利用非线性杠杆效应进行波动率预测

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英文标题：
《Volatility Forecasts Using Nonlinear Leverage Effects》
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作者：
Kenichiro McAlinn, Asahi Ushio, Teruo Nakatsuma
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The leverage effect-- the correlation between an asset\'s return and its volatility-- has played a key role in forecasting and understanding volatility and risk. While it is a long standing consensus that leverage effects exist and improve forecasts, empirical evidence paradoxically do not show that most individual stocks exhibit this phenomena, mischaracterizing risk and therefore leading to poor predictive performance. We examine this paradox, with the goal to improve density forecasts, by relaxing the assumption of linearity in the leverage effect. Nonlinear generalizations of the leverage effect are proposed within the Bayesian stochastic volatility framework in order to capture flexible leverage structures, where small fluctuations in prices have a different effect from large shocks. Efficient Bayesian sequential computation is developed and implemented to estimate this effect in a practical, on-line manner. Examining 615 stocks that comprise the S\\&P500 and Nikkei 225, we find that relaxing the linear assumption to our proposed nonlinear leverage effect function improves predictive performances for 89\\% of all stocks compared to the conventional model assumption.
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中文摘要：
杠杆效应——资产回报率与其波动率之间的相关性——在预测和理解波动率和风险方面发挥了关键作用。虽然杠杆效应存在并改善预测是长期以来的共识，但矛盾的是，经验证据并没有表明大多数个股都表现出这种现象，从而错误地描述了风险，从而导致预测表现不佳。我们通过放松杠杆效应中的线性假设来检验这一悖论，目的是改进密度预测。在贝叶斯随机波动率框架内，提出了杠杆效应的非线性推广，以获取灵活的杠杆结构，其中价格的小波动与大冲击的影响不同。开发并实现了高效的贝叶斯序列计算，以实用的在线方式估计这种影响。通过对615只包括标准普尔500指数和日经225指数的股票进行检验，我们发现，与传统模型假设相比，将线性假设放松到我们提出的非线性杠杆效应函数可以提高89%股票的预测性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：杠杆效应 非线性 波动率 Applications Econophysics

利用非线性杠杆效应进行波动率预测*, Asahi Ushio+和Teruo Nakatsuma2018年10月8日摘要杠杆效应——资产回报率与其波动率之间的相关性——在预测和理解波动率和风险方面发挥了关键作用。尽管长期以来人们一致认为杠杆效应存在并改善预测，但自相矛盾的是，经验证据并没有表明大多数个股都表现出这种现象，从而错误地描述了风险，从而导致预测表现不佳。我们通过放松杠杆效应中的线性假设来检验这一悖论，目的是改进密度预测。在贝叶斯随机波动率框架内，提出了杠杆效应的非线性推广，以捕获灵活的杠杆结构，其中价格的小波动与大冲击具有不同的影响。开发并实施有效的贝叶斯序列计算，以实际在线方式评估这种影响。通过对615只股票（包括标准普尔500指数和日经225指数）的检验，我们发现，与传统模型假设相比，将线性假设放松到我们提出的非线性平均效应函数可以提高89%股票的预测性能。关键词：杠杆效应，粒子学习，随机波动率，贝叶斯分析。*芝加哥大学布斯商学院。kenichiro。mcalinn@chicagobooth.edu+庆应义塾大学科学与工程学院。ushioasahi@keio.jp庆应义塾大学经济学院。nakatuma@econ.keio.ac.jp1简介波动率的估计、推断和预测是分析具有可变性的数据以做出明智决策的最关键方面之一。

