一个关于红利支付的最优期望效用的注记

将v′和v′的值代入HJB方程（2.5）的左侧，得到Max0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 最大值0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）ae-ξ-b（1- q） e类-ξg′（ξ）- ce公司-ξ+u（c）- βv（x）.（3.34）由于u（·）是一个增凹函数，且0<g′（ξ）≤ ξ<ξ的b/ηa≤ ξ*, 因此，最大值q*和c*由byq提供*（x） =1-ηabg′（ξ），c*（x） =eξ1-当x=g（ξ）时，比例再保险红利支付的预期效用为9。因此，方程式（3.34）可改写如下：-（η）- θ） ae-ξ+ηa2be-ξg′（ξ）+1- ppepξ1-P- βv（x）=0。（3.35）（3.35）的验证很简单，包括（3.18）和（3.19）。备注4。为了求解方程（3.23），我们也可以使用勒让德变换方法。也就是说，我们定义v（z）=maxx>0{v（x）- xz}（3.36），其中（3.36）中x的最大v值是v′的反函数I（z）。然后可以通过v（x）=minz>0{v（z）+xz}（3.37）恢复v（x），并且（3.37）中z的最小值等于v′（x）。S将x=I（z）代入（3.23）产生：ηa2bz^v′（z）+βz^v′（z）- β^v（z）+1- ppz公司-p1级-P- （η）- θ） az=0。（3.38）在（3.38）的两侧取导数得到：ηa2bz^v′（z）+ηab+βz^v′（z）- Z-1.-P- （η）- θ） a=0。（3.39）表示h（z）=^v′（z），z=e-t、 然后（3.39）可以重写为ηa2bh′（t）-ηa2b+βh′（t）- et1-P- （η）- θ） a=0。（3.40）通过将h（t）=h′（t）代入（3.40），我们得到h′（t）- αh（t）-2b（η- θ） ηa-2bηaet1-p=0。（3.41）（3.41）的解由以下公式得出：h（t）=-Aeαt- Bet1-P- D、 （3.42）此外，从（3.23）和Le Gendre变换的定义中，我们可以发现βv（x）=-（η）- θ）az+ηa2bz^v′（z）+1- ppz公司-p1级-p=-（η）- θ） ae-T-ηa2be-th（t）+1- ppept1-p、 与（3.31）一致。现在我们将考虑区间（x）上的值函数v*, ∞) 在哪个q上*（十）≡ 0

很容易验证，在假设t q（x）=0 on（x）的情况下*, ∞) HJB方程等价于以下方程：θav′（x）+bv′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0（3.43），边界条件为sv′（x*) = E-ξ*,（3.44）v′（x）*)v′（x）*)= -bηa.（3.45）现在需要验证的是，如果v解方程（3.43），那么最优再保险比例指数等于零。10 X.LIANG-Z.Palmowski5号提案。假设假设1成立。假设v在（x）上*, ∞) 求解（3.43）-（3.45）。（x）上的v′（x）>0且v′（x）<0*, ∞) 最大inmax0≤Q≤1.（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）= 在这种情况下，q=0时达到0（3.46）。证据我们首先表明v′（x）>0。假设（x）上存在一个点x*, ∞) 使得v′（x）<0。这意味着我们可以找到一个点–x，x*< ¨x<x满足v′（¨x）=0。T henv′（¨x-) = 林克斯↑¨十五’（x）- v′（¨x）x- ¨x<0。将¨x代入方程（3.43）中，得到：bv′（¨x-) = βv（¨x）>0，这是一个矛盾。因此v确实是一个递增函数。函数v也是凹的，即v′（x）<0。实际上，表示y（v）=v′（x）>0。然后v′（x）=y（v）y′（v），并将其插入（3.43）中，产生θay（v）+x（v）y′（v）+1- ppy（v）-p1级-P- βv=0（3.47），边界条件为y′（v*) = -ηa/b<0和y（v*) = E-ξ*. 此外，方程（3.47）可以改写为：y′（v）=bβvy（v）- θa-1.- ppy（v）-1.-P.（3.48）根据Hubalek和Schachermayer[20]的定理3，微分方程（3.48）具有精确的递减凸解。

