Wishart矩阵的渐近特征值分布

在此设置中，使用n维平方矩阵Qw，Qs，▄Qw，▄Qs∈ Cn×N这些部件的顺序参数为qwab、qsab、~qwab、~qsab，我们有LIMN→∞Nlog EX[Zn（λ+iε| X）]=外伸，Qw，Qs，Qs-αlog det | In- Qs |+TrQwQw+TrQsQs-Dlog det |（λ+iε）In+▄Qw+s▄Qs | Es,（34）式中α=p/N~ O（1）和hf（s）is=limN→∞NNXi=1f（si）。（35）此外，我们使用了Extr∧{g（∧）}表示关于∧的极值的符号。注意，对于足够大的N，使用鞍点方法通过扩展序参数来评估这一点相对较紧。从序参数的极值，我们得到qw=（λ+iε）In+～Qw+s～Qs-1.s、 （36）Qs=s（λ+iε）In+～Qw+s～Qs-1.s、 （37）~Qw=0，（38）~Qs=α（Qs- 英寸）-1.（39）如果我们将等式（38）和Eq（39）替换为等式（36）和Eq。（37），那么我们有qw=D（λ+iε）In+αs（Qs- 英寸）-1.-1Es，（40）Qs=Ds（λ+iε）In+αs（Qs- 英寸）-1.-1Es。（41）根据该解，我们假设以下重折叠非对称解：Qw=χwIn+qwDn，（42）Qs=χsIn+qsDn，（43）其中ini是单位矩阵，Dn∈ Rn×nis神经网络多维方阵，其中每个方向统一。由此，我们得到χw=*λ+iε+αsχs-1+s，（44）qw=αqsCs、 （45）χs=*sλ+iε+αsχs-1+s，（46）qs=αqsDscEs，（47）其中c=s（（λ+iε）（χs-1） +αs）（（λ+iε）（χs-1+nqs）+αs）。接下来，从等式（45）和等式（47），我们得到qw=0，（48）qs=0。（49）也就是说，Qwand qs的off-对角线元素估计为0。根据式（44）和式（46），由于χwandχsdo不依赖于n，式（44）和式（46）适用于任何n。因此，通过使用χsin Eq。（46），我们可以分析ssessχwin公式（44）。然后，如果我们将qw=qs=0替换为等式（34），则wehavelimN→∞Nlog EX[锌（λ+iε| X）]=nαχsχs- 1.-nαlog（1- χs）-N日志λ+iε+αsχs- 1.s、 （50）由此，我们得到了渐近极限→∞Nlog EX[锌（λ+iε| X）]=limN→∞nNlog（EX[Z（λ+iε| X）]）。

（51）在之前的一项研究[15]中，发现这一结果表明配分函数的分布集中在一个点上，即配分函数的期望值。也就是说，粗略地说，在热力学极限下，对于配分函数的任意函数，f（Z（λ+iε| X）），EX[f（Z（λ+iε| X））]=f（EX[Z（λ+iε| X）]）渐近成立。由此，我们可以评估生成函数的配置平均值，如下所示：EX[φ（λ+iε| X）]=limN→∞Nlog EX[Z（λ+iε| X）]=αχsχs- 1.-αlog（1- χs）-日志λ+iε+αsχs- 1.s、 （52）请注意，我们不允许n→ 式（52）中的0，但我们取limN→∞NEX[对数Z（λ+iε| X）]=limN→∞Nlog EX[Z（λ+iε| X）]。根据式（24）和式（52），我们得到ρ（λ）=-πIm limε→+本例为0χw。这里应该指出一点。根据前面工作的结果，我们应该将式（30）和式（31）替换为式（6）和式（14），以获得χw=NNXi=1λ+iε+αχtsi，（53）χs=NNXi=1siλ+iε+αχtsi，（54）χu=χs- 1，（55）χt=χs- 1.（56）在大N的限制下，我们提出的复制方法得到的结果与[10]中得到的结果一致。C、 独立但分布不一致；情况2我们现在考虑协方差isEX【xiuxjν】=tuδijΔuν的情况，也就是说，我们设置m=in∈ RN×N，（57）Θ=诊断{t，···，tp}∈ Rp×p，（58），然后以类似于我们在前一小节中所做的方式进行。也就是说，我们从获得limn开始→∞Nlog EX[Zn（λ+iε| X）]=外向，Qw，Qt，Qt-对数det |（λ+iε）In+▄Qw |+TrQw▄Qw-αTrQtQw+αTrQtQt-αDlog det | In- tQt | Eto，（59），其中hf（t）it=跛行→∞ppXu=1f（tu）。（60）从式（59）的外推中，我们得到Qw=（（λ+iε）In+~Qw）-1，（61）~Qw=αQt，（62）Qt=TtQt- 在里面-1.t、 （63）~Qt=Qw。（64）如果我们将等式（63）和Eq（64）替换为等式（61）和Eq。（62），我们得到了QwandQw的联立方程组。使用Qw=χwIn+qwDnin公式。