在金融和经济领域，对金融资产的波动性进行了深入研究，以进一步了解价格运动的机制和结构。波动性的一个方面引起了人们的特别兴趣，那就是资产回报率与其波动性之间的相关性；创造了杠杆效应。特别是，对于涉及预测的决策，这种相关性是至关重要的，因为对于大多数顺序决策问题来说，知道今天的变化将如何影响明天的风险是非常必要的，尤其是在相当大的冲击下。人们经常声称，这种相关性是负的，这意味着对资产回报的负（正）冲击会导致其波动性增加（减少）。因此，根据之前的冲击所暗示的增加或减少波动的预测，相应地改变决策。这一现象是直观的，正如我们可以预期——并且经常观察到的那样——与价格稳定或上涨的资产相比，不良资产表现出更多的可变性和不确定性。杠杆一词是指Black（1976）和Christie（1982）给出的经济解释。他们指出，当资产价格下跌时，公司的相对债务增加，使资产负债表杠杆化，导致公司风险更高，因此其市场价值更不稳定（例如，有关杠杆效应的不同解释和比较，请参见Bekaert和Wu 2000）。虽然这只是一个假设，但这一解释在该领域很有影响力，人们普遍认为这种影响是存在的，通过检查主要股票指数（Nelson 1991；Glosten et al.1993；Dumas et al.1998，针对ARCH型模型和Jacquier et al.1994；West and Harrison 1997；Jacquier et al.2004；Yu 2005；Omori et al.2007；Nakajima andOmori 2009，2012；Takahashi et al.2013；Shirota et al.2012）得到支持证据。

2014年，SV型车型）。然而，与普遍看法相反，缺乏实证证据证明个别股票的影响是自相矛盾的；大多数股票的资产收益率和波动率之间的相关性为零或非常弱。这对于希望利用这种结构的决策者来说是很麻烦的，因为这种相关性的错误描述可能会导致相当大的效用损失。我们假设这是由简单但几乎普遍的相关性表示引起的：文献中的大多数波动率模型，无论是基础模型还是高级模型，都假设资产回报率与其波动率之间的关系是线性的，尽管在模型的其他方面已经取得了许多进展。然而，认为回报率的大幅震荡会影响波动率，并与小的日波动率具有相同的线性关系，这是违反直觉的。这一概念推动了考虑更复杂杠杆效应的研究。例如，Hansen等人（2012年）通过在GARCH框架内使用杠杆函数，引入了更一般形式的杠杆效应。在随机波动率（SV）模型的背景下，尽管SV模型因其在捕捉资产回报特征方面的灵活性而被认为优于ARCH型模型，但在这方面没有任何进展（Geweke 1994；Fridman and Harris 1998；Kimetal.1998）。部分原因是SV modelsentail的计算复杂性，因为它需要复杂的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，难以采样和调整。我们通过扩展SV模型，将杠杆函数以埃尔米特多项式的形式纳入其中，以检验资产回报率与其波动率之间相关性的非线性动力学来应对这一变化。

为了实现这一点，我们通过扩展Carvalhoet al.（2010）的粒子学习方法，利用序贯蒙特卡罗（SMC）开发了一种有效的贝叶斯计算方法，从而能够快速、高效地在线估计之前几乎不可能的感兴趣参数。通过新的模型和算法，我们能够检查和分析大量权益资产和加班的杠杆效应，并在简单线性表示下未观察到或较弱的杠杆效应找到有力证据，从而提高预测性能。我们将用非线性杠杆函数定义SV模型及其第2节中的估计方法。第3节将介绍实证研究，其中我们将我们的模型应用于构成标准普尔500指数和日经225指数的所有股票的每日回报率，并在第4.2节带有杠杆功能的随机波动率模型2中进行补充评论和进一步讨论。1随机波动率非线性杠杆（SV-NL）基本SV模型由以下非线性动态模型给出（West和Harrison1997；Carvalho和Lopes 2007；Lopes和Polson 2010），yt=expxt公司t、 xt=u+βxt-1+ηt，tηt~ i、 身份证号码,1 00τ, （1） 其中，ytis是第t天的资产回报率，Xt是时变对数波动率。SV模型是具有观测噪声的状态空间模型tand状态噪声ηt。两者tandη在该模型中是相互连续独立的，由协方差矩阵中的非对角元素表示为零。Yu（2005）将两种类型的SV模型与杠杆（本文中称为不对称SV）进行了比较，以表示模型中的杠杆效应。二者的广泛使用假设了tandηtas如下yt=expxt公司t、 xt=u+βxt-1+ηt，tηt~ i、 身份证号码。

