精确光滑项结构估计

，φxN）不满足该要求，因此（6）与动态项结构模型不一致。同样，Nelson和Siegel（1987）和Svensson（1994）的规范也不是动态意义上的无套利规范，参见例如Filipovi\'c（200 0）。术语g（0）和g′（0）包含在（2）中，以保证规范的不确定性。由于贴现曲线必须从面值开始，因此我们通过设置x=0、p=1、c=1和c1j=ci1=0来施加g（0）=1，对于所有i，j 6=1。因此，最小化g（0）不会影响最佳曲线，因为它在约束条件中是固定的。g′（0）项导致瞬时短路率最小化。如果这是不可取的，我们可以很容易地将短期利率固定到外部指定的值r∈ R、 实际上，请注意ψ（x）=x是线性泛函ψ（g）=g′（0）在H中的Riesz表示。我们现在加上ψ（g）=-r作为（5）中的附加约束，并找到（类似于定理3.2的顶部）以下唯一解：g*（x） =▄zφ（x），（7），带▄z=▄CC▄A▄C-1▄p，▄C=blkdiag（C，1），▄p=P-R,φ（x）=φ（x）ψ（x）, 其中▄A是正定义（N+1）×（N+1）矩阵，其分量为▄Aij=艾吉≤ J≤ Nxii<j=N+11 i=j=N+1.4贴现曲线敏感性vi测试最佳贴现曲线（6）取决于通过向量z=C的基准报价（CAC)-1便士。根据所使用的基准工具的类型，其报价可以通过价格向量p或现金流矩阵C输入。例如，耦合债券的价格通过p输入，而掉期利率和远期利率通过HC输入。

本节中的结果是针对（6）中的曲线得出的，然而，对于具有约束短期利率的最优曲线（7），其结果直接遵循将p、C、z、A、φ分别替换为▄p、▄C、▄z、▄A、▄φ。4.1组合Hedging最优贴现曲线g的敏感性*（x；p，C）关于pand C的条目，最容易用方向导数表示：引理4.1.1。方向导数Dpg*·五、∈ 最优折扣曲线g的H*in（6）alonga向量v∈ Rnis由（Dpg）给出*· v） （x）=nXi=1viG*pi（x）=c（v）φ（x），c（v）=cCAC公司-1伏∈ 注册护士。2、方向导数DCg*· M∈ 最优贴现曲线g的H*in（6）沿矩阵m∈ Rn×Nis由（DCg）给出*· m） （x）=nXi=1NXj=1mijG*Cij（x）=f（m）φ（x），带f（m）=M- C（CAC)-1（凸轮+ mAC电脑)（CAC)-1便士∈ 注册护士。这些敏感性在实践中可用于对冲证券组合的贴现曲线变化。例如，考虑产生固定现金流的债券组合∈ [0，(R)τ]，k=1，K、 并用Vport表示其当前值。假设所有基准工具都是息票债券。变化p第i个基准工具的价格导致以下变化V债券投资组合的价值比例：Vport=nXi=1V端口圆周率pi=nXi=1KXk=1ck（Dpg*· ei）（τk）{z}=：qipi，其中ei∈ Rn表示第i个正则基向量。因此，我们可以通过购买债券来对冲基准息票债券价格的变化-QI第i个基准息票的单位。Andersen（2007）指出，只有在贴现曲线构造产生“局部扰动”的情况下，这种边缘策略才能在实践中很好地发挥作用。例如，如果债券i到期时间较短，则（Dpg*· ei）（x）对于大x应为零，以避免使用短期工具对冲长期现金流。

