Wishart矩阵的渐近特征值分布

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英文标题：
《Asymptotic Eigenvalue Distribution of Wishart Matrices whose Components
  are not Independently and Identically Distributed》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In the present work, eigenvalue distributions defined by a random rectangular matrix whose components are neither independently nor identically distributed are analyzed using replica analysis and belief propagation. In particular, we consider the case in which the components are independently but not identically distributed; for example, only the components in each row or in each column may be {identically distributed}. We also consider the more general case in which the components are correlated with one another. We use the replica approach while making only weak assumptions in order to determine the asymptotic eigenvalue distribution and to derive an algorithm for doing so, based on belief propagation. One of our findings supports the results obtained from Feynman diagrams. We present the results of several numerical experiments that validate our proposed methods.
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中文摘要：
本文采用复型分析和信念传播方法，分析了由随机矩形矩阵定义的特征值分布，该矩阵的各分量既不是独立分布的，也不是相同分布的。特别地，我们考虑组件独立但分布不相同的情况；例如，只有每行或每列中的组件可以是{相同分布}。我们还考虑组件相互关联的更一般情况。为了确定渐近特征值分布，我们使用了副本方法，同时只做了较弱的假设，并推导了一种基于信念传播的算法。我们的一个发现支持费曼图的结果。我们给出了几个数值实验的结果，验证了我们提出的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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PDF下载：
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关键词：Hart wish 特征值 ART Mathematical

分量非独立同分布Wishart矩阵的渐近特征值分布Takashi Shinzato*Mori Arinori Higher教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，东京，1868601年，日本。（日期：2021年7月3日）在本研究中，使用副本分析和信念传播对由随机矩形矩阵定义的特征值分布进行分析，该矩阵的成分既不是独立的，也不是真实分布的。特别地，我们考虑组件独立但分布不相同的情况；例如，只有每行或每列中的组件可能具有相同的分布。我们还考虑组件相互关联的更一般情况。为了确定渐近特征值分布，我们使用了副本方法，同时只做了较弱的假设，并推导了基于信念传播的算法。我们的一个发现支持费恩曼图得出的结果。我们给出了几个数值实验的结果，验证了我们提出的方法。PACS编号：89.90+n、 75.10。Nr，89.65。Gh，02.50-国际扶轮社。引言随机矩阵，其中每个成分都被视为一个随机变量，在许多研究领域，包括数论、组合理论、核物理、凝聚态物理、生物学、数学金融和通信理论，在理论和实践上都得到了广泛的使用和研究[1-5]。

特别地，研究了随机平方矩阵的数学结构；研究主题包括以厄米随机矩阵为特征的高斯酉系综（GUE）的特征值分布和水平间距分布，以及以正交随机矩阵为特征的高斯或正交系综（GOE）的特征值分布和水平间距分布。对于随机矩形矩阵，研究主题包括由自协方差矩阵定义的Wishart矩阵的奇异值和渐近特征分布【6–12】。例如，Marˇcenko和Pastur考虑了渐近特征值分布，当给定随机矩形矩阵的每个条目都是从概率分布为平均值0、方差为1/N、自方差为N×N的总体中独立相同地提取出来时，当自协方差矩阵的特征值分布足够大时，其特征值分布非常接近渐近分布；这被称为《马钦科-帕斯图尔法》[6]。Silverstein和Choi使用Stieltjes变换重新推导了Marˇcentko–Pastur定律的辛本征值分布[7，8]。森古普塔（Sengupta）和米特拉（Mitra）利用矩阵大小的倒数，扩展了随机矩阵的预解式，其中各分量相互关联，并且他们使用费曼图对确定不对称特征值分布的定点方程进行排序【9】。Burda、G¨orlich、Jarsoz和Jukiewicz从*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JP使用费曼图获得的相关矩阵的渐近特征值分布与从实际数据集估计的特征值分布之间的关系【10】。

此外，Burda、Jurkiewicz和Waclaw通过考虑溶剂和矩母函数成功推导出了这些估计值之间的关系[11]。Recher、Kieburg和Guhr使用超矩阵理论来评估组成部分相关的小随机矩阵的特征分布，并将理论结果与数值实验得到的结果进行比较[12]。如上所述，已有许多研究使用费曼诊断图或supermatr ix理论来评估由随机矩阵集合定义的渐近特征值分布，但很少有研究使用复制分析或信念传播来研究Wishart矩阵的渐近特征值分布，其中组分是独立但不相同分布的，或者它们相互关联。假设预解式可以扩展到矩阵大小的倒数，并且每个项的集合平均值是独立的；此外，它还隐含地假设，在费曼图方法中，关于不可约自能的递归关系是预解式的主要部分。此外，为了使用费曼图方法，需要计算逆矩阵，所需的计算时间过长。我们注意到，投资组合优化问题被广泛认为是随机矩阵理论最重要的应用之一。如果我们假设一个投资市场中，资产回报率的方差不相同，那么我们需要使用一个随机矩阵集合，其中各成分的分布不相同【13–19】。

