利用非线性杠杆效应进行波动率预测

表3给出了每个算法的执行时间。表3中的结果表明，与PL和PLAV相比，无杠杆SV模型的MCMC花费的时间更少。然而，对于线性leverageSV模型，MCMC所需的成本大约是PLAV的九倍。由此，我们可以得出结论，就实践中常见的在线估计而言，PLAVis优先于MCMC，尤其是当估计的模型比无杠杆SV模型更复杂时。3实证研究3。1数据我们实证研究的目的是使用eqn的SV NL模型预测股票收益的波动性。（8） 包括标准普尔500指数和日经225指数这两大股指的个股。分析中使用了2004年初至2013年底各股票的每日收盘价，前两年作为培训期，其余的则在八年期间依次分析。这样做是为了反映实际生活中遇到的这类数据的决策过程。由于部分股票在整个时间段内未上市，因此被排除在外。共分析了615只股票，其中417只来自标准普尔500指数，198只来自日经225指数。通过进行如此大规模的分析，我们不仅能够探索和比较杠杆效应及其预测性能，还能够检查SV-NL在多个市场和行业中的稳健性。3.2模型比较和先前规范对于每个股票收益率系列，我们估计了等式n中的SV-NL模型。（8） 从第0阶（无杠杆）到第6阶杠杆函数。为了辨别预测的最佳顺序，我们比较了一步预测边际似然：p（y1:T | k）=TYt=1p（yt | y1:T-1，k）=TYt=1Zp（yt | xt）p（xt | y1：t-1，k）dxt，k∈ {0，1，…，6}，（12）对于每个t=1:t和k阶；埃尔米特多项式的阶。

在贝叶斯模型选择程序中，在时间t时预测边际可能性最高的模型被选为表示时间t前数据的最佳模型。因此，在时间t时，我们选择了在整个检验期间进行预测的最佳模型。在粒子学习的框架中，这可以在过滤过程中直接计算，其中p（y1:T | k）\'TYt=1（NNXi=1p（yt | x（i）T，k）），（13），其中x（i）T，k（i∈ {1，…，N}）是由p（xt | x（i）t）生成的粒子i-1，|θ（i）t-1，k），这是方程n中SV-NL模型中状态方程的密度。（8） 。我们设定N=10000，并以前两年为学习期，使用十年数据中的最后八年评估边际可能性。在执行粒子学习算法时，我们将先前的规格设置为asA=diag1.0、0.01、1.0、····、1.0, b=[0.0，0.95，0.0，···0.0]，c=5，d=0.4，这是文献中相对非信息先验标准。3.3与传统假设相比的经验结果。我们将首先在线性假设下检验单个股票的预测绩效，以了解杠杆效应是否有助于其预测绩效。为此，我们将杠杆顺序限制为0和1，并检查每个股票是否选择eqn中的模型。（1） 或eqn。（4） 在相同规格下。通过对615只股票的研究，我们发现无杠杆模型（方程1）被选为近一半股票的最佳预测模型，而另一半股票表现出弱杠杆效应（图1、图2：左列）。与其他论文报道的结果相比（YU 2005年为-0.3179，Omori et al.2007年为-0.3617，Nakajima和Omori 2009年为-0.4825），我们发现平均杠杆效应要小得多（-0.07，如果我们排除零，则为-0.05）。

这证实，在标准线性假设下，大多数股票要么没有表现出杠杆效应，要么非常小。这可能会导致决策者随后假设杠杆效应不存在，或者由于其计算复杂性的增加而值得建模。然而，正如我们现在将要说明的那样，这一假设是不正确的，可能会损害正在考虑的预测和后续决策。放松模型，将高阶杠杆包括在内（图2：右栏），我们发现，在预测性能方面，在广义框架下，无杠杆被选为最佳模型，仅占11%，这意味着约30%被错误指定，46%被错误指定为线性杠杆，使得错误指定模型的总数约为76%，在这种设置下，76%的用户失去了预测性能。这种逆转强烈表明，传统的线性假设具有误导性，使估计结果偏向于无杠杆效应的证据，从而导致较差的预测性能。鉴于这一结果，我们可以看到，杠杆效应在预测未来波动性方面比之前预期的更持久。对于所分析的股票，具有一定杠杆效应阶数（89%）的模型显示，与无杠杆相比，预测性能有所改善，我们可以看到，其中许多具有较高杠杆阶数（76%）。预测性能。我们进一步分析了通过放松杠杆效应中的线性假设所做的改进量。在这里，我们比较了在线性假设下选择的最佳模型和在非线性扩展下选择的最佳模型在对数预测边际似然中的差异。

