性可能不适用于收益的长期部分。CVA方面的比较也很有趣。特别是，它允许从不同的角度看待共同的想法。首先，人们通常认为ρ→ ±1在WWR框架中提供CVA的上限和下限。

同样，这对于HW来说是正确的（事实上，似乎对强度模型有效），但通常不能成立。特别是，当考虑GC或CMM模型时，CVA对于大h不是单调的wrtρ。这种单调性仅在一定程度上适用于违约率：这种行为对风险交易对手来说并不成立。我们使用图3和图4的面板（d）、（h）和（l）中的正向和IRS示例来说明这一点。如上所述，我们设置了HW模型的波动率参数σ，以便在设置ρ=-80%，h=5%时CVA为零（见面板（h））。另一个常见的想法值得澄清。人们通常认为，强度模型通常会导致较大的相关性影响，因为风险敞口和违约时间之间的依赖关系仅通过违约事件的强度来纳入，但根据强度路径，违约是独立的事件。事实上，在CVA的背景下，适度的“相关性影响”实际上是协方差效应，由于强度过程的瞬时波动性很小，协方差效应非常低。增加后者将增强“相关性影响”。以赫尔-怀特方法为例：任何相关性影响水平都可以通过调整瞬时波动率来实现。然而，这很难以一致的方式实现。原因是增加σ会在某一点上增加超过1的路径数。SSRD模型也是如此：增加波动率将打破Feller条件2κθ>σ，该条件限制了可以实现的隐含波动率水平，即负正性约束。使用跳转（JCIR++）可以部分避免这个问题，但正性约束变得更难检查。我们参考Brigo and Mercurio（2006）和Brigoand El Bachir（2010）进行详细讨论，并参考Brigo et al.（2013）[第。

3.3.6]进行总结。最后一点值得一提的是该模型隐含的CVA凸性。这里，HW再次显示出非凸性：CVA随ρ呈线性增加，这就是为什么对于大的负相关值和小的h（驱动ρ的截距），不能避免负CVA的原因- CV A绘图）。同样，其他两种车型的情况并非如此。只要h足够小（大），可以观察到小（大）相关值ρ的正（负）凸性。图5显示了HW和SSRD模型在CVA特性方面的相似性（更具体地说，CVA相对于ρ的近乎完美的线性）。左面板使用的数值接近inBrigo和Alfonsi（2005）的数值，而在右面板中，使用更多的极值来强调较大波动性的影响（右面板）。就像赫尔·怀特（Hull White）一样，SSRD模型并没有真正表现出倾斜，放松完美菲特假设并没有真正帮助获得凸性。这可以理解如下。假设我们放弃了完美校准约束，因此我们依赖于“纯”（即未移位）CIR模型。然后我们将优化参数，使E[St]≈ G（t）受Feller约束。因此，过程λ将严格保持正，确保所有ρ的CV A（ρ）>0。在这种情况下，当CV a（0）很小（即当nh很小）时，该零下界应意味着ρ-CVA（ρ）曲线的凸性。然而，我们无法观察到这样一条con，vex曲线。对于给定的暴露过程，smallCV a（0）表示小h，表示相对较小的κθ。因此，为了符合Feller条件，只能选择很小的σ值。因此，ρ（与σ成比例）的影响将非常有限，且曲线CV A（ρ）保持在零以上，但本质上是弯曲的（因此相当线性）。使用移位CIR不会解决该问题。

实际上，可以插入σ的较大值（放大ρ对CVA的影响），调整其他SRD参数，以满足Feller条件，然后利用确定性偏移获得近似（或完美）校准。尽管如此，后者通常为负值，导致潜在的负CVA。综上所述，CVA（ρ）在两种强度模型中都保持相当线性。对于较大的ρ，似乎无法获得较大的比率CVA（ρ）/CVA（0）值，同时在使用强度时，防止CVA（ρ）对于非常负的ρ为负。如果CV A（0）较大（因此h较大），则没有理由具有凸性，因为曲线在较大的正值中移动，因此可以在没有任何凸性影响的情况下实现零下界。0 1 2 3 4 50.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06高斯copulatwr EPE0 1 2 3 4 5-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10船体-WhitetWWR EPE0 1 2 3 4 50.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05ConictWWR EPE-0.5 0.0 0.5-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3ρWWR CVA●●●●●●●●●（d） 0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035Gaussian Copulatwr EPE0 1 2 3 4 50.00 0.01 0.02 0.03 0.04船体-WhitetWWR EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030ConictWWR EPE-0.5 0.0 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7ρWWR CVA●●●●●●●●●（h） 0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030高斯copulatwr EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020赫尔-WhitetWWR EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030ConictWWR EPE-0.5 0.0 0.50.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90ρWWR CVA●●●●●●●●●（l） 图3：高斯Copula（第1列）、Hull White（第2列；σ=4%，κ=0.5%）和圆锥鞅（第3列；σ=0.9）以及WWR CVA（最后一列）的WWR EPE正向特性。上排（h=1%）、中排（h=5%）、下排（h=30%）。每条曲线对应一个ρ水平∈ {-0.8，-0.6。

