一个关于红利支付的最优期望效用的注记

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A note on optimal expected utility of dividend payments with
  proportional reinsurance》
---
作者：
Xiaoqing Liang and Zbigniew Palmowski
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In this paper, we consider the problem of maximizing the expected discounted utility of dividend payments for an insurance company that controls risk exposure by purchasing proportional reinsurance. We assume the preference of the insurer is of CRRA form. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we identify the value function and the corresponding optimal strategy. We also analyze the asymptotic behavior of the value function for large initial reserves. Finally, we provide some numerical examples to illustrate the results and analyze the sensitivity of the parameters.
---
中文摘要：
在本文中，我们考虑了通过购买比例再保险来控制风险敞口的保险公司的股息支付的预期贴现效用最大化问题。我们假设保险人的偏好是CRRA形式。通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们确定了价值函数和相应的最优策略。我们还分析了大初始储量价值函数的渐近行为。最后，我们提供了一些数值例子来说明结果并分析参数的敏感性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> A_note_on_optimal_expected_utility_of_dividend_payments_with_proportional_reinsurance.pdf (289.28 KB)

2022-5-25 07:47:23 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期望效用 proportional Optimization Quantitative reinsurance

关于比例再保险股息支付最优预期效用的注记梁晓青和ZbigniewPalmowskiaBStract。在本文中，我们考虑了通过购买比例再保险来控制风险敞口的保险公司，如何最大化预期的分期付款贴现率的问题。我们假设保险人的优先权是CRRA形式。通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们确定了价值函数和相应的最优策略。我们还分析了大初始储量价值函数的渐近行为。最后，我们给出了一些数值算例来验证结果并分析参数的敏感性。关键词。随机最优控制 Hamilton-Jacobi-Bellman方程 最优股息 比例保险金额1。导言22。HJB方程33。非廉价再保险64。廉价再保险135。数值示例156。结论16参考文献17日期：2018年9月12日。这项工作得到了国家科学中心2015/17/B/ST1/01102拨款的部分支持。第一作者获得了中国国家自然科学基金（11571189）和河北省高中国家科学基金（QN2016176）的部分资助。两位作者都很感谢第七届欧洲共同体框架计划中的玛丽·居里研究金项目REVE-318984的部分支持。2 X.LIANG-Z.PALMOWSKI1。近年来，人们越来越关注随机控制理论在保险相关问题中的应用。

这是因为一家公司，如财产责任保险公司或养老基金管理公司，可以控制再保险策略或投资策略，并可以在不同约束条件下支付股息以最大化（或最小化）某个目标函数。考虑了两种风险过程。第一个涉及经典的Cram'erLundberg过程，即dr-ift过程减去复合泊松过程，参见Buhlmann[9]，Hipp and Plum[17]，Azcue and Muler[6，7]。后来，这种情况被归纳为光谱负L'evy风险过程，见Avram等人【4，5】、Kyprianou和Palmowski【23】、Loeffen【25，27】、Loeffen【26】以及其中的参考文献。本文还考虑了第二个风险过程，即扩散剩余风险模型。在该模型中，公司的流动资产过程由布朗运动驱动，具有恒定的裂谷和扩散系数。漂移项对应于单位时间的预期收益，而扩散项则被解释为风险。关于这一主题的经典研究有：Gerber和Shiu【16】、Jeanblanc和Shiryae v【21】、Cadenilas等人【11】、Asmussen和Taksar【3】、Asmussen等人【2】、Bai和Guo【8】、Hojgaard和Taksar【18、19】、Paulsen【30、31】、Zhou【34】、David Promislow和Young【14】等。有关详细信息，请参见调查论文Albrecher和Thonhauser【1】以及bookSchmidli【33】。本文的目标是最大化一家保险公司股息支付的预期贴现效用，该保险公司的准备金按照扩散过程随时间变化，并通过购买比例再保险来控制风险敞口。

也就是说，在本文中，我们正式考虑以下优化问题。让(Ohm, F、 P）表示具有信息过滤{Ft}t的完整概率空间≥0和{Bt}t≥0是适应过滤的标准布朗运动。设R为漂移布朗运动的风险过程：Rt=（1+θ）at- Yt，R=x（1.1），对于截至时间t的累计索赔总额：dYt=adt- bdBt，Y=0，其中a和b为正常数，x≥ 0是初始盈余，（1+θ）a是安全负荷θ>0时的保险费率。除风险流程外，我们还将考虑股息支付。设C=（Ct）t≥0是一个适应且不减损的过程，代表截至时间t的所有累计股息支付。在我们的模型中，我们假设（Ct）t≥0相对于Lebesgue测度是绝对连续的。因此，我们假设过程C几乎可以肯定地接受由ct表示的密度过程≥ 0对连续时间内分期付款的强度进行建模。在我们的模型中，我们添加了另一个新的非常重要的特征，即效用函数的股息支付。我们考虑再保险保单，其中部分保费率（1+η）qta为一定比例qt∈ [0，1]被转移给一些再保险人，这些再保险人将承担qtof到达索赔Yt。通过这种方式，保险公司可以减少其风险敞口，因此对再保险进行了广泛的研究，例如Asmussen等人[2]，Azcue和Muler[6]，Choulli等人[12]，Chen等人。