一般来说，三次样条曲线在这方面表现不佳，因此，上述对冲策略可能会给出不合理的结果，本文件中给出的贴现曲线构造。然而，对冲基准价格的个别小幅波动并不一定与利率随时间变化的方式一致。事实上，有大量证据表明，利率变动可归因于少数通常被称为水平、斜率和曲率的随机因素（见Litterman和Scheinkman（1991））。因此，针对每个基准价格的变动进行对冲的另一种选择是直接对冲被认为最有可能发生的利率变动。具体而言，我们首先构建贴现曲线g*（x） 然后考虑函数位移sj（x），j=1，J、 例如，对应的正向曲线f*（x） 。Vport的灵敏度=Vport（f*) 对于这些功能变化，可以通过以下功能导数来表示：dVport（f*+ sj）d=0=-KXk=1千克*（τk）Zτksj（x）dx，j=1。J、 如果基准工具有使用引理4.1中关于C的方向导数通过HC输入的报价，则可以建立类似的hedg策略。接下来，我们构建一个对冲投资组合，使对冲投资组合的功能性衍生工具等于（或尽可能接近）零。这种方法的主要优点是用于构造*在确定对冲策略方面不起主要作用（例如，见Hagan和West（2006））。如果J=1和s（x）≡ 1，然后我们有一个标准的期限对冲。

为了对冲forwa r d曲线中的平行位移，在实践中，sjare分段三角形函数的一种流行选择是围绕一组预先定义的所谓关键利率水平0≤ ξ<···<ξJ≤ τ：s（x）=（ξ-xξ-ξx∈ [ξ，ξ]0其他，sJ（x）=（x-ξJ-1ξJ-ξJ-1台∈ [ξJ-1，ξJ]0 elsesj（x）=十、-ξj-1ξj-ξj-1台∈ [ξj-1，ξj]ξj+1-xξj+1-ξjx∈ [ξj，ξj+1]0其他，j=2，J- 1.4.2最佳市场报价目前为止，我们假设市场报价没有任何错误。然而，在实践中，我们并不遵循单一价格，而是遵循买卖范围。此范围内的任何价格都可用于估计贴现曲线，此灵活性可用于增加贴现曲线的平滑度。下面的引理为我们之前导出的最优折扣曲线的范数提供了一个明确的表达式（即，对于等式约束的情况）：引理4.2。最优贴现曲线g的平方范数*在（6）中，单位为kg*kH=p（CAC)-1便士。我们首先假设基准工具是息票债券，我们观察其EBID价格pb∈ Rnand询问价格pa∈ 注册护士。我们现在对解决以下优化问题感兴趣：minp∈Rnp公司（CAC)-1ps。t、 pb级≤ P≤ pa.（8）备注（CAC)-1.∈ Rn×nis为正定义矩阵。事实上，由于内部产品的不确定性，C被假定为全秩，A是正定义。因此，（8）是一个凸二次规划问题，其中唯一解p*可以使用标准技术轻松找到。最优折扣曲线由g*= M+p*.现在假设基准工具有通过C输入的报价。例如，掉期和远期利率协议就是这样。用α带αa表示买卖报价，我们参考Andersen和Piterberg（2010）第6.4.2-6.4.3节，以了解这种混合方法的更多细节。分别地

优化问题现在变成：minα∈Rnp公司（CAC)-1ps。t、 αb≤ α≤ αa.（9）这个问题比（8）更难解决，因为它不一定是一个对流编程问题。然而，我们能够显式地计算gr-adient：引理4.3。（6）中关于最优折扣曲线平方范数αiof的偏导数如下：公斤*kH公司αi=-2p级（CAC)-1.CαiAC（CAC)-1p，其中Cαide注意到C相对于αi的分量导数。因此，我们可以使用多种基于梯度的约束优化算法。Kwon（2002）使用了类似的想法，但他的方法需要在每个迭代步骤中对梯度进行数值计算。相比之下，我们有梯度封闭形式，这有利于计算时间和数值程序的精度。5数值示例在本节中，我们讨论了使用不同类型基准工具的伪逆方法的三个实际示例。5.1息票债券在本例中，我们根据息票债券的价格估计贴现曲线。具体而言，我们考虑了1996年9月4日至9月9日的九份英国政府债券的数据，这些债券的半年期息票和到期时间约为2个月至12年，详情见表1。矩阵C的向量p和前十列（104+1）o如下所示：p=103.82106.04118.44106.28101.15111.06106.2498.49110.87, C类=1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 105 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 4.875 0 0 0 0 0。0 6.125 0 0 0 0 0 0 0 0 6.125。0 0 0 0 0 0 0 0 4.5 0 0。0 0 0 3.5 0 0 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 0 4.875 0 0 0 0。0 0 0 0 0 4.25 0 0 0 0 0 0。0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.875 0。0 0 4.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0。.C和p的第一行和第列对应于限制g（0）=1。

