社会经济不平等：基尼指数和加尔各答指数之间的关系

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英文标题：
《Socio-economic inequality: Relationship between Gini and Kolkata indices》
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作者：
Arnab Chatterjee, Asim Ghosh, and Bikas K Chakrabarti
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Socio-economic inequality is characterized from data using various indices. The Gini ($g$) index, giving the overall inequality is the most common one, while the recently introduced Kolkata ($k$) index gives a measure of $1-k$ fraction of population who possess top $k$ fraction of wealth in the society. Here, we show the relationship between the two indices, using both empirical data and analytical estimates. The significance of their relationship has been discussed.
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中文摘要：
社会经济不平等的特征来自使用各种指数的数据。基尼（g$）指数是最常见的指数，它反映了总体的不平等状况，而最近推出的加尔各答（k$）指数则反映了社会上拥有最高k$财富的人口的1-k$。在这里，我们使用经验数据和分析估计来显示这两个指数之间的关系。讨论了它们之间关系的重要性。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Socio-economic_inequality:_Relationship_between_Gini_and_Kolkata_indices.pdf (283.89 KB)

2022-5-25 09:08:03 上传

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关键词：基尼指数 社会经济 加尔各答 不平等 指数和

社会经济不平等：基尼和加尔各答之间的关系，*Asim Ghosh，2，+和Bikas K Chakrabarti1，3，印度加尔各答比汉纳加1/AF萨哈核物理研究所凝聚态物理分部，邮编700064。阿尔托大学理学院计算机科学系，邮政信箱15400，FI-00076，阿尔托，芬兰经济研究所，印度统计研究所，加尔各答B.T.路203号，邮编700108。社会经济不平等的特征来自使用各种指数的数据。基尼（g）指数是最常见的，它给出了总体的不平等，而最近推出的加尔各答（k）指数给出了1的衡量标准- 在社会中拥有最高财富比例的人口比例。在这里，我们使用经验数据和分析估计来显示这两个指数之间的关系。已经讨论了他们之间关系的重要性。一、 简介人类社会互动往往导致复杂的动力学。重复的社会互动会产生自发的变化，表现为不同层次的不平等。大量人类社会相互作用测量的经验数据的可用性，使我们有可能发现这些模式，分析它们，并寻找各种社会经济不平等背后的原因。除了使用统计物理学的工具外，研究人员还引进了其他学科的知识和技术，例如统计学、应用数学、信息论和计算机科学，以更好地理解我们社会中普遍存在的社会经济不平等的精确性质（时空）和根源。社会经济不平等[2-6]主要涉及社会内部复杂动态所累积的不平等“财富”和“财富”的存在。

它通常包含商品、财富、机会甚至奖惩分配不均的结构化和反复出现的模式，经典的衡量标准是条件不平等和机会不平等。条件不平等是指收入、财富、资产和物质的不平等分配。机会不平等是指“生活机会”的不平等分配。这反映在教育水平、健康状况、刑事司法系统的待遇等方面。社会经济不平等是冲突、战争、危机、压迫、犯罪活动、政治不稳定和动荡的根源，并间接影响一个地区的经济增长。传统上，人们一直在收入和财富的背景下对经济不平等进行深入的研究[8-10]，尽管它也被衡量为许多数量，如能源消费[11]。对社会不平等的研究一直非常重要，也是当前全球关注的焦点和热点，汇集了经济学、社会学、数学、统计学、人口学、地理学、图论、计算机科学和理论物理学等多个学科的研究人员。社会经济不平等以多种方式量化。最详细的度量当然是由各种数量的概率分布给出的。通常观察到的是，大多数量显示出广泛的分布——最常见的是对数正态分布、幂律分布或它们的组合。例如，收入的分布通常是指数分布，然后是幂律分布[9，16]。然而，这种分布在形式和细节上可能存在很大差异，因此不便于处理。

