Wishart矩阵的渐近特征值分布

和/或它们之间的关联。致谢作者赞赏T.Nagao和K.Kobayashi的富有成果的评论。该工程部分由第24 710169号和第15K20999号补助金支持；秋田县大学青年科学家校长项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；经济研究基金会研究项目；京都大学；曾金经济与金融研究基金会第1414号研究项目；统计数学研究所第20-68号研究项目；三菱UFJ信托奖学金基金会研究项目；坎波基金会第二研究项目。附录A：相关案例的副本计算当EX[xiuxjν]=mijθuν时，我们得到EX[Zn（λ+iε| X）]=Z∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ va（2π）N N+pnEX“exp-λ+iεnXa=1～wTa～wa+nXa=1～vTa～va+inXa=1～uTa~弗吉尼亚州- XT ~ wa!#=Z∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ va（2π）N N+pnexp-λ+iεnXa=1 ~ wTa ~ wa+nXa=1~vTa ~ va+i ~ uTa ~ va-pnXa=1nXb=1 ~ wTaM ~ wbN ~ uTaΘ~ ubp！。（A1）对于新的序参数，我们得到qsab=~ wTaM ~ wbad和qtab=~ uTaΘ~ ubp，然后~ za=WT ~ wa和~ ya=UT ~ ua，我们将（A2）和（A3）重写为qsab=NPNk=1ziazibsian和qtab=pPpu=1yuayubt，其中m=W SWTandΘ=U T UT。由此，我们得到qwab=NPNi=1wiawib=NPNi=1ziaziband quab=pPpu=1uuauub=pPpu=1yuayub。因此，我们可以评估X[Zn（λ+iε| X）]=Z∞-∞nYa=1NYi=1dwiadziad？zia（2π）3N nnYa=1pYu=1duuadvuadyuad？yua（2π）2pnex-λ+iεNXi=1nXa=1wia+pXu=1nXa=1vua+ipXu=1nXa=1uuavua-pnXa=1nXb=1qsabqtab+iNXi=1nXa=1'ziazia-NXk=1WTikwka+ipXu=1nXa=1？yuayua-pXν=1UTνuνa！-nXa=1nXb=1qwabNXi=1ziazib- Nqwab！-nXa=1nXb=1qsabNXi=1ziazibsi- Nqsab！-nXa=1nXb=1quabpXu=1yuayub- pquab！-nXa=1nXb=1qtabpXu=1yuayubtu- pqtab！！。

（A2）最后，我们得到→∞Nlog EX[锌（λ+iε| X）]=-αTrQsQt+TrQs▄Qs+TrQw▄Qw+αTrQu▄Qu+αTrQt▄Qt-Dlog数据（λ+iε）In+～Qw+s～QsEs公司-αDlog det在里面-Qu- tQtEt，（A3）其中Extr缩写为her e。附录B：基于副本分析和信念传播的算法我们总结了三种情况下求解eig值分布ρ（λ）的两种算法，并使用它们在数值实验中推导eig值分布。1、基于副本分析的算法a。情况（1）的算法为了评估当EX[xiuxjν]=siδijδuν时的ρ（λ），我们使用以下迭代；χs=*sλ+iε+αsχs-1+s，（B1）那么，χw=*λ+iε+αsχs-1+s，（B2）ρ（λ）=-πIm limε→+0χw.（B3）b.情况（2）的算法为了评估ρ（λ），当EX[xiuxjν]=tuδijδuν时，我们使用以下迭代；χw=λ+iε+￠χw，（B4）~χw=αttχw- 1.t、 （B5）那么，ρ（λ）=-πIm limε→+0χw.（B6）c.当EX【xiuxjν】=mijθuν时，用于评估ρ（λ）的情况（3）的算法；M={mij}=W SWT∈RN×Nis由对角矩阵S=diag{S，···，sN}组成∈ RN×Nand正交矩阵∈ RN×NandΘ={θuν}=UT UT UT∈ 由对角矩阵T=diag{T，···，tp}组成的Rp×pis∈Rp×pand正交矩阵U∈ Rp×p，我们使用以下迭代；χs=sλ+iε+αsχts、 （B7）χt=ttχs- 1.t、 （B8）那么，χw=λ+iε+αsχts、 （B9）ρ（λ）=-πIm limε→+0χw.（B10）2。基于信念传播的算法。对于三种情况的算法，为了评估ρ（λ），我们使用以下迭代；χwk=λ+iε+￠χwk，（B11）~χwk=NpXu=1xkuχuu，（B12）χuu=￠χuu- 1，（B13）~χuu=NNXk=1xkuχwk，（B14）然后，χw=NNXk=1χwk，（B15）ρ（λ）=-πIm limε→+0χw.（B16）附录C:portfoliooptimization问题中的两个量from m【15，17】，通过复制分析得出投资组合优化问题中的两个量，如下所示：ε=（2hλ-1iλα-12小时-1is，（C1）qw=hλ-2iλhλ-1iλhs-2小时-1is+α-1，（C2）其中和qware来自于[15，17]，符号hf（λ）iλ=Z∞-∞dλρ（λ）f（λ）。

