错向风险模型：分析风险的比较

我们可以检查所考虑的模型中是否确实存在这种情况。例如，在Cox设置中，我们有E[ζt]=E[λtSt]h（t）G（t）=-E【dSt/dt】h（t）G（t）=-d E[St]/dth（t）G（t）=1。（4.8）在圆锥鞅的情况下，校准方程（2.46）导致toE[ζt]=eσtν（Φ-1（G（t）））E[Д（Φ-1（St））]（4.9）=eσ/2tД（Φ-1（G（t）））E[Д（Xt）]（4.10）=Eσ/2tД（Φ-1（G（t）））E[Д（Φ-1（S0，t）eσ/2t+peσt-1Z）]（4.11）=eσ/2tД（Φ-1（G（t）））Д（Φ-1（S0，t））eσ/2t（4.12）=1。（4.13）然而，遗憾的是，ζ通常不满足Radon-Nikodym导数过程的鞅性质。这意味着ζ并没有定义一个等效的度量Q，而是定义了一组度量。事实上，ζ是一个单位期望随机变量，在Cox和CM方法中严格为正。因此，可以使用Shreve（2004）测量值的“局部”变化来计算每个“积分项”。问题是，我们需要确定每一项措施中暴露过程的动态，因此这种观点在实践中用处不大。我们通过比较4种动态方法（HullWhite、SSRD、Gaussian鞅和Φ-鞅）的S和ζ路径来总结这一分析。前三种方法的模拟方案在文献中是众所周知的。关于最后一种情况，通过设置S=1并注意到St=Φ（Xt）得到的模拟Sticanbe的精确方案，其中，Xt是一个Vasicek过程，也可以以无误差的方式进行采样。如上所述，使用短速率过程对随机强度进行建模可能会导致λ为负，即ζ为负。

防止这种情况发生的唯一方法（尤其是对于安全的交易对手，即具有小风险率函数h（t））是具有较小的波动率σ，这可能与期权报价不一致，但更重要的是，在这种情况下，将抵消布朗驱动因素W和B之间的瞬时相关性ρ的影响（对终端相关性没有影响）。然而，圆锥鞅方法并不能克服这一缺点。它允许快速、简单（分析性的，事实上是自动的）校准，而无需面对从[0,1]中产生概率的问题。特别是，在所有情况下都可以获得易失性错误路径过程ζ。图8显示了两种强度模型（Hull-White和SSRD）以及具有恒定扩散系数的高斯鞅和Φ鞅的Az'ema超鞅的样本路径。其中，只有第二个和第四个方案在[0，1]中展示了样本路径。理论上，只有四通在所有情况下都能保证共享此属性，因为SSRD中的移位函数可能是负的，并且实际上SSRD路径超过1。这从图9中错误的处理路径如箭头所示可以清楚地看到，其中负值是可见的（只有λ可以对此负责）；当接近零时，ζ的挥发度降低，但只有当rt=0时才消失（当λt=0时不消失）。与后两种情况相反，前两组路径更平滑，因为强度路径通过积分算子平滑。然而，所有这些都导致了初始生存概率曲线G（t）的完美校准。5结论在本文中，我们回顾了在CVA背景下建模错误路径风险的静态（基于copula的重采样）和动态（随机强度）方法。我们介绍了另一种基于所谓二次鞅的动态建模方法。

我们将WWR与测量技术的变化联系起来。已经证明，在高斯风险敞口的静态设置中，任何时间点的条件风险敞口确实可以通过忽略默认条件，但调整投资组合过程的分布来计算。我们比较了三种WWR模型，重点是描述转寄和掉期业务的典型暴露路径；获得了WWR EPE的解析表达式和CVA的半解析表达式，排除了本练习中的任何模拟问题。强度模型在这里被证明是非常特殊的。特别是WWR EPE模型和CVA对于混合相关性ρ是单调的，并且在某种程度上，WWR EPE模型（甚至CVA）可能会变为负值。圆锥鞅方法的有趣之处在于它确保了∈ （0，1）对于所有参数值（从而保证正CVA），都是稀疏的（一个参数，σ，这是一个很好的特性，因为CDS选项没有引号），允许自动校准CDS引号。此外，它的行为与简单的静态方法非常相似。特别是，它表现出短期影响和凸性。通过比较动态和静态方法，可以得出这样的结论：高斯Copula的大相关参数会导致具有大相关性的动态模型所隐含的CVA值，但也会导致极端（可能不切实际的）波动率值。在本文中，我们将随机强度模型的研究限制在最流行的方法上，从短期利率模型到信贷的转换：赫尔-怀特（Hull-White）以及在某种程度上的平方根偏移。

特别是，我们没有涵盖不允许分析的方法0 1 2 3 4 50.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00Hull-WhitetSt0 1 2 3 4 50.96 0.97 0.98 0.99 1.00CIR++tSt0 1 2 3 4 50.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00GaussiantSt0 1 2 3 4 50.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00ConictSt图8：四个模型的Az'ema supermartingale St样本路径。相应的参数为（顺时针，单位%）：（κ，θ，σ）=（0.5，1，1）（船体白色），（κ，θ，σ）=（8，30，1.1）（SSRD orCIR++），σ=10（圆锥）和σ=1（高斯）。我们使用了h（t）=1%，t=5.0 1 2 3 4 50.0 0.5 1.0 1.5 2.0外壳-Whiteζt0 1 2 3 4 50.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0CIR++tζt0 1 2 3 4 50.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0高斯ζt0 1 2 3 4 50.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0Conictζt图9：机组期望错误路径过程ζt的样本路径（参数如图8的标题所示）。校准，如对数正态强度模型相关的校准（Hull and White（2012），Willemen and Vrins（2014））。这需要依靠精心选择的模拟和离散化方案进行研究。最后，值得强调的是，所有考虑的方法都存在潜在的套利问题。这对于艺术重采样技术来说是相当清楚的。标准强度模型也是如此，因为负强度违反了Cox设置，可能导致Az'ema supermartingaleto大于1。根据所考虑的市场上交易的资产，套利机会也可能影响二次鞅，尽管几乎可以肯定St属于[0，1]。这是一个微妙的问题，与过滤的扩大有关，更准确地说，与浸没性质有关，也被称为H假设（Bielecki et al.（2011）Blanchet Scalliet and Jeanblanc（2004））。这将是一项具体研究工作的主题。

虽然这在实践中可能并不相关，因为CECVA是在净额结算集水平上计算的，但一个有趣的理论问题是，当只涉及一个风险因素时，随机性模型是否确实会产生按相关性逐点排序的EPE结果，因为这也意味着CVA具有类似的单调行为。