这导致引入了各种指数，如基尼指数（Gini）[17]、泰尔指数（Theil）[18]、皮埃特拉指数（Pietra）[19]和其他社会几何指数（2 0，21）]，试图描述这些分布的各种几何特征。不平等程度最常用基尼指数来衡量。我们可以考虑洛伦兹曲线[22]，它代表了d阶（从最穷到最富有）个人（条目）在财富累积Y方面的累积比例X。Y当然可以代表个人的收入或财富，但也可以代表文章的引用、支持候选人的选票、城市人口等。基尼指数（g）定义为洛伦兹曲线和平等线之间的比率，即低平等线，是量化社会经济不平等的最常用指标，从给定的统计分布中取0表示绝对相等，取1表示绝对不相等。如果（i）洛伦兹曲线和等分线之间的面积表示为A，以及（ii）洛伦兹曲线下方的面积表示为B（见图1），则基尼指数为g=A/（A+B）=2A。Ghosh等人【23】r最近*电子邮件：arnabchat@gmail.com+电子邮件：asim。ghosh@aalto.电子邮件：bikask。chakrabarti@saha.ac.in00.5 10.5XADBCF（k，1-k）kEFIG。1： 典型概率分布函数的洛伦兹曲线（实心红色）和等分线（黑色点对角线）。洛伦兹曲线给出了相对贫困人口所拥有的“财富”的累积分数。g指数由阴影区域的面积给出（由三角形AFB的面积归一化）。根据交点C（k，1）的坐标计算k指数- k） 洛伦兹曲线和垂直于等式线的对角线的。

显然，虽然指数衡量的是系统的整体不均衡性，但k指数给出了1所拥有财富的精确分数k- k富裕人口的细分。引入了加尔各答指数（代表加尔各答社会不平等的极端性质）或“k指数”，将其定义为分数k，即最贫穷（1-k） 有一小部分人拥有k分收入[24-26]。在最近提出的另一项测量中，垂直宽度指数IP W【20】可显示为等于√2（2k-1） 。二、关于g的经验发现- k关系0。20.40.60.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1g0。79k=0.5+0.365INST QUOTECJOUR QUOTECIN consu 2009-10 MPCEIN consu 2009-10 MPCEIN consu 2004-05 IN consu 2011-12BR consu 2002-03BR consu 2008-09IT consuUS Incomeincome voteWB voteUP voteMP voteAP VOTEBAR VOTEHAR voteUK voteCA VOTEBAD voteTZ voteOPE voteCity POLUDATIONK=0.5+0.365KK=gFIG中参考文献[23]的数据。2： 各种数据集（分布）的k指数和g指数估计值曲线图：引文（从ISIWeb of Science[27]检索，在参考文献[25]中分析；Inst=机构，Jour=期刊）支出（来自R ef[28，29]；in=印度，BR=巴西，IT=意大利），收入（来自参考文献[24]的数据），比例选举的投票数据（来自参考文献[30]；OPE），选举后第一次投票的数据（附录中的数据；in=印度，WB=西孟加拉邦，UP=Ut塔尔邦，MP=中央邦，AP=dhra邦，英国=英国，CA=加拿大，BD=孟加拉国，TZ=坦桑尼亚）和城市人口（参考文献[31]中的数据）。数据详情见A pp endix。虚线表示k=0.5+0.365g。大量社会经济数据表明，这两种看似不同的平等措施之间存在着简单的关系。我们分析了学术机构和期刊发表的论文的引文（数据来自Scie nc e的ISIWeb[27]，并在参考文献中报告）。

[25]、印度的消费支出数据[32]、巴西的消费支出数据[33、34]、意大利的消费支出数据[35]、美国的收入数据[36]、意大利、荷兰和瑞典的公开名单比例选举的投票数据[30]，印度议会选举和立法议会成员的选举后第一次投票数据[37]、英国的消费支出数据[38]、加拿大的消费支出数据[39]、孟加拉国的消费支出数据[40]、坦桑尼亚的消费支出数据[41]，参考文献[31]中的城市人口数据。详见附录表I-IX。对于s较小的值，该关系是完全线性的，而当g或k接近极端不等式的极限时，曲线变得非线性（图2）。最有趣的是，来自各种来源的数据很难偏离这条平滑曲线。为了得出这一结论，我们研究了收入、支出、期刊引用和影响因素、选票、城市人口等一系列数据。k指数和g指数呈线性关系k=+γ。g、 对于0≤ G0.70，（1）γ=0.365±0.005。三、 近似分析估计在图1中，粗红线是对应于概率分布函数y=P（x）的典型洛伦兹曲线。X表示X从最低到最高y的累积份额，而y表示y的累积份额。洛伦兹曲线切割反对角线y=1-X a t点C（k，1-k） 因此，k指数定义如下（例如，就个人拥有的财富而言）：总财富的k部分为1- k最富有人群的比例。基尼指数g由2A简单给出。如果A是洛伦兹曲线（ACB）和质量线ADB（Y=X）所包围的阴影区域，则基尼系数g由g=列车阴影区域的面积ABE=2A给出。（2） 我们讨论了以下三种计算A的近似方法。情况一：洛伦兹曲线为图1中的断裂直线AC和CBAB=√2和CD=√-√2（1-k）=√（2k-1） 。