（C3）根据这些，我们可以发现λ-1.λ=s-1.sα- 1，（C4）λ-2.λ=s-1.s（α- （1）+s-2.s（α- 1） ，（C5）与式（124）和式（124）的结果一致。（127）。[1] M.L.Mehta，《随机矩阵》（学术出版社，2004年）。[2] A.M.Tu lino，S.Verd'u，《随机矩阵理论与无线通信》（Now出版社，2004年）。[3] Z.Bai，J.W.Silverstein，《大维随机矩阵的谱分析》（Springer，2009）。[4] T.Guhr，A.M¨uller Groeling，A.Weidenm¨uller，Phys。《联邦公报》299189，（1998年）。[5] J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，Phys。Rep.51515，115，（2012年）。[6] M.A.Marˇcentko，L.A.Pastur，数学。USS R-Sb。，1457年（1967年）。[7] J.W.Silverstein，S.I.Choi，J.Multi。全日空。，54295（1995）。[8] J.W.Silverstein，J.Multi。全日空。，55331（1995年）。[9] A.M.Sengupta，P.P.Mitra，Phys。修订版。E、 603389（1999年）。[10] Z.Burda，A.G¨orlich，A.Jarosz，J.Jurkiewicz，Phys。A、 343295（2004年）。[11] Z.Burda，J.Jurkiewicz，B.Waclaw，Phys。修订版。E、 71026111（2005年）。[12] C.Recher，M.Kieburg，T.Guhr，Phys。修订版。允许105、244101（2010年）。[13] H.Markowitz，《投资组合选择：有效的投资版本》（J.Wiley and Sons，纽约，1959）。[14] R.Wakai，T.Shinzato，Y.Shimazaki，J.Japan Indust。法力。协会。，65、17（2014）。[15] T.Shinzato，PLoS One，10，e0133846（2015）。[16] T.Shinzato，M.Yasuda，PLoS One，10，e0134968（2015）。[17] T.Shinzato，待提交。（2016年）。[18] J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z，P.Oswi,ecimka，Physica A，359589（2006）。[19] S.Dro˙zd˙z，J.Kwapie'n，P.O'swi,ecimka，物理学报。马球B、 384027（2007年）。[20] R.A.Fishar，Biometrika，10507（1912）。[21]J.Wishart，Biometrika，20A，32，（1928）。【22】A.Kamenev，M.M’ezard，J.Phys。A、 324373（1999年）。【23】S.F.Edwards，R.C.Jones，J.Phys。A、 91595（1976）。[24]G.S.Dhesi，R.C.Jones，J.Phys。A、 235577（1990年）。【25】小时。

Nishimori，《自旋玻璃的统计物理与信息处理》（牛津大学出版社，2001年）。【26】Y.Kabashima，J.Phys。Soc。日本。742133（2005年）。[27]T.Roger，I.P.Castillo，R。K–uhn，K.武田，物理系。修订版。E、 780131116。（2008年）。【28】W.H.Press，S.A.Teukolsky，W.T.Vetterling，B.P.Flannery，《数字配方》第三版：科学计算的艺术》（剑桥大学出版社，2007）。0.020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（1，A）（smin，smax）=（1,5）λ副本分析信念传播Householdermp law0。020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（1，b）（smin，smax）=（2,4）λ副本分析信念传播家庭住户管理法0。020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（1，c）（smin，smax）=（2.5,3.5）λ副本分析信念传播家庭住户管理计划法律图。对α=p/N=4的情况（1，a），（1，b）和（1，c），通过分析和信念传播得出的渐近特征值分布进行比较。横轴显示特征值λ，纵轴显示渐近特征值分布ρ（λ）。实线（橙色）表示副本分析的结果，带误差条的星号（b lue）表示信念传播的结果，带误差条的方框（绿色）表示Householder方法的结果；矩阵大小为N=500，有100个样本。（1，a）λmin 1.950和λmax 32.487。（1，b）λmin 2.768和λmax 28.762。（1，c）λmin 2.944和λmax 27.504。与i.i.d.相比。

在这种情况下，虚线（紫色）显示了等式（115）中的Marˋcentko Pastur定律的结果，其中v=smin+smax=3.0.020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（2，a）（tmin，tmax）=（1,5）λ复制分析置信度传播家庭成员rmp law0。020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（2，b）（tmin，tmax）=（2,4）λ复制品分析信念传播家庭住户管理法0。020.040.060.080 5 10 15 20 25 30 35（2，c）（tmin，tmax）=（2.5,3.5）λ副本分析信念传播家庭住户管理法。比较（2，a）、（2，b）和（2，c）情况下，α=p/N=4，通过信度传播分析和d得出的渐近特征值分布。水平轴显示特征值λ，垂直轴显示特征值分布ρ（λ）。实线（橙色）表示副本分析的结果，带误差条的星号（蓝色）表示信念传播的结果，带误差条的方框（绿色）表示HouseholderMethod的结果；矩阵大小为N=500，有100个样本。数值设置与图1相似。（2，a）λmin 2.763和λmax 28.765。（2，b）λmin 2.944和λmax 27.489。（2，c）λmin 2.986和λmax 27.129。与我相比。i、 d.在这种情况下，虚线（紫色）显示了等式（115）中的马尔岑科-帕斯图尔定律的结果，v=tmin+tmax=3.0.020.040.060.080.10 5 10 15 20 25 30 35 40（3）（smin，smax）=（1,5），（tmin，tmax）=（0,2）λreplica analysis credition propagationHouseholderMP定律图。3、案例（3）的复制分析和信念传播得出的渐近特征值分布的比较。数值设置与图1相似。（3） λ最小值 1.606和λmax 35.713。与i.i.d.情况相比，虚线（紫色）显示了等式（115）中的Marˇcentkopastur定律的结果，v=smin+smaxtmin+tmax=3。