此外，由于我们可以使用Wis-hart矩阵定义的渐近特征值分布来评估表征最优投资组合（定义为投资风险最小化的投资组合）的两个数量的典型行为，以解决投资组合优化问题，我们需要系统地研究非同分布随机矩阵的符号特征值分布。因此，在本文中，我们的目标是确定一个随机矩阵集合的渐近eige值分布，在该集合中，条目独立但不相同分布，或者它们彼此相关；我们将使用副本分析来实现这一点，因为它不需要计算逆矩阵，也不需要二阶统计量的信念传播。我们通过几个数值实验的结果验证了我们所提出方法的有效性。本文的组织结构如下。在第一节中，我们考虑格林函数和特征值分布之间的关系；我们这样做是为了分析得出渐近特征值分布，并解释以前各种研究中使用的方法。在第三节中，我们发展了一种基于副本分析的方法，以评估条目既不独立也不相同分布的随机矩阵集合的渐近特征值分布。在第四节中，我们以类似的方式推导了基于信念传播的分析算法。在第五节中，我们给出了数值模拟的结果，表明了我们提出的方法的一致性和准确性。第六节总结了我们的发现，并讨论了未来的工作领域。二、特征值分布和格林函数a。

渐近特征值分布和格林函数在这一部分中，作为推导共有特征值分布的准备，我们讨论了由随机回归矩阵定义的Wishart矩阵的特征值分布与格林函数之间的关系。与Wishartet al.（1，20，21）的讨论类似，我们考虑一个随机矩形矩阵，X=nxiu√不∈ RN×p，（i=1，··，N，u=1，··，p）。为简单起见，我们假设随机矩阵表示一个随机矩形矩阵；我们将假设一个随机矩阵的每个条目的期望值为（或未标准化为）0；我们假设1/√Nis由方差-协方差矩阵的最大或最小特征值确定的标度系数，该矩阵是一个随机矩阵（Wishart矩阵），其中α=p/N~ O（1）。根据这些设置，Wishart矩阵XXT的特征值分布∈ RN×N，ρ（λ| X），可以使用N个特征值λ，···，λN来表示如下：ρ（λ| X）=NNXk=1δ（λ- λk），（1），其中δ（x）是狄拉克δ函数，上标表示向量或矩阵的换位。此外，通过使用跟踪操作符，Tr，等式（1）c可以重写为ρ（λ| X）=NTrδλ英寸- XXT型, 式中δ（Y）=limε→+02πi（Y）- iεIN）-1.- （Y+iεIN）-1.,Y∈ RN×N；和INis单位矩阵，即IN=diag{1，1，·····，1}∈ RN×N（以下简称Im∈ Rm×m将用于表示m维单位矩阵）。接下来，为了推导特征值分布，我们定义了两种格林函数（或预解函数），如下所示：GR（λ| X）=limε→+0NTr（λ+iε）IN- XXT型-1，（2）GA（λ| X）=limε→+0NTr（λ- iε）英寸- XXT型-1，（3）其中，GR（λ| X）是保留的格林函数，GA（λ| X）是高级格林函数。

从这些定义中，我们可以得到这些格林函数的真部和虚部的以下关系：ReGR（λ| X）=ReGA（λ| X）和ImGR（λ| X）=-ImGA（λ| X）由此，aWishart矩阵XXT的特征值分布∈ RN×N，ρ（λ| X），可以使用GR（λ| X）和GA（λ| X）重写如下：ρ（λ| X）=-2πiGR（λ| X）- GA（λ| X）= -πImGR（λ| X）。（4） 从式（4）可以看出，如果我们可以解析地计算延迟green函数GR（λ| X），那么我们可以从其虚部推导出特征值分布ρ（λ| X）。最后，当n足够大时，称不对称特征值分布ρ（λ）为自平均，即ρ（λ| X）=EX[ρ（λ| X）]，EX[f（X）]表示f（X）对随机变量X的期望。因此，我们将不分析Wishart矩阵ρ（λ| X）的eige值分布，而是确定其作为特征值分布ρ（λ）=EX[ρ（λ| X）]。B、 之前的研究我们现在介绍了在以前的渐近特征值分布研究中获得的一些结果。以前的几项研究都考虑了随机矩阵的每个条目（xiu）独立且按身份分布的情况。例如，当条目的分布具有均值0和方差1，且α=p/N时，渐近e值分布（对于大N）收敛于Marˋcentko Pastur定律，如下所示：ρ（λ）=[1- α] +δ（λ）+p[λ+- λ] +[λ- λ-]+2πλ，（5），其中λ±=（1±√α） ，和[u]+=最大值（u，0）[6]。在下面将详细讨论的更一般情况下，如果arandom矩阵系综的渐近e igenvalue分布为EX【xiuxjν】=mijθuν，则可以通过根据特征参数展开母函数来导出共扼特征值分布。