图1a显示了连续复合屈服曲线和第3节所述伪逆方法得到的瞬时正演曲线。收益率曲线看起来非常平滑，但正向曲线表现出可能不受欢迎的振荡行为。接下来，我们假设观察到的息票债券价格是中间价，我们假设每个债券价格的相对买卖价差为0.50%。我们使用第4.2节中概述的方法来确定贴现曲线，该曲线可产生bidask范围内的息票债券价格。图1b显示了最终的收益率曲线和瞬时正向曲线。我们观察到前向曲线的平滑度显著提高。还应注意，由于标准定义（2）中的g′（0）项，短期利率从约5.5%下降至4%。如第3节末尾所述，这可以通过将短期利率调整为外生常数来避免，例如r=5.5%。原始价格和最优价格的估算结果分别如图1c和图1d所示。5.2伦敦银行同业拆借利率单一曲线在本例中，我们对贴现现金流和预测远期利率使用相同的曲线。我们考虑了截至2012年10月1日美国货币和掉期市场的数据，如表2所示。更具体地说，我们考察了三个美元伦敦银行同业拆借利率（隔夜、100万美元和300万美元），到期日为S={S、S、S}，五个300万伦敦银行同业拆借利率的期货合约和九个票面互换利率，年支付固定期限。期货合约报价为：100（1- F未来（Ti-1，Ti）），i=1，7，带F未来（Ti-1，Ti）表示期货利率和T={T，T，…，T}相应的重置/结算日期。我们忽略任何凸性调整，并将futuresrate作为简单的远期利率，以保持估计过程模型的独立性。最后我们用U={U。

，U}掉期的现金流日期。传统bootst Rap我们首先执行传统的bootstrap，在此过程中，我们对所有缺失的简单现货和掉期利率进行线性插值。备注：首先，不同工具的重叠现金流日期：S<S<T<S<T<T<T<T<U<T<U<···<U。（10）贴现债券g（S）、g（S）和g（S）的价格很容易从给定的伦敦银行同业拆借利率中获得。在第一份期货合约的重置日期，我们通过对最后两个伦敦银行同业拆借利率的线性插值获得了简单即期利率L（T）：L（T）=wL（S）+（1- w） L（S），w=δ（T，S）δ（S，S），凸度调整仅为bas is点b的一小部分，因为期限较短，所以它们不会产生太大的质量差异。其中δ（x，y）表示日期x a和y之间的天数分数。贴现系数g（T）现在从插值的简单即期汇率L（T）中恢复。将未来利率视为简单的远期利率，我们拥有计算g（Ti），i=1，…，所需的所有信息，5，从：P（Ti）=g（Ti）迭代-1） 1+δ（Ti-1，Ti）F（Ti-1，Ti）。对于掉期，我们再次利用重叠的现金流日期，通过L（T）和L（T）之间的线性插值获得g（U）。在UCA只有一笔现金流的掉期的掉期利率Rswap（U）可以根据贴现债券价格g（U）计算。剩余折扣系数现在通过迭代使用公式：g（Ui）=1获得- Rswap（Ui）Pi-1j=1δ（Uj-1，Uj）g（Uj）1+Rswap（Ui）δ（Ui-1，Ui），i=2，30，其中所有缺失掉期利率均通过线性插值获得。最后，我们通过在现金流日期之间对零息票债券收益率进行线性插值，得到了期限连续统的贴现曲线。图2a和图2b显示了零息票债券收益率和瞬时远期利率。尽管零息票收益率曲线看起来相当平缓，但瞬时远期曲线却并非如此。