N,1ρτρτ, （2） 其中ρ是观测噪声之间的相关性tand状态噪声ηt，考虑方差的暂时依赖性。然后将状态噪声ηtcan重写为ηt=ρτt+p1- ρτut。（3） 其中ut~ N（0，1）。因此，方程n。（2） 可以重写为具有不相关观测噪声和状态噪声的非线性状态空间模型电话：yt=expxt公司t、 xt=u+βxt-1+ДT-1+ωut，图坦卡蒙~ i、 身份证号码,1 00 1, （4） 式中，Д=ρτ，ω=p1- ρτ。方程的模型表示。（4） 假设线性相关，如项中所示T-1是线性的，尽管该假设不是基于证据或理论，而是基于方便。我们扩展了该模型，以包括一个非线性杠杆函数，`（·）：yt=expxt公司t、 xt=u+βxt-1+`(T-1） +ωut，图坦卡蒙~ i、 身份证号码,1 00 1, （5） 其中，非线性杠杆函数（·）可以是传递资产价格上一次冲击影响的任何函数T-1至对数波动率xt。如果`(T-1） 是一个线性函数，例如T-1、方程n中具有非线性杠杆的SV模型。（5） 减少到eqn。（4） 。虽然“（·）”的精确函数形式尚不清楚，但我们不想对其施加参数假设。Weinstead引入了杠杆函数更灵活的多项式近似。第k阶埃尔米特多项式Hk（z）定义为asHk（z）=(-1） kexpZdkdzkexp-Z, （6） 其中，前七个Hermite多项式为H（z）=1，H（z）=z，H（z）=z- 1，H（z）=z- 3z，H（z）=z- 6z，H（z）=z- 10z+15z，H（z）=z- 15z+45z- 埃尔米特多项式在杠杆效应分析中有一些理想的性质：1。零期望：当z服从期望值为零且单位方差为零的正态分布时，对于任何k，Hermite多项式的期望值等于零。换句话说，E（Hk（z））=z∞-∞Hk（z）φ（z）dz=0，z~ N（0，1），其中φ（z）∝ 经验值(-z） .2。

正交性：关于权函数φ（z），埃尔米特多项式相互正交∝经验值(-z） 。因此，E（Hj（z）Hk（z））=z∞-∞Hj（z）Hk（z）φ（z）dz=N（k=j）；0（k 6=j）。给定上述两个性质，它们构成杠杆函数Hilbert空间的正交基，使得R∞-∞|`（z） |φ（z）dz<∞.现在，我们使用埃尔米特多项式定义近似杠杆函数为\'Hk(T-1） ：=ДH(T-1） +·kHk(T-1） 。（7） 最后，具有k阶非线性杠杆函数的SV模型定义为yt=expxt公司t、 xt=u+βxt-1+`香港(T-1） +ωut，图坦卡蒙~ i、 身份证号码,1 00 1. （8） 这种带有非线性杠杆的SV模型，简称SV-NL模型，将用于我们对个别股票价格回报中杠杆效应的实证研究（第3节）。2.2贝叶斯序列计算在这一节中，我们简要阐述了我们为SV-NL模型提出的粒子学习方法。（8） 。通常，SV模型的贝叶斯计算有两种方法：基于MCMCBASE（Chib et al.2002；Omori et al.2007）和基于SMC（Polson et al.2004；Lopes and Tsay2011；Creal 2012）。虽然这两种方法都有各自的优缺点（例如，参见Gamermand Lopes 2006），但在金融应用中使用SMC有其优点，因为它具有在线性质（即快速生成预测的能力），这对金融从业者很有吸引力。然而，SMC方法难以解决参数学习问题（Gordon等人1993年；Kitagawa1996年；Pitt和Shephard 1999年），已经提出了多种方法（Liu和West 2001年；Storvik 2002年；Fearnhead 2002年；Polson等人2008年；Johannes和Polson 2008年；Johannes等人2008年）。我们不会回顾SMC方法的文献，相反，我们将扩展Carvalho等人的最新发展。