因此，（3.49）y′（v）<0，y′（v）>0。因此，v′（x）<0。现在我们将证明（3.46）在零处达到最大值，即-ηabv′（x）v′（x）>1（3.50）或thaty′（v）>-ηab.（3.51）表示Q（v）=θ-ηay（v）+1- ppy（v）-p1级-p、 由于y（v）满足方程（3.47），因此q（v）可以重写为s:q（v）=βv-ηay（v）-通过（v）y′（v）。因此，证明（3.51）相当于证明q（v）<βv，对于v>v*.（3.52）基于边界条件y′（v）的比例再保险红利支付的最优预期效用11*) = -ηa/b，我们可以观察到q（v*) = βv*. 我们还声称（3.53）q′（v*) < β。实际上，q′（v*) =θ-ηay′（v）*) - y（v*)-1.-py′（v*)= -ηabθ-η+ηabeξ*1.-p=-ηabθ-η+ηabBbηa- D= β-ηa2αb（1- p） （ηα- 2（η- θ） ，其中通过替换y（v）的值获得第二个等式*) 和y′（v*). 第三个等式来自ξ的形式*最后一个等式是通过插入B、D和α的值得到的。现在不等式ηα- 2（η- θ） >αpη>0意味着（3.53）。为了证明（3.52），假设一个反例，存在v∈ （五）*, ∞) 使得q（v）=βv，即y′（v）=-ηa/b，且q（v）<βv on（v*, v）。因为q（￠v）=β￠v和q（v）<βv on（v*, ~v），我们有q′（~v）>β。这意味着θ-ηay′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）>β。（3.54）另一方面，通过在（3.47）的两侧取v的导数，并通过替换v的值，我们得到θay′（~v）+b（y′（~v））+乘以（~v）y′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）- β=0，因此θay′（~v）- y（￠v）-1.-py′（~v）=β-b（y′（~v））-通过（~v）y′（~v）。现在，将上述恒等式代入（3.5 4）givesy′（~v）<0，因为y′（~v）=-ηa/b。这与（3.49）y（v）是递减凸函数这一事实相矛盾。这就完成了证明。

当x>x时，方程（3.43）满足v*类似于Hubalek和Schachermayer【20】中的方程式（15）。因此，正如Hubalek和Schachermayer[20]所做的那样，我们可以确定值函数的渐近解和相应的最优策略。定理6。v（x），c（x），q（x），as（x）的渐近行为→ ∞ , 由：v（x）给出~1.- pβ1.-pxpp，c（x）~β1- px，q（x）≡ 总结命题3、5和定理6给出了本文的第一个主要结果。12 X.LIANG-Z.PALMOWSKITheorem 7。假设假设1。然后值函数V（x）由（3.55）V（x）给出=E-ξβh-（η）-θ） a+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1-ppeξ1-pi，0<x≤ 十、*,v（x），x>x*,B和D在（3.16）和（3.17）中给出，x=g（ξ），其中g在（3.19）中定义。此外，x*在（3.21）中给出，v（x）解（3.43）-（3.45）。相应的最优股利策略isc（x）=（V′（x））-1.-pand最优再保险比例isq（x）=1.-ηabg′（ξ），0<x≤ 十、*,0，x>x*.证据注意，c（x）和q（x）在（0，x）上有界连续导数*]. 对于x>x*, 我们有Q（x）≡ 0和c（x）渐近等价于βx/（1- p） 当x趋于∞. 因此，它们的导数在（x）上有界*, ∞). 因此，在最优策略下，SDE中的经典结果保证了SDE（1.2）解的存在性和唯一性。此外，从命题3和命题5可以看出，（3.55）的右侧v（x）是HJB方程（2.5）在边界条件（2.6）下的非负凹解。

类似于引理1的证明，将It^o公式应用于过程W（t，Xπ*t） 采用命题3和命题5中确定的相应策略：π*= （q）*t、 c类*t）=q（Xπ*t） ，c（Xπ*t）产品：wT∧ τξ∧τξ，Xπ*T∧τξ∧τξ= v（x）+Zt∧τξ∧τξe-βs（θ- ηq*s） av′（Xπ*s） +b（1- Q*s） v′（Xπ*s）- C*sv′（Xπ*s）- βv（Xπ*s）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπ*s） b（1- Q*s） dBs=v（x）-Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（c*s） ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπ*s） b（1- Q*s） dBs，（3.56），其中最后一个等式通过HJB方程（2.5）获得。通过对（3.56）两侧的预测，我们得到WT∧ τξ∧τξ，Xπ*T∧τξ∧τξ+Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（c*s） ds公司= v（x）。我们声称w（t，Xπ*t）T≥0是一致可积的。然后让ξ↓ 0，ξ→ ∞ 和t→ ∞, 通过应用控制c收敛定理和单调收敛定理，我们得到了Zτe-βsu（c*s） ds公司= v（x）。因此v（x）≤ V（x）来自值函数的定义。将上述不等式与验证引理1中得到的结果相结合，完成了证明。为了验证分红与比例再保险的最优预期效用的一致可积性13w（t，X*t） ，足以表明最大f函数w*（T，Xπ*T） =sup0≤T≤Tw（t，Xπ*t） 对于每个t是可积的≥ 根据v的凹度，我们得到了v（x）≤ v′（0）x。因此，Exw*（T，Xπ*T）≤ Ex公司sup0≤T≤电视Xπ*T≤ v′（0）Exsup0≤T≤TXπ*T.（3.57）我们现在引入一个新的随机过程，该过程具有以下动力学：（3.58）dYt=θadt+b（1- Q*t） dbt的初始值与保留过程Xπ的初始值相同*t、 也就是说，Y=x。然后一个c可以观察到{Yt}0≤T≤Tis a次鞅与Xπ*T≤ YT适用于任何t≥ 0.我们表示Y*T=sup0≤T≤TYt。然后，Exsup0≤T≤TXπ*T≤ Ex（Y*T）≤qEx（Y*T）≤ 2qEx（年初至今）≤ KT+K√T<∞,（3.59）其中K，kar是一些固定常数，第二个不等式由Cauchy-Swartz不等式得到，第三个不等式由Doob的子鞅最大不等式得到。