这种众所周知的前向曲线的“锯齿”行为是一系列线性插值。其他插值技术可能会提高正向曲线的平滑度，但选择正确的技术仍有一定的随意性，可能会导致复杂性显著增加。伪逆我们在第3节中介绍的伪逆方法不需要任何调整。我们只需构造现金流矩阵，平滑度最大化准则以最佳方式使用剩余自由度。本例中的现金流量矩阵C的维数为18×40，每个观察到的工具一行，另一行施加g（0）=1。这些列表示工具估值的所有相关日期。伦敦银行同业拆借利率L（Si），i=1，2，3，可以表示为当日价格为1，现金流量为1+δ（0，Si）L（Si）的工具。简单远期利率F（Ti-1，Ti），i=1，5，是否可以视为今天价格为0、现金流为0的工具-时间Ti为1-1其他现金流为1+δ（Ti-1，Ti）F（Ti-1，Ti）时间Ti。对于到期日Ui为2、3、4、5、7、10、1、5、20、30的掉期，我们回顾了面值掉期利率Rswap（Ui）的定义：1- g（Ui）=Rswap（Ui）iXj=1δ（Uj-1，Uj）g（0，Uj）我们使用一阶有限差来近似瞬时远期利率。其中，我们设置U：=0。我们发现，这相当于一种价格为1天、现金流量δ（Uj）的工具-1，Uj）在时间Uj，j=1，我- 1和最终现金流1+δ（Ui-1，Ui）Rswap（Ui）时间Ui。

因此，向量p和矩阵X的前13列采用以下形式：p=, C=0 SSTSTTTUTU···1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··g（0）=10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··Libor0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0··Libor0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0··F未来0 0 0 0 0 0 0 0-1 C00 0 0 0 0 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 C00 0 0 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 C00 0···F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 C8100··F未来0 0 0 0 0 0 0 0 0 c0 0 C9110··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 c10,80 0 c10,11c10,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 c11,80 0 c11,11c11,12··Swap0 0 0 0 0 c12,80 0 c12,11c12,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c13,80 0 c13,11c13,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c14,80 0 c14,11c14,12··Swap0 0 0 0 0 c15,80 0 c15,11c15,12··Swap0 0 0 0 0 0 c16,80 0c16,11c16,12··Swap0 0 0 0 0 0 c17,80 0 c17,11c17,12··Swap0 0 0 0 0 0 0 c17,80 0 c17,11c17,12··Swap0。在图2c和图2d中，我们绘制了零息票收益率和瞬时转寄率。我们观察到，伪逆方法产生的正向曲线比图2 a中的曲线大得多。请注意，将短期利率转换为外生恒量不会有太大变化，因为我们将隔夜伦敦银行同业拆借利率作为基准工具。作为对冲策略的一个例子，我们考虑13年后到期的付款人掉期。我们希望通过第4.1节中概述的对冲方法，利用我们估算中使用的九种接收方掉期对冲该掉期，并将三角函数转换为正向曲线。继Andersen和Piterbarg（2010）之后，我们选择使用关键利率水平ξj，j=1，J、 间隔三个月【0，’τ】。

请注意，J>9，这意味着我们不能建立一个完美的对冲，而只能建立一个近似的对冲（在最小二乘法中）。套期保值数量如图3所示。套期保值策略充分考虑了10年和15年内到期的掉期组合。这很有道理，因为这两种对冲工具的现金流与13年期掉期中的一种最为相似。5.3伦敦银行同业拆借利率（Libor）多曲线2008年信贷危机后，很明显，使用同一条曲线来计算和预测现金流已不再现实。今天的市场标准是使用隔夜指数掉期（OIS）来提取无风险曲线，用于贴现现金流，并使用单独的曲线预测不同的远期利率。在本例中，我们展示了如何轻松地使用伪逆方法从市场数据中提取所有这些不同的曲线。表3显示了截至2013年11月4日欧元区市场四种不同掉期工具的报价。第一种是OIS，支付固定费用并收取与EONIA相关的费用。到期时间超过一年的EONIA掉期在两个方面都有年度支付频率，而到期时间少于一年的EONIA掉期在到期时只有现金流。第二笔掉期工具固定支付并收取与600万欧元银行同业拆借利率挂钩的贷款。6欧元银行同业拆借利率掉期协议固定部分每年支付一次，浮动部分每半年支付一次。其余两种掉期工具是基础掉期，用于交换与流动资金挂钩的现金流。第一家银行将300万欧元同业拆借利率与600万欧元同业拆借利率互换，第二家银行将100万欧元同业拆借利率与600万欧元同业拆借利率互换。这些掉期以价差的形式报价，价差必须加到较短的一段中，以使两段具有相同的现值。用于贴现的曲线是从OIS报价中提取的。