（42）和▄Qw=▄χwIn-~qwDn，我们得到以下鞍点方程：χw=λ+iε+~χw，（65）qw=~qw（λ+iε+~χw）（λ+iε+~χw- n▄qw），（66）▄χw=αttχw- 1.t、 （67）~qw=αqwt（tχw- 1） （tχw- 1+ntqw）t、 （68）根据公式（66）和公式（68），我们估计qw=~qw=0。此外，由于公式（65）和公式（67）适用于任何n，limN→∞Nlog EX[锌（λ+iε| X）]=limN→∞nNlog EX[Z（λ+iε| X）]大约成立。由此，我们还可以找到这种情况下的渐近特征分布。为了将这一结果与之前的工作【10】的结果相比较，我们将公式（57）和公式（58）替换为公式（15）到公式（18），以获得χw（=χs）=λ+iε+αχt，（69）~χw=αχt，（70）χt=ppXu=1tutχs- 1.（71）也就是说，当N足够大时，在这种情况下使用复制分析产生的结果与先前研究中获得的结果一致。D、 克罗内克产品相关性；情况3作为一种更一般的情况，当随机矩阵的分量的协方差为EX[xiuxjν]=mijθuν，即分量相互关联时，我们考虑渐近tic特征值分布。由于相关系数EX【xiuxjν】=mijθuν表示为Kronecker积，因此我们可以将M={mij}∈ RN×NandΘ={θuν}∈ Rp×Pw，其中对角矩阵S=对角{S，···，sN}∈ RN×Nand T=诊断{T，···，tp}∈ Rp×pand正交矩阵W∈ RN×Nand U∈ Rp×p，这样m=W SWT∈ RN×N，Θ=U T UT∈ Rp×p和Limn→∞Nlog EX[Zn（λ+iε| X）]=拉伸Qw，Qs，Qu，Qt，？Qw，？Qs，？Qu，？Qt-αTrQsQt+TrQwQw+TrQsQs+αTrQuQu+αTrQtQt-Dlog det |（λ+iε）In+▄Qw+s▄Qs | Es-αDlog det | In-Qu- tQt | Eto。（72）这些数据是使用与本文中使用的方法类似的方法获得的（详情见附录a）。请注意，这不依赖于W或U。

由此，我们得到鞍点方程：Qw=（λ+iε）In+～Qw+s～Qs-1.s、 （73）Qs=s（λ+iε）In+～Qw+s～Qs-1.s、 （74）曲=t▄Qt+▄Qu- 在里面-1.t、 （75）夸脱=Tt▄Qt+▄Qu- 在里面-1.t、 （76）~Qw=0，（77）~Qs=αQt，（78）~Qu=0，（79）~Qt=Qs。（80）如果我们将▄Qw、▄Qs、▄Qu、▄qt代入等式（73）到等式（76），我们得到Qu=χuIn-quDnand Qt=χtIn-qtDn。以类似的方式，由于序参数矩阵的有效诊断元素为0，我们得到了χw=λ+iε+αsχts、 （81）χs=sλ+iε+αsχts、 （82）χu=tχs- 1.t、 （83）χt=ttχs- 1.t、 （84）请注意，本调查结果包括上一小节中的调查结果。此外，我们验证了所提出的方法包括基于费曼图的方法作为特例。四、 信念传播算法。多元高斯分布复型分析是通过使用自平均和/或假设矩阵大小N足够大来分析淬火有序系统的一种方法。然而，任意随机矩阵系综并不总是自平均的，大小N可能很大，但不是有限的；例如，投资管理均值方差模型中的资产回报矩阵被假定为有限的，因此，当N为较大但有限时，能够确定特征值分布ρ（λ| X）也很重要。我们使用公式（23），如下所示：ρ（λ| X）=πIm limε→+0λNlogZ∞-∞d~我们-~wT（（λ+iε）英寸-XXT）~ w（2π）N=-πIm limε→+0Z∞-∞d ~ wP（~ w |λ，X）~ wT ~ wN。（85）使用P（~w |λ，X）的~wT~w期望值可用于确定特征值分布，其中概率密度函数P（~w |λ，X）是一个具有n个变量的多元高斯分布：P（~w |λ，X）=e-~wT（（λ+iε）英寸-XXT）~ w（2π）Ndet |（λ+iε）IN- XXT型|-. （86）注意，因为我们必须直接确定-XXTin阶平均~wT~w，使用公式（86）中的P（~w |λ，X）~wT~w），如果w很大，计算时间将过长。