在文献中，这被称为对数预测密度比，LPDR1:t（t+1）=Xi=1:tlog{pnl（yt+1 | y1:t）/pl（yt+1 | y1:t）}，其中pnl（yt+1 | y1:t）是具有非线性杠杆的SV模型下的预测密度，pl（yt+1 | y1:t）是具有线性杠杆的SV模型下的预测密度。正如几位作者最近所使用的（例如Nakajima和West 2013；Aastveit等人2015；McAlinn和West 2017），LPDR测量提供了相对分布准确性的直接统计评估。在这种情况下，正LPDR表明SV-NL在线性假设下优于SV。我们对所有股票（图3）、美国股票（图4）和日本股票（图5）进行了比较。请注意，仅就直方图而言，我们排除了Fidelity National Information Services。和TOTO，尽管它们不会影响得出的总体结论，但由于它非常倾向于零杠杆和扭曲柱状图的比例，因此它们来自各自的市场。从所有资产的总体结果来看，使用非线性杠杆的预测收益很明显，LPDR的分布完全不对称。此外，当LPDR<-10非常罕见的是，LPDR>10的股票更多，这使得不对称性更加严重。转到美国股市，我们发现这种不对称（或偏斜）更为明显，模式向正方向偏移（即SV-NL表现更好）。相比之下，日本股市似乎更倾向于以零为中心，尽管很明显，许多股票都有可观的收益。美国股市和日本股市之间的差异值得注意，因为很明显，美国股市更有可能从非线性杠杆效应中获利，而且涨幅更大。

这表明，尽管所有股票的预测性能都在持续改善，但某些市场更有可能从非线性框架中获益。利用特性。我们通过检查SV-NL中leveragefunction的特征来进一步分析。图6显示了使用边际似然法在agroup中选择的多项式阶数。左侧面板显示所有615只股票的结果，右侧面板显示按市场划分的结果。如前一节所述，对于所有股票，我们可以看到许多股票通过二阶杠杆（38%）和三阶杠杆（19%）来提高预测绩效。就高阶杠杆率（杠杆率为2-6级）而言，约占所有股票的76%。在所检查的股票中，只有很少一只股票的杠杆率按4-6的顺序提高，这意味着杠杆率可以很简单地通过低阶函数获得，并且没有过度拟合。在图6的右侧面板中观察到类似的模式，这表明非线性平均效应改善了业绩，并在美国和日本股市上持续存在，这表明它不是一种依赖市场的现象。然而，尽管这两个直方图的大致形状相似，但我们可以看到，这两个市场之间存在着细微的差异。例如，与标准普尔500指数的股票相比，日经225指数中无杠杆或线性杠杆表现最好的股票比例更高。人们普遍认为，日本公司和投资者比美国更为保守，我们推测，两国投资者之间的风险偏好/厌恶差异可能在一定程度上影响股票的波动性结构。

尽管如此，这两个市场中的大多数股票都支持高阶杠杆函数，这强烈表明这种效应是存在的，它改善了预测性能，但并不是以我们之前认为的方式（即线性）实现的。行业业绩。仔细观察部门内的杠杆顺序（图7），我们发现，在所有部门中，第二阶杠杆函数是选择最多的顺序，与总体结果一致，但通信除外，通信只有四支股票（均为高阶）。尽管类似，但对部门内订单分布的仔细检查表明，每个部门都有一些独特的特征。例如，医疗保健、工业和技术等部门的高阶杠杆率高于低阶（零和一）杠杆率股票，而金融、材料和公用事业部门的低阶杠杆率股票更多。这些特征可以用行业规模、投资者认知、会计规则等因素来解释。检查杠杆功能。桌子4报告了杠杆函数和图的Hermit多项式中正/负最高阶系数的数量（单位：k）。8显示了在该阶次下最佳的选定股票的估计杠杆函数，即新闻影响曲线，如图所示。注意，对于图8，种群是任意选择的，并不代表整个种群，尽管许多种群表现出相似的特征，我们可以从表中推断出来。根据最高阶系数的符号，这告诉我们杠杆函数的大致形状。例如，所有股票的一阶杠杆率符号均为负，这与杠杆效应为负相关的共识一致。对于二阶杠杆函数，φ的符号决定杠杆函数是凹函数（φ<0）还是凸函数（φ>0）。

正如我们在表中所看到的。4，对于大多数股票，Д为负值，这意味着杠杆函数为凹函数，类似于图8中的二阶杠杆函数。对于图8中的估计杠杆函数，凹型杠杆函数的模式大约为零。因此，无论是正面的还是负面的大规模冲击都会降低波动性，这与传统的杠杆效应解释背道而驰。与线性杠杆相比，非线性杠杆在零和尾部表现出两个关键差异。首先，由于埃尔米特多项式不需要函数居中，我们发现价格无差异等同于波动无差异的假设是错误的。这表明，在两个方向的价格都出现小幅波动或无波动后，股票变得更加不稳定。这可能是由于投资者购买/出售停滞不前的股票的情绪、未考虑日内波动性、模型过度收缩其波动性估计或所有因素的组合造成的。从经济角度来看，我们可以推断，至少对于小规模的波动，杠杆效应不是来自财务杠杆，而是反映了投资者情绪和不确定性。其次，我们观察到，虽然函数的形状随阶数的不同而不同，但它们在零附近大致有一个负斜率，类似于一阶（线性）杠杆函数，尾部为负。这一结果与杠杆效应的传统解释背道而驰，因为它意味着巨大的冲击，无论是正面的还是负面的，都会降低其波动性。对于为什么会发生这种情况，以及为什么它可以更好地解释股票价格的变动，有多种可能的解释。