，0.6，0.8}颜色贴图（按升序）蓝色、绿色、红色、黄色、青色、品红、紫色、橙色。0 1 2 3 4 50.00 0.01 0.02 0.03 0.04高斯copulatwr EPE0 1 2 3 4 5-0.05 0.00 0.05船体-WhitetWWR EPE0 1 2 3 4 50.00 0.01 0.02 0.03 0.04ConictWWR EPE-0.5 0.0 0.5-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3ρWWR CVA●●●●●●●●●（d） 0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030高斯CopulatWWR EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025赫尔-白色TWWR EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025锥形TWWR EPE-0.5 0.0 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5ρWWR CVA●●●●●●●●●（h） 0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015高斯copulatwr EPE0 1 2 3 4 50.000 0.005 0.010 0.015船体-WhitetWWR EPE0 1 2 3 4 50.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014ConictWWR EPE-0.5 0.0 0.50.5 0.6 0.7 0.8ρWWR CVA●●●●●●●●●（l） 图4：高斯Copula（第1列）、Hull White（第2列；σ=3.15%，κ=0.5%）和圆锥鞅（第3列；σ=0.9）以及WWR CVA（最后一列）的WWR EPE IRS文件。上排（h=1%）、中排（h=5%）、下排（h=30%）。每条曲线对应一个ρ水平∈ {-0.8，-0.6，0.6，0.8}颜色贴图按（升序）蓝色、绿色、红色、黄色、青色、品红、紫色、橙色。我们在本节结束时强调，静态方法GC中的相关性实际上代表了一组终端相关性，并嵌入了动态设置中的瞬时相关性和波动性效应。这解释了为什么在不稳定模型中可以观察到较大的短期相关性影响。从我们的结果来看，较大的GC相关性ρ对应于动态设置中的极大（即不切实际的）波动性。事实上，如上所述，面板（d）、（g）和（l）对应于动态波动率设置为其（合理的）“最大值”的结果。

σ的影响，尤其是CV A（ρ）的单调性和凸性行为，见图6和图7。（a） （h，35%，0.12%，2%）（b）（h，35%，12%，20%）。图5：布朗相关性ρ对典型付款人掉期的CVA影响（γ，θ）=（0.5%，2.2%），适用于标准和凹凸值（r，κ，θ，σ）的SRD模型。在这两种情况下，影响都是线性的，当交易对手的信用风险较小（小h）且强度波动较大时，由于校准目的所需的确定性变化，CVA可能会变为负值。这些值是基于10000个带时间步长的蒙特卡罗模拟计算的 = 0.01。-0.5 0.0 0.5-0.4 0.0 0.2 0.4h=0.01ρCVA（%）-0.5 0.0 0.5-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6h=0.05ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.1 0.3 0.5 0.7h=0.1ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.75 0.85 0.95h=0.3ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.00 0.05 0.10 0.15 0.20h=0.01ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6h=0.05ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.2 0.4 0.6h=0.1ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.70 0.75 0.80 0.85 0.90h=0.3ρCVA（%）-0.5 0.0 0.5-0.2 0.0 0.2h=0.01ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4h=0.05ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.2 0.3 0.4 0.5 0.6h=0.1ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.65 0.70 0.75 0.80 0.85h=0.3ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.02 0.06 0.10h=0.01ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.1 0.2 0.3 0.4h=0.05ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.2 0.3 0.4 0.5 0.6h=0.1ρCVA（%）-0.5 0.0 0.50.55 0.65 0.75 0.85h=0.3ρCVA（%）4讨论和错误方向测量中心点是，这些错误方向风险模型是否意味着一个等效的测量Q，在该测量下，可以模拟VT以纳入错误方向风险影响。如果是这样，由条件Q期望的积分给出的CVA将成为无条件Q期望的积分：CVA=-中兴通讯【V+t |τ=t】dG（t）（4.1）=-ZTE[V+t]dG（t）。

（4.2）如果事实证明是这样，可以通过采用独立（无WWR）设置，但根据Girsanov定理调整价格过程的动态，将错误的方式风险纳入其中。这将有望使我们理清信贷和市场变量，并降低问题的维度。如果存在一个单位期望为Cv a=-中兴通讯V+tLtdG（t）。（4.3）将式（4.3）与式（2.20）进行比较，我们可以看到，在上述动力学模型中，ζt起到Lt的作用。从式（4.1）和式（4.3）中，我们得到了V+tζt= EV+t |τ=t. 变量ζt控制条件概率密度和无条件概率密度的比率。然而，前者中的条件取决于时间，其“不仅仅”取决于时间t时可用的信息，即不仅通过过滤Ft，还通过“τ=t”条件：eV+tζt= E[V+tE[ζt | Vt]]（4.4）=Z∞v=0v E[ζt | Vt=v]fVt（v）dv（4.5）EV+t |τ=t=Z∞v=0vvvt |τ（v，t）dv（4.6）E[ζt | Vt=v]=fVt |τ（v，t）fVt（v）（4.7），其中fVt |τ（v，t）是在Vt=v时评估的给定τ=t的（条件）密度。因此，如果ζt>0 Q-a.s.，E[ζt]=1和E[ζt | Fs]=ζs，则动态WWR模型将意味着测量的改变。显然，这是错误的方式Cox鞅和圆锥鞅设置中的过程都证明了前两个条件。关于积极性要求，从等式（2.26）中可以清楚地看出，如果λ>0，则ζ是非负的，这是Cox设置中的情况（回想一下，在使用标准利率过程建模λ时，这是不可保证的）。与式（2.48）类似，Φ-鞅情况下也是如此，其中ζ定义良好，前提是∈ [0，1]，这是构造的情况。基本满足单位期望约束：这是由公式（2.21）得出的公式（2.22）。