为了减少所需的计算时间，我们将考虑使用试验分布Q（~ w）来评估~ wT ~ w的预期，如Kullback-Leiblerdivergence所评估的，该分布与P（~ w |λ，X）近似相同。B、 基于Kullback-Leibler信息准则的信念传播算法推导基于上述讨论，我们将推导出Q（~ w），它是关于顶部（~ w |λ，X）的近似理论分布，并基于Kullback-Leibler准则[26]。在信念传播的背景下，P（~ w |λ，X）inEq。（86）定义如下：P（~ w |λ，X）=ZPNYi=1P（wi）pYu=1g ~ xTu~ w√N（87）ZP=Z∞-∞d ~ wNYi=1P（wi）pYu=1g ~ xTu~ w√N（88）式中，P（wi）=e-λ+iεwi和g（v）=ev。另一方面，试验分布Q（~ w）使用置信度sbi（wi），bu（~ w）定义如下：Q（~ w）=ZQNYi=1bi（wi）！1.-ppYu=1bu（~ w），（89）ZQ=Z∞-∞d ~ wNYi=1bi（wi）！1.-ppYu=1bu（~ w），（90），其中信念bi（wi）a和bu（~ w）定义为i、 u，bi（wi）=Z∞-∞NYk=1，（k6=i）dwkbu（~ w），（91），其中∞-∞QNk=1，（k6=i）dwk表示除wi外，关于w的积分。因此，Bethe自由能，即P（~w |λ，X）和Q（~w）之间的Kullback-Leibler散度的主要部分isF=pXu=1Z∞-∞d ~ wbu（~ w）对数bu（~ w）g~xTu~ w√NQNi=1P（wi）+（1）- p） NXi=1Z∞-∞dwibi（wi）日志bi（wi）P（wi）. （9.2）也就是说，我们确定bi（wi）和bu（~ w），使它们在等式（91）的约束下使Bethe自由能最小。虽然我们可以得到更近似的试验分布Q（~ w），但我们宁愿用Q（~ w）而不是Q（~ w）来计算wi的均值和方差，以便我们可以分析地评估特征分布。由此，我们得到如下平均值和方差：mwi=Z∞-∞d~wQ（~w）wi，（93）χwi=Z∞-∞d ~ wQ（~ w）wi- mwi。