因此，三角形驾驶室的面积为A=AB.CD=。√2.√（2k- 1） =（2k- 1） 。因此，g≥ 2A=2k- 1、（3）givingk≤+g、 （4）应注意，上述关系中的等式对应于g=k=1时的g=k。情况二：洛伦兹曲线为与ADB平行的直线，在垂直距离D处，面积a=AB.CD=√2.√（2k- 1） =2k- 1、这给了g≤ 2（2k- 1） ork公司≥+g、 （5）在该近似中，上述关系中的等式对应于g=k，因为g=k=。对观测数据的分析表明，k- g线（等式1；图2）在约0.78处接触k=g线。案例三：Lorenz曲线作为圆的弧，我们现在想象Lorenz曲线由半径r（=AE=BE）的圆的弧ACB（图3a）表示。DE垂直于AB，因此∠床=θ。扇区BEAC的总面积为θr。CBDE的面积θ（a）0.310.320.330.340.350.360.370.380 0.5 1 1.5π/6π/4π/3π/2θ（b）图3：（a）将洛伦兹曲线（红线）近似为圆的圆弧，将等高线近似为弦AB。圆弧的极值在圆E的中心处与角2θ相对应。（b）根据公式（7）绘制γ=2α的曲线，以获得θ的不同值是的。三角形ABE由给出。DE.AB=。r cosθ。2r sinθ=rcosθsinθ。因此，我们所需的面积ACDB由（扇形和上述三角形之间的差异）A′=r（θ）给出- sinθcosθ）。（6） 如果我们写A=A′=α。AB.CD，则α=θ- sinθcosθsinθ（1- cosθ）。（7） 参考案例I，并结合因子α，我们得到近似值A′为αA。因此g=2αA=α（2k- 1） （使用公式3）。这使得sk=+2αg.（8），因此k的s斜率- g线为γ=2α。图3b绘制了2α与θ的变化。观测到的γ近似值（见图2）为0.363，对应于θ=π/4（见图3b）。这意味着洛伦兹曲线可以近似为圆心为E的圆的等距弧（见图。

3a），对折和角度2θ=π/2 atE（比较图3a和图1）。在这种情况下，g- k线将在约0.78处接触k=g线（从等式8）。事实上，这种线性关系（与斜率γ的值≈ 对于圆形（象限）洛伦兹曲线，这里导出的0.363）更普遍有效。如果将图1中的洛伦兹曲线L（x）视为抛物线（L（x）=x，用于收入/财富m的均匀和规范化分布P（m）；L（x）=Rx2mP（m）dm），一个得到g=2R（x-L（x））dx=≈ 0.33和1- k=L（k）=k，给出k=(√5.- （1）≈ 0.62。g和k的se值非常符合上述关系（方程式1）。四、 g的估计值- k动力学交换模型的关系Let us现在考虑一些经济物理学家开发的市场模型，尤其是动力学交换模型[9,42]。在CC模型[42]中，在与另一个代理进行任何（随机）交换（贸易或交易）之前，年龄nt保持其收入或财富的分数λ（所有人都相同）。形式上，动力学定义为mi（t+1）=λmi（t）+r（1- λ） [mi（t）+mj（t）]mj（t+1）=λmj（t）+（1- r） （1）- λ） [mi（t）+mj（t）]，其中r是[0，1]中的随机分数，在每个时间步（交易或交换）中绘制。mi（t）和mi（t+1）分别是第i个代理人在交易时间t和（t+1）的财富。财富的稳态分布类似于伽马分布[42，43]，峰值位置随着λ的增加而向更高的收入或财富转移（λ=0时为吉布斯分布或指数分布，λ为δ函数→ 1） 。事实上，分配到[9，43，44]fn（m）=Γ（n）nhmi公司nmn公司-1exp-nmhmi, （9） 0.20.40.60.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1g（a）0.79CC 0≤ λ≤1k=0.5+0.365gk=g0。10.20.30.40.50.60.70 0.2 0.4 0.6 0.8 1λgk0。20.40.60.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1g0。86（b）CCM-1<δ≤0厘米0≤ δ≤3k=g0。20.40.60.8-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3δgkFIG。4： g vs.的蒙特卡罗模拟结果。