（2010），这使得在特定条件下，非线性非高斯模型中的参数学习成为可能。在金融和计量经济学的大多数应用中，模型中的相关参数都是未知的，对于eqn中的这个特定模型。（8） ，推断杠杆函数中的参数至关重要。当状态空间模型依赖于未知但静态的参数θ时，我们有以下状态空间表示，年初至今~ p（yt | xt，θ），xt~ p（xt | xt-1，θ），（9）我们需要评估θ的后验分布，给定观测值y1:t，p（θ| y1:t），以及潜在状态x1:t。在SMC方法的框架中，随着新观测值以在线方式到达，p（θ| y1:t）会依次更新。这称为粒子学习，因为我们使用粒子滤波来学习参数。naive粒子学习算法是扩展状态向量zt=（xt，θ）的粒子过滤器，定义如下。设{z（i）t=（^x（i）t，^θ（i）t）}Ni=1，{z（i）t=（▄x（i）t，▄θ（i）t）}Ni=1烯醇粒子，i=1:N，由p（zt▄y1:t）共同生成-1） 和p（zt | y1:t），分别为。然后，用p（zt | y1:t）给出贝叶斯学习过程的粒子近似-1） \'NNXi=1p（zt |z（i）t-1） ，（10）p（zt | y1:t）\'NXi=1W（i）tδ（zt- ^z（i）t），W（i）t=p（yt | z（i）t）PNi=1p（yt | z（i）t）。（11） 尽管上述学习算法很容易实现，但研究人员已经意识到，使用naive粒子学习算法，粒子在重采样过程中容易退化。作为一种更有效的替代方法，Carvalho等人（2010年）提出了一种粒子学习（PL）算法，该算法对参数的后验分布进行重新采样和更新。然而，为了应用粒子学习算法，我们需要知道p（yt | xt）的函数形式-1，θ），并且能够从p（xt | xt）中提取xt-1，yt，θ）。对于等式中的SV-NL模型。

（8） 然而，两者都不可能。为了避免这些问题，我们在粒子学习框架内采用了辅助粒子过滤器byPitt和Shephard（1999）。根据Pitt和Shephard（1999），SMC方法提供了状态变量和参数的良好估计，其中模型是数据的良好近似，并且条件密度p（yt | xt）在xt中有合理的反映。他们指出了算法的两个弱点。首先，当存在异常值时，SMC方法无法精确适应，因此即使在N较大时，状态变量也会被低估。在这种情况下，可能性的可变性，即p（yt | xt）会增加，这会降低重采样的精度，因为它基于与p（yt | xt）成比例的权重。其次，当粒子过滤器的每个循环中的可能性相似时，粒子退化是一个普遍的问题。这会导致预测密度的尾部表示较差，因为放置在尾部的粒子被分配了类似的低权重，随着算法的进一步发展，权重逐渐减少到零。因此，粒子可能退化为几个点。辅助粒子过滤器软化了异常值的影响，因为第二阶段重采样的变量远小于原始采样。

此外，第一阶段重采样基于当前观测值yt，因此我们可以预计好粒子可能会向前传播。最后，将辅助变量粒子学习算法（PLAV）总结如下。算法：带辅助变量的粒子学习步骤0：从p（z）中采样N个粒子{z（i）}Ni=1的起始值。步骤1：重新采样{^z（i）t-1} Ni=1自{z（i）t-1} Ni=1，带^W（i）t∝ p（yt | g（x（i）t-1，|θ（i）t-1） ）。步骤2：从p（xt^x（i）t）传播^x（i）t-1，^θ（i）t-1） 。步骤3：用W（i）t从{x（i）t}Ni=1重新采样{x（i）t}Ni=1∝p（yt | x（i）t）p（yt | g（^x（i）t-1，^θ（i）t-1） ）。步骤4：更新充分的统计数据▄s（i）t=s（▄s（i）t-1，^x（i）t，yt），i∈ {1，…，N}。步骤5：从p（θ|s（i）t），i∈ {1，…，N}。2.3带辅助变量的粒子学习：模拟示例在我们对实际数据测试算法之前，我们将比较PLAV与PLand和MCMC替代方案的结果（Omori et al.2007）。由于PL无法估计方程n中线性杠杆SV模型的参数。（4） ，我们将比较三者之间的无杠杆SV模型（方程1）和PLAV和MCMC之间的线性杠杆SV模型（方程4）。继Omori et al.（2007）之后，我们将从等式n中的线性杠杆SV模型生成数据。（4） 参数u=-0.026，β=0.970，Д=-0.045，ω=0.143，无杠杆SV模型参数u=-0.026，β=0.970，τ=0.150。表1和表2分别给出了无杠杆SV模型和线性杠杆SV模型各参数的后验平均值和可信区间。我们可以看到，三种算法对两种SV模型（有杠杆和无杠杆）的估计结果具有可比性，其可信区间大多覆盖指定的真值（线性杠杆MCMC模型的MCMC估计u除外）。