精确光滑项结构估计

这可以用伪逆方法完成，方法与单曲线示例中完全相同。相应的产量和瞬时正向曲线如图4a所示。600万欧元银行同业拆借利率掉期和两种基础掉期的支付频率为一个月的倍数。因此，在下文中，我们考虑时间网格T={T，…，tN}，其中tian和ti-1，i=1，N、 相隔一个月，N=30×12。我们从600万欧元银行同业拆借利率与固定利率互换的工具开始。这些以等于固定资产和流动资产价值的掉期利率K引用：KnXi=1δ（t12（i-1） ，t12i）gOIS（t12i）=2nXi=1δ（t6（i-1） ，t6i）gOIS（t6i）F（t6i），其中t=0，t12是掉期到期日，Fk（ti）表示基准期的k个月简单远期利率[ti-k、 ti]。根据我们对OIS贴现曲线的估计，我们能够对该掉期的固定部分进行估值。请注意，右侧是未知6M远期利率与已知系数的线性函数。换言之，使用之前的方法，我们能够提取出最平滑的600万欧元远期利率曲线，该曲线正好符合所报掉期利率。因此，定价系统为scf=p，其中f=（f（t），F（tN））, 价格向量p的形式为p=F（t），Kδ（t，t）gOIS（t），KXi=1δ（t12（i-1） ，t12i）gOIS（t12i）！以及“现金流”矩阵C的前三行，即变为：C=1 0 0 0 0 0···········（t，t）gOIS（t）δ（t，t）gOIS（t）0 0······················。。。。。。。。。。。。。。。。。。.在掉期报价旁边，我们还通过将行（1，0，…，0）添加到矩阵C中，并将利率添加到向量p中，将给定的6M欧元银行同业拆借利率即期汇率F（t）包括在内。在下一步中，我们使用6M forwar d曲线从3M-6M期内基础掉期中提取3M远期曲线。

基差掉期是根据价差S报价的，该价差S必须以最高频率加入支腿，以使两个支腿的价值相等：2nXi=1δ（t6（i-1） ，t6i）gOIS（t6i）F（t6i）=4nXi=1δ（t3（i-1） ，t3i）gOIS（t3i）（F（t3i）+S）。我们得到的重新排列项：2nXi=1δ（t6（i-1） ，t6i）gOIS（t6i）F（t6i）- S4nXi=1δ（t3（i-1） ，t3i）gOIS（t3i）=4nXi=1δ（t3（i-1） ，t3i）gOIS（t3i）F（t3i）。左侧可以使用我们之前提取的贴现和6M前进曲线进行评估，右侧是未知3M前进速度的线性函数。因此，我们可以使用伪逆方法提取3M正演曲线。同样，我们也可以很容易地将即期3M欧元银行同业拆借利率F（t）包括在内。同样，我们也从1M-3M基础掉期报价中获得1M远期曲线，其中我们还包括spo t 1M欧元银行同业拆借利率f（t）。图4B中绘制了所有三条曲线。备注5.1。虽然EONIA掉期的报价期限最长为60年，但有时有人认为，到期期限超过1年的EONIA掉期在OIS贴现曲线的构建中并不具有足够的流动性。曲线的剩余部分，而不是根据OIS-3M基础掉期计算的10部分，后者的交易更加活跃。然而，这确实在OIS贴现曲线、3M远期和6M远期曲线之间产生了循环依赖关系。伪逆方法很容易扩展到多曲线世界，这主要是因为我们可以一条一条地估计所有曲线。如果我们必须从OIS-3M掉期中估计OIS贴现曲线的一部分，那么我们需要在ce上求解所有三条曲线。这增加了p问题的复杂性，因为在掉期估值中，远期利率与贴现率相乘，即我们在优化问题中面临非线性约束。

一种可能的解决方法是联合估计OIS贴现曲线g（x）：=gOIS（x）和“贴现”前向曲线g（x）：=gOIS（x）F（x），g（x）：=gOIS（x）F（x）。通过平滑贴现曲线和贴现远期曲线，我们可以解决线性约束的优化问题：ming，g，g∈HkgkH+kgkH+kgkHs。t、 Mg+Mg+Mg=p，对于一些适当定义的线性映射M、M和M。我们将此扩展的实现留作进一步研究。6欧盟clidean空间上的伪逆对于不熟悉有限维希尔伯特空间的读者，我们在本节中介绍了第3节中介绍的方法的有限维模拟。我们现在不是在希尔伯特函数空间中寻找折扣曲线，而是在欧几里德空间中搜索一个在某种意义上具有最大平滑度的折扣因子向量。假设我们对日期0=u<····<英国：d=（g（u），…）的折扣f参与者感兴趣，g（英国））,对于一些K≥ 1和（为简单起见）ui+1- 用户界面≡ δ>0。此外，假设D包含对我们观察到的n种工具进行估值所需的所有贴现因子，即{x，…，xN} {u，…，英国}。重新定义C∈ Rn×Kas是nbenchmark工具在{u，…，uK}日期的现金流矩阵。我们将光滑性准则（2）转换为离散形式，使用左黎曼和表示导数的积分和前向有限差分（当然也可以有其他选择）：g（0）+g′（0）+ZuK-1g′（x）dx≈ g（u）+δ（g（u）- g（u））+K-2Xi=0g（ui+2）- 2g（ui+1）+g（ui）δδ=kAdkK，其中k·kk表示RKandA=diag（1，δ）上的欧几里德范数-1/2，δ-3/2，δ-3/2）10。0-1 1 0。。。1.-2 1。。。。。。0 1-2.1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0。0 1-2.1∈ RK×K。有限维优化问题现在变成：思维∈RKkAdkKs。t、 Cd=p。