根据这一性质，先前的研究通过使用基于Feynmandiagrams的生成函数的1/N展开的递归关系，确定了辛eig值分布[10]。格林函数有两个关键性质：（1）格林函数与自能有关，（2）自能可分为ir可约se lf能；从这些性质中，我们可以得到阶参数的联立方程，如下[9]：Qw=（λ+iε）IN+MNTrQt-1，（6）Qs=MQw，（7）Qu=ΘNTrQs- Ip-1，（8）Qt=ΘQu，（9）其中EX[xiuxjν]=mijθuν，M={mij}∈ RN×N，且Θ={θuν}∈ Rp×pare替换为N维矩阵Qw、qs和p维矩阵Qu、Qt。我们可以解这些联立方程组来获得共有特征值分布：ρ（λ）=-πIm limε→+0NTrQw。（10） 与费曼图方法相比，我们注意到Qw，qcorres-pond与格林函数，qs，qcorres-pond与不可约se-lf-e-nergy。为了将公式（6）的计算简化为公式（9），我们将其改写如下：χw=NTrQw，（11）χs=NTrQs，（12）χu=pTrQu，（13）χt=pTrQt。（14） 使用新的序参数χw、χs、χu、χt∈ C、 我们可以写出以下联立方程：χw=NTr（（λ+iε）IN+αχtM）-1，（15）χs=1- （λ+iε）χwαχt，（16）χu=pTr（χsΘ）- Ip）-1，（17）χt=1+χuχs。（18）那么，fr omχw，我们有ρ（λ）=-πIm limε→+0χw，（19）也就是说，其中一个参数的极限给出了共扼特征值分布。与求解原始矩阵公式相比，这些新定义的参数使我们能够比较容易地求解同时方程。然而，仍然需要计算公式（15）和公式（17）中的逆矩阵，因此很难实现这种方法并计算公式（15）和公式（17）中的逆矩阵。（6） 当N，p较大时，根据公式（9）[9，10]。

基于费曼·迪格拉姆（Feynmandiagram）方法，我们可以将Qw、Qs、Qu、qt扩展到1/N以上的假设的充分性讨论是不够的。因此，我们将对淬灭阶ed系统进行复型分析，以直接求解随机矩阵集合的共有特征值分布；这种方法不需要计算逆矩阵，并且验证了其方法的充分性【9，10】。作为一种替代方法，我们提出了一种基于信念传播方法的算法；当N，p足够大但不确定时，这种方法允许我们在无需计算九次矩阵的情况下确定初始值分布。三、 副本分析a。复型trickWe现在讨论使用复型分析来求解共有特征值分布ρ（λ）；这是以类似于先前研究中所述的方式进行的【22–25】。我们可以重写延迟格林函数asGR（λ| X）=-2 limε→+0φ（λ+iε| X）λ、 （20）其中配分函数Z（λ+iε| X）和母函数φ（λ+iε| X）定义如下：Z（λ+iε| X）=det（λ+iε）IN- XXT型-, （21）φ（λ+iε| X）=Nlog Z（λ+iε| X）。（22）根据式（4）和式（20），特征值分布可导出为ρ（λ| X）=πIm limε→+0φ（λ+iε| X）λ。（23）此外，由于其渐近特征值分布ρ（λ）计算为ρ（λ）=EX[ρ（λ| X）]=πIm limε→+0λEX[φ（λ+iε| X）]，（24）为了实现等式（24），我们需要评估EX[φ（λ+iε| X）]=NEX[对数Z（λ+iε| X）]。（25）也就是说，我们需要对随机矩阵X的所有配置的生成函数φ（λ+iε| X）求平均值。我们注意到，一般来说，更难评估分割函数对数的配置平均值。

因此，我们可以使用一个称为复制技巧的身份函数，log Z=limn→0Zn-1n，我们得到ex[log Z（λ+iε| X）]=limn→0EX[锌（λ+iε| X）]- 1n；（26）由此，我们可以从配分函数EX的幂函数的配置平均值[Zn（λ+iε| X）]计算配分函数EX的对数的配置平均值[log Z（λ+iε| X）]。此外，使用l\'Hopital规则和等式（26）的对应关系，可以将重复技巧重写为X[log Z（λ+iε| X）]=limn→0nlog EX[Zn（λ+iε| X）]，（27），其中，根据式（21）中的定义，配分函数为Z（λ+iε| X）=Z∞-∞d~w（2π）Ne-~wT（（λ+iε）英寸-XXT）~ w.（28）此外，当幂n是一个自然数时，可以展开比例函数的幂函数，以便相对容易地评估配置平均值：EX[Zn（λ+iε| X）]=EX“Z∞-∞nYa=1d~wa（2π）N ne-Pna=1~wTa（（λ+iε）英寸-XXT）~ wa#。（29）因此，我们可以（相对地）轻松地评估n的X[Zn（λ+iε| X）]∈ 关于随机矩阵各分量的统计性质，我们可以确定共有特征值分布。B、 独立但分布不一致；情况1我们考虑随机矩阵的每个条目（xiu）的分布情况，使得概率具有协方差EX[xiuxjν]=siδijδuν，并且高阶矩是有限的。也就是说，从EX[xiuxjν]=siδijδuν，我们得到m=diag{s，s，···，sN}∈ RN×N，（30）Θ=Ip∈ Rp×p.（31）我们准备了序参数：qwab=NNXi=1wiawib，（32）qsab=NNXi=1wiawibsi，（33）和联合序参数：~qwab，~qsab，（a，b=1，2，··，n）。