（94）在这种情况下，我们使用了先前开发的基于信念传播方法的算法[16，27]，并获得以下结果：mwk=hwkλ+iε+χwk，（95）hwk=√NpXu=1xkumuu+異χwkmwk，（96）muu=huu1- χuu，（97）huu=√NNXk=1xkumwk- χuumuu，（98）χwk=λ+iε+χwk，（99）χwk=NpXu=1xkuχuu，（100）χuu=良χuu- 1，（101）~χuu=NNXk=1xkuχwk，（102），其中我们注意到，mwkandχwk以外的参数是辅助参数。很容易验证mwk=hwk=muu=huu=0，并且我们确定χwk、▄χwk、χuu、▄χuu，以使它们满足等式（99）至等式（102）。从m式（85）、式（93）和式（9 4）中，本征分布ρ（λ| X）为ρ（λ| X）=-πIm limε→+0NNXi=1χwi。（103）由于计算逆矩阵的复杂性为O（N），因此该算法的复杂性估计为O（N），因此我们提出的方法比标准方法更快。这一发现与空腔法推导的算法一致，其中Bethe树被假定为图形模型【27】。最后，虽然我们认为ed是一个淬火无序系统，但我们还需要将我们提出的方法的结果与之前研究中获得的结果进行比较【9，10】。因此，我们将公式（99）改写为χuu=-1+χuuИχuu和公式（101），χwk=1-χwkχwkλ+iε。然后，通过使用X[xku]=mkkθu来评估等式（100）和等式（102）中的随机性的配置平均值，我们得到￠χuu=θuχs，（104）χwk=αmkkχt，（105），其中χs=NNXk=1mkkχwk，（106）χt=ppXu=1θuχuu。（107）由此，我们得到χw=NNXk=1χwk=1- αχtχsλ+iε，（108）χu=ppXu=1χuu=-1+χsχt，（109），对应于等式。（16） a和E q.（18）。此外，Qw=diag{χwk}∈ CN×NandQu=诊断{χuu}∈ Cp×p，从式（106）到式（109），我们得到χw=NTrQw，（110）χu=pTrQu，（111）χs=NTrM Qw，（112）χt=pTrΘQu；（113）这些结果与先前研究中获得的结果一致【9，10】。

注意，如果给定nex【xiuxjν】=mijθuν，我们可以使用副本分析和费曼图确定渐近特征值分布，并且n协方差未知，我们可以使用置信传播算法确定特征值分布，公式（99）到公式（102）。注意，后一种方法不需要了解x[xiuxjν]。五、 数值实验和应用我们现在考虑由副本分析和信念传播算法获得的特征值分布，并通过给出几个数值实验的结果来验证所提出的方法。A、 独立但分布不一致；案例1在上述情况下，由于所有三种情况下二阶随机性统计的数学结构相似（例如，我们可以在副本分析中同时对角化m和Θ），因此我们将首先详细考虑独立但不相同分布的情况（案例1）。我们假设sk的概率服从均匀分布：P（sk）=smax公司-斯明斯敏≤ sk公司≤ 否则，（114），我们将考虑以下情况：情况（1，a）：（smin，smax）=（1，5）；情形（1，b）：（smin，smax）=（2，4）；情况（1，c）：（smin，smax）=（2.5，3.5）和α=p/N=4。结果如图1所示。为了验证我们提出的方法的有效性，我们将结果与复制分析和信念传播得出的特征值分布进行了比较（见附录B）。用于信念传播实验的矩阵大小为N=500，随机矩阵中的每个分量都是由超参数sk定义的高斯分布分配的，该分布遵循式（114）中的随机均匀分布；制备了100个样品。如图1所示，结果相互符合。

以类似的方式，我们使用了Householder方法（和Sturm定理）[28]，该方法可以严格评估特征值分布；这些结果也如图1所示。对于Householder方法，我们绘制了100个样本的平均值，N=500。图1所示的结果验证了通过副本分析和信念传播可以准确地获得特征值分布，因为它们与Householdermethod的结果是一致的。与独立且相同分布的情况相比，当组分xiu独立且独立分布时，Marˇcentko Pastur（MP）定律定义如下：；ρ（λ）=[1- α] +δ（λ）+p[λ+- λ] +[λ- λ-]+2πλv，（115），其中λ±=（1±√α） 使用v和常数v=NpPNi=1Ppu=1EX[xiu]=hs。例如，如果v=3，α=4，则λ-= 3且λ+=27。如图1所示，当| smax-smin变小，特征值分布接近MPlaw。此外，我们提出的方法支持之前处理市场相关性并详细分析金融互相关矩阵特征值（和特征信号）的工作结果【5、18、19】。B、 独立但分布不一致；案例2接下来，我们还讨论了另一种独立但不完全分布的情况（案例2）。我们假设tu的概率服从均匀分布：P（tu）=tmax（最大值）-tmintmin≤ tu≤ 否则，（116），我们将考虑以下情况：情况（2，a）：（tmin，tmax）=（1，5）；情况（2，b）：（tmin，tmax）=（2，4）；andcase（2，c）：（tmin，tmax）=（2.5，3.5），α=p/N=4。结果如图2所示。通过与复制分析和信念传播的特征值分布结果（见附录B）和Householder方法的结果进行比较，验证了我们提出的方法的有效性。