CC和CCM型号中的k（适用于1000个代理）。（a） 对于CC模型，变参数λ。插图显示了0范围内的g和k曲线图≤ λ≤ 实线对应于等式。11表示g与λ，这与模拟结果完全一致。在g- k图，点fit到k=+γ。g带γ≈ 0.365±0.005。（b） 对于CCM模型，改变参数δ。插图显示了g和d k在以下范围内的变化-1<δ≤ 3、n（λ）=1+3λ1- λ。（10） 公式9是一个标准的伽马分布，其se基尼指数由g=Γ给出n个+√πnΓ（n），（11），其中n由等式10给出。图4a插图中给出了使用数值模拟计算CC模型财富分布的g和k【26】。对于基尼指数，我们还绘制了E q.11，发现与数值模拟的结果相吻合。g- k关系也被发现是线性的，如图4a所示，服从k=+γ。g带γ≈ 0.365±0.005。这与g相比非常好- 在Se c.III案例II I中得出的k关系。在CCM模型【9，42】中，每个药剂i都有一个保存分数λ，该分数是从（淬火）分布∏（λ）=（1+δ）（1）中得出的- λ） δ。遵循与CC模型相似的随机动力学，mi（t+1）=λimi（t）+r[（1- λi）mi（t）+（1- λj）mj（t）]mj（t+1）=λjmj（t）+（1- r） [（1- λi）（mi（t）+（1- λj）mj（t）]，得到了具有幂律尾P（m）的收入或财富的稳态分布~ M-（2+δ）对于大型m【42】。图4b的插图中给出了计算此类分布的g和K，用于δ的变化范围。g-这里的k关系是非线性的（见图4b），但非常接近于类似的线性关系。五、 讨论正如已经强调的那样，基尼指数g在经济学家和社会学家中最受欢迎。它全面衡量了一个社会的不平等。

从图1可以看出，需要整个Lor-enzcurve的准确数据，以给出由其包围的阴影区域和等分线的度量。然而，社会中低收入群体和高收入群体的数据并不总是很容易获得。洛伦兹曲线由累积分布决定，对g和k指数的估计都会受到影响。当然，加尔各答指数k是由洛伦兹曲线和垂直于等分线的对角线的交点给出的，通常预计数据会非常精确和大量，与g指数相比，k指数值的影响应该较小，g指数因缺乏操作数据而受到直接影响。确实如第。三、 g- k线性关系是非常稳健的，它符合洛伦兹曲线的不同形式，因此，收入、财富、引用等的分布。这种稳健也从经验上观察到（图2）。因此g- 这里研究的k关系对于将一个不平等度量转化为另一个不平等度量非常有用；自1起- 一部分人的财富占总财富的比例很高，将社会不平等指标翻译成k指数语言可能具有重大意义。感谢ParthasarathiMitra对Sec的帮助。II I和一些有用的评论。我们还感谢我们的裁判提出了非常有用的建议（见第四节和附录A）。[1] D.Lazer、A.Pentland、L.Adamic、S.Aral、A.-L.Barab\'asi、D.Brewer、N.Christakis、N.Contractor、J.Fowler、M.Gutmann、T.Jebara、G.King、M.Macy、D.Roy和M.Van Alstyne。计算社会科学。《科学》，323（5915）：721–7232009。[2] K.J.Arrow、S.Bowles和S.N.Durlauf。精英统治和经济不平等。普林斯顿大学出版社，2000年。[3] 斯蒂格利茨。