因此，在v ie wof（3.57）和（3.59）中，我们可以得出结论w（t，Xπ*t）T≥0是一致可积的。这就完成了我们的证明。廉价再保险在本节中，我们考虑c aseη=θ，即廉价再保险成立。相应的Jb方程可以重写如下：max0≤Q≤1，c≥0θ（1- q） av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 0。（4.60）如前一节所述，我们假设HJB方程（4.60）具有递增的凹解V。然后，对于没有限制的q，（4.60）的左侧达到其最大值atq（x）=1+θabv′（x）v′（x）（4.61）和c（x）=（v′（x））-1.-p、 同样，在非廉价再保险案例中，我们将发现x点*对于所有x>x，q（x）=0*.因此，我们这里还必须考虑两个区间（0，x*] 和（x*, ∞). 在开始时，我们将分析（0，x*] 其中q（x）>0。我们回顾了（2.11）中α的定义，η=θ。莱克斯*=b（1- p） θa.（4.62）命题8。假设假设2成立。那么对于x∈ （0，x*],v（x）=mxp，其中m=β1- P-θa2bp（1- p）-（1）-p） 。（4.63）14 X.LIANG-Z.PALMOWSKIProof。注意，（4.60）可以重写如下：（4.64）-θa2b（v′（x））v′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0。ODE（4.64）的通解为b y（详见Merton【28】）：v（x）=M（x- N） pp+Q.Thenv′（x）=M（x- N） p-1，v′（x）=-M（1- p） （十）- N） p-将其插回（4.64）会产生（4.63）中给出的Q=0和M。注意α>1/（1- p），即1+2bβ/θa>1/（1- p），这意味着β>θap/（2b（1- p） ）。因此，M>0。最后，从边界条件v（0）=0，我们得到N=0。这样证明就完成了。现在我们将考虑间隔（x*, ∞) 其中有q（x）≡ 0

与非廉价再保险情况类似，从HJB方程（4.60）中，我们可以推导出该区间上的值函数所满足的方程：θav′（x）+bv′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0（4.65），边界条件为Sv′（x*) = M（x*)P-1，（4.66）v′（x）*)v′（x）*)= -十、*1.- p、 （4.67）注意，除两个边界条件外，二阶ODE（4.65）与ODE（3.43）相同。以与命题5的p屋顶相同的方式，可以验证x>x时q（x）=0*. 要做到这一点，就必须消除不平等-θabv′（x）v′（x）>1，其中v（x）=M xp/p为（3.50）的对应物。提案9。假设假设2。假设v在（x）上*, ∞) 求解（4.65）-（4.67）。然后v满足v′（x）>0且v′（x）<0且最大imum inmax0≤Q≤1.θ（1- q） av′（x）+b（1- q） v′（x）= 在这种情况下，q=0时达到0。备注10。由于（4.65）与（3.43）相同，我们将得到廉价再保险情况下的sa me渐近结果与非廉价再保险情况下的sa me渐近结果。基于以上分析，我们给出了本文的第二个主要结果。定理11。假设假设2。值函数V（x）由V（x）给出=Mxpp，0<x≤ 十、*,v（x），x>x*,15倍比例再保险红利支付的最优预期效用*和（4.62）和（4.63）中的M，v（x）解（4.65）-（4.67）。相应的最优分割策略isc（x）=（V′（x））-1.-pand最优再保险比例isq（x）=1.-θab（1-p） x，0<x≤ 十、*,0，x>x*.证据与定理7的证明类似，可以证明所选最优策略的SDE（1.2）解的存在性和唯一性。此外，为了确认候选解v（x）确实是值函数，只需验证w（t，Xπ*t）0≤T≤一致可积，其中π*是命题8和命题9中给出的相应策略。