数值设置与情况1相似。如图所示。2、结果一致。此外，由于Wishart矩阵的定义，三种情况下的特征值分布接近式（115）中的MP定律，v=tmin+tmax=3；其每个元素（XXT）ij=NPpu=1xiuxju。C、 克罗内克产品相关性；案例3最后，我们还讨论了Kronecker积相关的情况（案例3）。我们使用E q.（114）中的参数概率P（sk）和E q.（116）中的参数概率P（tu）（smin，smax）=（1，5）和（tmin，tmax）=（0，2），因为v=smin+smaxtmin+tmax=3。图3表明，复制分析、信念传播和Householder方法三种方法的结果是一致的。此外，来自案例（1，a）；（smin，smax）=（1，5）和（tmin，tmax）=（1，1）到情况（3）；（smin，smax）=（1，5）和（tmin，tmax）=（0，2），最小和最大特征值从λmin变化( 1.950）至λmin( 1.606）和λmax( 32.487）至λmax( 35.713）与λ相比-= 公式（115）中MP定律的3和λ+=27。D、 应用：λ的期望值-1和λ-2最后，我们考虑λ的期望值-1和λ-2对于独立但不相同分布情况下的本征值分布，情况1。我们从λλ=Z∞-∞dλρ（λ）λ=-πIm limε→+0Z∞dsP（s）Z∞-∞dλλ+iε+αsχs（λ）-1=-πIm limε→+0Z∞dsP（s）limR→∞,R→+0Z-R-Rdλf（λ）+ZRrdλf（λ）！，（117）其中，由于χs依赖于λ，我们重写了χsasχs（λ）。现在，我们有f（λ）=iε+αsχs（λ）-1“λ-λ+iε+αsχs（λ）-1#。（118）根据柯西积分定理，我们有0=ICdzziε+αsχs（z）-1=limR→∞,R→+0“Z-R-Rdzziε+αsχs（z）-1+ZRrdzziε+αsχs（z）-1+iZπdθiε+αsχs（reiθ）-1+iZπdθiε+αsχs（Reiθ）-1#，（119）其中，我们已经在第三项中替换了z=reiθ，在第四项中替换了z=reiθ。此外，sincelimz→0χs（z）=1- α、 （120）lim | z|→∞χs（z）=1，（121）thenlimε→+0Z∞-∞dzziε+αsχs（z）-1=iπχs（0）- 1αs=iπs（1- α） 。

（122）接下来，以类似的方式，我们估计limε→+0Z∞-∞dzz+iε+αsχs（z）-1iε+αsχs（z）-1=0。（123）因此，我们得到λλ=s-1.s、 α- 1，（124）此外，如果我们使用Limz→0χs（z）z=-αs-1.s（α- 1） ，（125）lim | z|→∞χs（z）z=0，（126），然后我们得到λλ=Z∞-∞dλρ（λ）λ=s-1.s（α- （1）+s-2.s（α- 1） 。（127）见附录C，它们与投资组合优化问题分析的结果一致。六、 总结和未来工作在本文中，我们考虑了由随机矩形矩阵定义的Wishart矩阵的渐近特征值分布。我们考虑了三种情况：（1）每列中的成分分布相同，（2）每行中的成分分布不相同，（3）成分相互关联。对于每一种情况，我们都使用副本分析来评估特征值分布，并推导出一种基于信念传播的算法来解决这一问题。我们提出的d方法再现了之前工作中讨论过的Ffeynman图方法的发现，数值实验验证了我们方法的有效性。作为未来工作的一个领域，由于本文考虑的随机矩形矩阵可以被视为稠密矩阵，我们还计划分析随机矩形稀疏矩阵的渐近e值分布，并考虑条目不完全分布和条目相互关联的情况。此外，由于在各种应用中（例如在por tfolio优化、码分多址和感知器学习的跨学科领域中），假设随机矩形矩阵的成分是i.i.d.，因此我们的发现可以应用于这些问题的分析，可以进一步开发先前工作中讨论的方法，以用于中心不是i.i.d的情况。