[10] ，Hojgaard和Taksar【18，19】，Liang和Young【24】，Zhou和Yuen【32】，以及其中的参考文献。因此，储备过程Xπt如下所示：dXπt=（（1+θ）a- （1）- qt）a）dt+b（1-qt）dBt- （1+η）qtadt- CTDT比例再保险红利支付的最优预期效用3=（θ- ηqt）adt+b（1- qt）dBt- ctdt，（1.2），其中上标中的π表示一种策略，该策略由二维随机过程（qt，ct）描述，该过程应以最优方式进行选择，其中最优性的标准将在后面具体说明。我们假设tη≥ θ。当η>θ时，转移给再保险人的保费的金额大于再保险人承保的每项索赔的金额，这称为非廉价再保险。当η=θ时，我们说再保险很便宜。本文将考虑这两种情况。在破产时间之前，我们观察调节过程xUT：τ=inf{t≥ 0:Xπt<0}。我们将目标值函数定义为（1.3）V（x）=maxπ∈∏ExZτe-βsu（cs）ds,其中，β（>0）是贴现因子，u是某个固定效用函数，表示关于toPx（·）=P（··| X=X）的期望，最大值取所有容许策略∏。如果（qt，ct）是逐步可测量的且满足0，则称策略π是允许的≤ qt≤ 1，ct≥ 0表示所有t≥ 最后，我们假设破产不是由股息支付引起的。通常假设u:R≥0→ R≥0是可微且非负的。事实上，在本文中，我们将只考虑常数相对风险规避（CRRA）效用函数：（1.4）u（c）=cpp，p∈ （0，1）。对于上述红利问题，我们将证明产生最优值函数的Hamilton JacobiBellman（HJB）方程的验证定理。这在第2节中完成。

稍后（在一些额外的技术假设下）我们将解决它，产生一个似乎是马尔可夫策略的最优策略，即对于一些明确给定的函数q和c，qt=q（Xπt）和ct=c（Xπt）。特别是，对于效用函数（1.4），我们将证明当储量足够小（小于确定的x级）时*), 保险公司愿意购买部分再保险并转移部分保费。当储备大于x时*然后，保险公司能够支付所有到达的索赔，而最优策略不包括购买再保险。继Hubalek和Schachermayer【20】之后，我们还确定了大型储量的最佳策略为x→ ∞. 第3节和第4节分别讨论了非廉价和廉价再保险保单的情况。我们还提供了一些数值例子来说明第5节中的结果。我们以结论6.2结束本文。非负v的HJB方程∈ C在我们的优化问题中，我们将以下Hamilton JacobiBellman（HJB）方程关联起来：max0≤Q≤1，c≥0（θ- ηq）av′（x）+b（1- q） v′（x）- cv′（x）+u（c）- βv（x）= 0，（2.5），边界条件v（0）=0；（2.6）请参见Fleming和Soner【15】的美丽概述。从现在起，我们只寻找上述HJB方程的解v，它可以等于值函数v。换句话说，我们排除了那些由于任何原因不能成为值函数的解。我们从经典的验证引理开始。4 X.LIANG-Z.PALMOWSKILemma 1。假设v（x）∈ Cis边界条件为（2.6）的HJB方程（2.5）的非负解。然后v（x）≥ V（x）开（0，∞) 其中V是（1.3）中定义的值函数。证据固定x>0，然后选择一对可接受的策略c（·）和q（·）。