一种可能的解释是，股价的大幅上涨或下跌是一种第一刻现象，而不是第二刻现象。换言之，股票价格会随着预期回报率的意外变化而大幅上涨或下跌，但这并不是因为波动性的变化。另一种可能的解释是，当股价上涨或下跌时，上涨或下跌趋势往往会继续，即动量效应，这种持续性会减少每日波动。虽然这些可能的解释是推测性的，但很明显，与线性杠杆效应相比，这些高阶形式更好地代表了数据，并提高了预测性能。4结论杠杆效应是表征和预测波动性的关键因素。虽然市场的观察结果加上随之而来的明智的经济论据，已在研究人员和从业者中达成共识，认为这种影响是存在的，但来自个别股票的经验证据往往相互矛盾，导致表现不佳。在本文中，我们认为这并不是因为杠杆效应不存在，而是因为我们对杠杆效应的假设及其建模方式是错误的。在随机波动率（SV）框架下，我们将杠杆效应（假设为线性）推广到非线性。将新模型应用于包括标准普尔500指数或日经225指数在内的股票，我们发现，大多数股票都表现出非线性杠杆效应，考虑到这一效应，大幅改善了波动性预测。此外，本文还讨论了利用粒子学习算法的扩展来估计复杂非线性模型的新方法。

有了这一新算法，我们现在能够使用传统方法估计和推断成本太高或难度太大的模型和参数，从而允许研究人员灵活地扩展当前模型并创建新模型。此外，模型的连续性使其能够实时应用以前被认为不切实际的模型。参考Aastveit，K.A.、Ravazzolo，F.和van Dijk，H.K.（2015），“不确定经济环境下的联合密度预测”，《商业与经济统计杂志》，，-，-，-，-。Bekaert，G.和Wu，G.（2000），“股票市场中的非对称波动性和风险”，《金融研究评论》，13，1-42。Black，F.（1976），“股票价格波动性变化研究”，摘自：1976年美国统计协会会议记录，171–181。Carvalho，C.M.、Johannes，A.M.、Lopes，H.F.和Polson，N.G.（2010），“粒子学习与平滑”，统计科学，25，88–106。Carvalho，C.M.和Lopes，H.F.（2007），“基于模拟的马尔可夫转换到随机波动率模型的序列分析”，计算统计与数据分析，514526–4542。Chib，S.、Nardari，F.和Shephard，N.（2002），“随机波动率模型的马尔可夫链蒙特卡罗方法”，《计量经济学杂志》，108281-316。Christie，A.A.（1982），“普通股方差的随机行为：价值、杠杆和利率效应”，《金融经济学杂志》，10407–432。Creal，D.（2012），“经济学和金融的序贯蒙特卡罗方法调查”，《计量经济学评论》，31245–296。Dumas，B.、Fleming，J.和Whaley，R.（1998），“隐含波动率函数：实证检验”，《金融杂志》，532059-2106。Fearnhead，P.（2002），“马尔可夫链蒙特卡罗，充分统计和粒子过滤器”，J.Comput。图表统计员。，11848–862。弗里德曼，M.和哈里斯，L。

（1998），“非高斯随机波动率模型的最大似然方法”，《商业和经济统计杂志》，16284–291。Gamerman，D.和Lopes，H.F.（2006），《马尔可夫链蒙特卡罗：贝叶斯推断的随机模拟》，查普曼和霍尔/CRC出版社。Geweke，J.（1994），“经济计量模型的贝叶斯比较”，工作论文，明尼阿波利斯研究部联邦储备银行。Glosten，L.、Jagannathan，R.和Runkle，D.（1993），“关于预期价值与股票名义超额收益率波动性之间的关系”，《金融杂志》，481779-1801。Gordon，N.J.、Salmond，D.J.和Smith，A.F.M.（1993），“非线性/非高斯贝叶斯状态估计的新方法”，IEEE Proceedings-F，140107-113。Hansen，P.R.、Huang，Z.和Shek，H.H.（2012），“已实现GARCH：回报和已实现波动率测量的联合模型”，《应用计量经济学杂志》，27877–906。Jacquier，E.、Polson，N.G.和Rossi，P.E.（1994），“随机波动率模型的贝叶斯分析”，《商业和经济统计杂志》，12371-389（2004），“具有厚尾和相关误差的随机波动率模型的贝叶斯分析”，《计量经济学杂志》，122185-212。Johannes，M.和Polson，N.G.（2008），“精确粒子过滤和学习”，工作论文，芝加哥大学布斯商学院。Johannes，M.、Polson，N.G.和Yae，S.M.（2008），“非线性过滤和学习”，工作纸，芝加哥大学布斯商学院。Kim，S.、Shephard，N.和Chib，S.（1998），“随机波动率：与ARCH模型的可能性推断和比较”，《经济研究评论》，第65361-393页。Kitagawa，G.（1996），“非高斯非线性状态空间模型的蒙特卡罗滤波器和平滑器”，《计算和图形统计杂志》，5，1–25。Liu，J.和West，M。