然而，由于limx→0v′（x）=∞, 我们不能直接使用定理7的p屋顶，此处需要进一步修改。通过（3.32），我们可以找到一个大常数K，使得f或x>0，v（x）≤ Kxp。然后，Exw*（T，Xπ*T）≤ Ex公司sup0≤T≤电视Xπ*T≤ KEx公司sup0≤T≤TXπ*TP≤ KEx[（Y*T） p]，其中Ytis在（3.58）和Y中给出*这是它最大的过程。此外，由于p∈ （0，1），我们可以找到两个正积分，使得p≤ m/n.因此，Ex[（Y*T） p]≤ Ex[（Y*T） 男/女]≤nEx（Y*T） 2mo2n≤2m2m- 1.mnnEx（YT）2mo2n≤ HTmn+HTm2n<∞,式中，H为一些固定常数。因此w（t，Xπ*t）0≤T≤它是一致可积的。这就完成了证明。5、数值示例在本节中，我们提供数值示例来演示第3节和第4节中获得的结果。我们重点研究了功率p a和索赔波动率b对最优策略和阈值x的影响*对于廉价和非廉价再保险案例。在图1中，我们绘制了从0到50的盈余x的最优股息和最优再保险比例。在图1（a）中，我们考虑了非累积再保险情况。根据定理7，我们确定了最佳阈值x*等于11.2578，这意味着当盈余大于11.2578时，保险人将承担所有索赔，而不进行任何再保险。从这张图中，我们还可以观察到最佳的ivid结束率c*（x） 与盈余x呈线性增长，而最优再保险比例则与x呈线性下降。当盈余足够小时，保险人会将索赔产生的大部分风险转移给再保险人，这从直觉上看是合理的。相比之下，廉价再保险案例如图1（b）所示，其表现出与图1（a）类似的现象。根据定理11，在这种情况下，最佳阈值x*等于20.6250，比图1中的大。

发生这种情况的原因是，在廉价再保险情况下支付给再保险人的保费低于非廉价再保险情况下支付给再保险人的保费。这意味着，在廉价再保险的情况下，保险公司将更愿意将索赔风险转移给再保险人，即使其准备金相对较大。16 X.LIANG-Z.Palmowski图2显示了作为p∈ [0，1]对于固定x=5。从该图中，我们可以观察到，最优股息率随着p的增加而增加，而最优再保险比例则下降。可以通过注意参数1来解释这种现象- p代表保险人的风险厌恶，表示保险人对风险的态度。我们还发现，对于固定p，chea p再保险情况下的最优股息率和最优再保险比例大于非固定p再保险情况下的最优股息率和最优再保险比例。这种财产背后的原因是，根据廉价的再保险合同，保险人通常支付较少的费用，而且它往往会将大部分风险转移给支付额外股息的再保险人。图3显示了x的值*关于改变参数p和b。在图3（a）中，我们将b设置为0.5，并改变p的值。注意x*随着p的增加而减少。因为p反映了保险人对风险的承受能力，所以当p变大时，保险人对风险的厌恶程度就会降低。在图3（b）中，我们确定p=0.01，并观察到x*随着b的增加而增加。事实上，这可以通过以下事实来解释：保险单的价值越大，保险人承担的风险就越大。

在图3（a）和3（b）中，x的值*在廉价再保险情况下，盈余x 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55q*（x）c*（x）（a）η=0.8，θ=0.40 10 20 30 40 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91盈余x 0 10 20 30 40 5000.511.522.533.544.55q*（x）c*（x）（a）η=0.8，θ=0.40 10 20 30 50.50.60.80.91盈余x 0 10 20 30 40 5000.511.522.544.55q*（x）c*。（x）（b）η=θ=0.4图1。Q*（x） 和c*（x） 当a=0.03、b=0.5、p=0.01、β=0.1.6时，用x改变。结论在本报告中，我们设法找到最大化截至破产时间已支付的贴现累积分割付款的价值函数，其中策略基于股息支付的选择和再保险保单的比例。我们只分析了常数相对风险厌恶效用函数。未来的研究将涉及其他效用函数。还可以选择受监管风险流程的更多一般停止时间。例如，我们可以考虑巴黎的毁灭时间，就像在察那和帕尔莫夫斯基（CzarnaandPalmowski）[13]所做的那样。最后，在价值函数中加入所谓的Gerber-Shiu函数也是非常有趣的，正如Avram等人所实现的那样。人们也可以将投资分析为风险资产，参见Paulsen和Gjessing【29】。所有这些问题都更为复杂，有待进一步研究。比例再保险股息支付的最佳预期效用170 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.40.50.60.70.80.91幂pc*（x）η>θη=θ（a）c*（x） vs p0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.500.10.20.30.40.50.60.70.8功率pq*（x）η>θη=θ（b）q*（x） vs P图2。C*（x） 和q*（x） a=0.03，b=0.5，β=0.1，η=0.8，θ=0.4，x=5.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.546810121416182022功率px*η>θη=θ（a）x*b=0.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.505101525挥发性bx*η>θη=θ（b）x时的vs p*p=0.01时的vs b图3。