选择0<ξ<x<ξ。定义τx=inf{t≥ 0:Xπt=X}和w（t，X）=e-βtv（x）。通过将It^o公式应用于过程w（t，Xπt），我们得到了T∧ τξ∧τξ，Xπt∧τξ∧τξ= v（x）+Zt∧τξ∧τξe-βs（θ- ηqs）av′（Xπs）+b（1- qs）v′（Xπs）- csv′（Xπs）- βv（Xπs）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπs）b（1- qs）dBs≤ v（x）-Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（cs）ds+Zt∧τξ∧τξe-βsv′（Xπs）b（1- qs）dBs，（2.7），其中不等式源自HJB方程（2.5）。由于再保险策略qs介于0和1之间，因此（2.7）的随机积分项实际上是一个鞅。考虑到（2.7）双方的期望，我们得到WT∧ τξ∧ τξ，Xπt∧τξ∧τξ+Zt公司∧τξ∧τξe-βsu（cs）ds≤ v（x）。（2.8）现在让ξ↓ 0，ξ→ ∞ 和t→ ∞, 然后t∧ τξ∧ τξ↑ τ几乎可以肯定。因此，通过将Fatou引理应用于（2.8）中预期的第一项，我们得到了LIM inf ExwT∧ τξ∧τξ，Xπt∧τξ∧τξ≥ Exhlim inf w公司T∧ τξ∧ τξ，Xπt∧τξ∧τξi=0，通过应用单调收敛定理，（2.8）中的第二项Zτe-βsu（cs）ds.因此，我们可以得出结论：ExZτe-βsu（cs）ds≤ v（x）。所有可接受策略c（·）和q（·）的最大化给出了最终结果。注：如果（1.4）保持不变，则（2.5）中无约束的上确界在q（x）=1+ηabv′（x）v′（x）（2.9）和（2.10）c（x）=（v′（x））时实现-1.-p、 采用策略π=（q（Xπt），c（Xπt））使过程Xπt成为扩散。表示：α=1+2bβηa.（2.11）比例再保险股息支付的最优预期效用5我们将在两组假设下解决我们的优化问题：假设1。η>θ，α（1- p） >1和（2- α（1- p） ）η- 2θ<0，用于非廉价再保险和假设2。η=θ和α（1- p） >1这是廉价再保险。对于最优值函数V，我们还可以推导出以下性质，Choulli等人[12]也得出了类似的结果。引理2。最优v值函数v是递增且严格凹的。证据

很明显，V在增加。为了证明凹度，我们将遵循[12，Prop.2]的证明思想。根据动态规划原理，我们知道V（x）满足以下等式V（x）=maxπ∈∏ExZτye-βsu（cs）ds+e-βτyV（y）,（2.12）其中0<y<x且τy=inf{t:xπt=y}。对于h>0，让∏hbe为策略集π，使得zζ（θ- ηqs）ads+Zζb（1- qs）dBs-ZζCSD=-关于集合{ζ<∞}, 式中，ζ是由ζ=inf定义的停止时间T≥ 0:Zt（θ- ηqs）ads+Ztb（1- qs）dBs-ZTCDS=-H.通过将h=x- y（因此y=x- h） 从（2.12）我们得到v（x）=maxπ∈∏hEx“Zζe-βsu（cs）ds+e-βζV（y）#。（2.13）ThenV（x）- V（x）- h） =最大π∈∏hEx“Zζe-βsu（cs）ds+（e-βζ- 1） V（x）-h） #。（2.14）自e-βζ<1，V（x）是x的非减函数，（2.14）的右侧是x的减函数。因此V（x）- V（x）- h） 因此，V′（x）也在减小，V是严格凹的。如上所述，解决原始优化问题的想法是，首先用边界条件（2.6）找到HJB方程（2.5）的递增、凹和非负解v，然后构造策略，使其可以实现导出函数v。因此引理1的逆不等式适用于这个候选解v。因此，v确实是我们正在寻找的值函数。6 X.LIANG-Z.PALMOWSKI3。非廉价再保险我们将证明存在一个x点*当x>x时，（3.15）q（x）=0*.这意味着当保险公司的财富大于x*然后，最佳策略将是不对到达的索赔进行再保险。换句话说，保险公司可以独自承担所有的索赔。因此，我们在两个区间（0，x）分析值函数*] 和（x*, ∞), 分别地LetB=-2bηa1- p1级- α+αp>0，（3.16）D=2bαηa（η- θ） >0。（3.17）提案3。假设假设1。

然后打开（0，x*] 函数v解（2.5）由v（x）=e给出-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1- ppeξ1-P,（3.18）其中B和D是（3.16）和（3.17）中的giv en，ξ=g-1（x），其中g-1是函数g的逆：g（ξ）=（1- p） Beξ1-p+Dξ+Q，（3.19）对于Q=-（1）- p） Beξ1-P- Dξ和ξ=（1- p） ln（η- θ） （α- 1.- αp）apα（1- p） 。（3.20）以上，x*= g（ξ*),（3.21）式中ξ*= （1）- p） ln公司B- ηaDηaB.（3.22）证明。将（2.9）和（2.10）代入（2.5）得到：（3.23）- （η）- θ） av′（x）-ηa2b（v′（x））v′（x）+1- pp（v′（x））-p1级-P- βv（x）=0。我们选择以下变量transformx=g（ξ），v′（g（ξ））=e-ξ。（3.24）实际上，请注意（3.25）v′（g（ξ））=-E-ξg′（ξ）。将其插入（3.23）产品中-（η）-θ） ae-ξ+ηa2be-ξg′（ξ）+1- ppep1-pξ- βv（g（ξ））=0。（3.26）取ξ的导数和集合项，导出ηa2bg′（ξ）-ηa2b+βg′（ξ）+（η）- θ） a+eξ1-p=0。（3.27）比例再保险股息支付的最优预期效用7表示h（ξ）=g′（ξ）。然后a b ove方程可以改写为：h′（ξ）-αh（ξ）+2bηa（η- θ） +2bηaeξ1-对于某些Q=h（0），p=0（3.28）。通过求解上述常微分方程（ODE），我们可以观察到H（ξ）=Qeαξ-Zξ2bηa（η- θ） eα（ξ-u） 杜邦-Zξ2bηaeαξe（1-P-α） udu。（3.29）仔细计算并重新排列所有项giveh（ξ）=Aeαξ+Beξ1-p+DforA=Q-2bαηa（η- θ） +2bηa1- p1级- α+αp。鉴于（3.25）和v的凹度，A的值应为非负。则h（ξ）=Aeαξ+Beξ1-p+D>0。（3.30）回想h（ξ）=g′（ξ）和（3.26），我们得到v（x）=e-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-P=E-ξβ-（η）- θ） a+ηa2bAeαξ+ηa2bBeξ1-p+ηa2bD+1- ppeξ1-P.（3.31）注意，如果我们允许QT的一般值不受约束，那么我们只增加值函数，使我们有可能将极限视为x→ ∞. 从（3.24）、（3.30）和（3.31）中，如果A严格为正，我们得到V（x）~ Kxα-1α，其中Kis是一些固定常数和a（x）~ b（x）表示limx→∞a（x）/b（x）=1。

但是，以下上界v（x）≤ EZ∞E-βsu（x+（θ+1）as+bB+s）ds表明存在常数K>0，使得（3.32）V（x）≤ Kxp。因此，如果我们想让v（x）=v（x），根据假设1，我们必须选择A等于零。因此，我们得到（3.18）中给出的函数v的表示。在下文中，我们将推导（3.20）中给出的ξ值，满足度g（ξ）=0。事实上，如果我们将ξ代入（3.31），回顾v（0）=0，那么：-（η）-θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-p=0。因为g′（ξ）=Beξ1-p+D得到表达（3.20）。注意，h（ξ）=g′（ξ），A=0，我们从（3.30）中得到（3.19）。我们将证明0<q（x）≤ 1因为它应该来自再保险保单的构建。替代V′（x）=e-ξ和v′（x）=-E-ξ/g′（ξ）到（2.9），我们得到q（x）=1-ηabg′（ξ）≤ 1.8 X.LIANG-Z.Palmowskit为了满足所需条件q（X）>0，我们需要满足以下不等式ηabg′（ξ）<1。我们将证明ξ*（3.22）给出了方程的唯一解：ηabg′（ξ）=1。很容易验证ξ*求解上述方程。此外，sinceg′（ξ）=B1- peξ1-p> 0时，函数g′（ξ）严格递增。因此，ξ*当ηabg′（ξ）<1时，唯一地解上述方程。（3.33）将（3.20）插入不等式（3.33）的左侧，我们可以得出ηabg′（ξ）=ηa的结论-1.- p1级- α+αpeξ1-p+（η）- θ） aα=ηa-1.- p1级- α+αp（η- θ） （α- 1.- αp）apα（1- p） +（η- θ） aα=2（η- θ） αη（1- p） 。因此，如果2（η- θ） /（αη（1- p） ）<1，即（2- α（1- p） ）η- 2θ<0，则（3.33）成立。最后，我们将检查v确实是一个C函数，在（0，x）上求解HJB方程（2.5*]. 从（3.31）我们得到v′（x）=v′（ξ）·g′（ξ）=-E-ξβ-（η）-θ） a+ηa2bg′（ξ）+1- ppeξ1-P+E-ξβηa2bg′（ξ）+peξ1-P·g′（ξ）=e-ξβg′（ξ）（η）- θ） a-ηa2bg′（ξ）+eξ1-p+ηa2bg′（ξ）= E-ξ、 其中最后一个等式由（3.27）获得，ndv′（x）=-E-ξg′（ξ）<0。因此，v是递增的，并且是严格凹的。