（11） 以上是一个具有线性不等式约束的凸二次规划问题，我们得到以下解：定理6.1。存在唯一的解决方案d*∈ RK到优化问题（11），并给出了asd*= A.-1M+p，其中M=CA-1和M+=M（毫米)-1是矩阵M的摩尔-彭罗斯伪逆。请注意，在有限维的情况下，很容易对贴现因子施加正性和单调性约束：心智∈RKkAdkKs。t、 Cd=pd>··>dK>0。因此，我们得到了一个具有线性不等式约束的凸二次规划问题。这样的问题有一个独特的解决方案，可以通过在许多数值软件包中实现的已建立的算法轻松找到。7结论我们引入了一种基于Moore–Penrose伪逆的新方法，以提取准确再现基准k工具价格的贴现曲线，该曲线具有最大的平滑度，即其具有最小的积分平方二阶导数。最优折扣曲线是一个分段三次函数，是一个有限维优化问题的唯一解。

可以合并投标报价单，以进一步提高折扣曲线的平滑度。伪逆方法非常容易实现，因此在考虑更复杂的备选方案之前，它是一种有趣的方法。证明此应用程序endix包含所有项目。L emma 3.1通过给定的部分证明g（τ）=g（0）+Zτg′（x）dx=g（0）+τg′（0）-Zτ（x- τ）g′（x）dx。从标量积h······ih的定义中，我们得到了函数φτ的以下条件：φτ（0）=1φ′τ（0）=τφ′τ（x）=（τ- x） 1[0，τ]（x），x∈ [0，’τ]。积分两次，我们得出：φ′τ（x）=τ-（十）∧ τ）+τ（x∧ τ） ，x∈ [0，(R)τ]，φτ（x）=1-（十）∧ τ）+τ（x∧ τ）-τ（x∧ τ）+x（1+τ）τ，x∈ [0，’τ]。定理3.2的证明变换（伴随算子）M: 注册护士→ 线性映射M的H:H→ 定义单位：hMg，ziRn=hg，M齐赫，G∈ HZ∈ 注册护士。使用M的定义和线性函数Φ的Riesz表示，我们很容易得到：Mz=NXj=1φxjCjz，z∈ Rn，其中cj表示matr ix C的第j列。拉格朗日L:H×Rn→ 问题（5）的R定义为l（g，λ）=kgkH+λ（毫克- p） =kgkH+hλ，MgiRn- hλ，piRn=kgkH+hMλ、 giH公司- hλ，piRn。优化器g*和λ*对于H和Rng中的Ffr’echet导数，满足以下一阶条件*+ Mλ*= 0（12）毫克*- p=0。（13） 从（12）我们得到g*= -Mλ*. 将其插入（13）中-毫米λ*= p、 O观察该MM: 注册护士→ RN是一个线性映射，可以用矩阵CAC表示,式中，A是正定义的N×N矩阵，分量saij=hφxi，φxjiH=φxi（xj）=φxj（xi）。我们现在得到了最优拉格朗日乘子和最优折扣曲线的以下唯一解：λ*= -CAC公司-1p，g*= MCAC公司-1便士。注意矩阵CAC是可逆的，因为A是正定义，C是满秩。mapM+：Rn→ H、 z 7→ M毫米-1z，被称为线性映射M的摩尔-彭罗斯伪逆。

因此，我们可以预测最优折扣曲线asg*= M+p.L emma证明4.1最优贴现曲线g*可写为asg*（x） =NXj=1zjφxj（x）=pCAC公司-1Cφ（x），（14）带φ（x）：=（φx（x），φxN（x））. 关于p的组分的微分（14）立即给出了定理的第一个陈述：（Dpg*· v） （x）=vCAC公司-1Cφ（x）。关于现金流的区别（14）G*Cij（x）=-PCAC公司-1.CAC公司Cij公司CAC公司-1Cφ（x）+pCAC公司-1ijφ（x）=pCAC公司-1.Iij公司- （财济+IijAC)CAC公司-1C级φ（x），其中Iij∈ Rn×Ndenotes a mat r ix，其中第（i，j）个条目等于一个，其他所有条目等于零。这个定理的第二个陈述现在很容易从matr ix乘法和x1的分配性质得到≤我≤n1型≤J≤NmijIij=m.L emma 4.2的证明使用定理3.2的证明符号，最优贴现曲线g*可写入sg*= M+p=M（毫米)-1便士。利用M是M的对偶算子，我们得到：kg*k=汞柱*, G*iH公司=M（毫米)-1p，M（毫米)-1便士H类=（毫米)-1p，毫米（毫米)-1便士注册护士=（CAC）-1p，pRn=p（CAC)-1便士。定理6.1拉格朗日定义为l（λ，d）=kAdkK+λ（Cd- p） 。最优λ的一阶优化条件*和d*地区公元*+ Cλ*= 0，Cd*- p=0。Straightforwa r d计算得出以下唯一的解决方案：d*= （A）（A）-1C级C（A（A）-1C级-1便士。使用A是可逆的事实并定义M：=CA-1、我们最终获得*= A.-1M+p，其中M+=M（毫米)-1是矩阵M的摩尔-彭罗斯伪逆。息票下一到期脏价（%）息票日期（pi）债券1 10 1 1996年11月5日1996年11月15日6 103.82债券2 9.75 1997年1月19日1998年1月19日106.04债券3 12.25 96年9月26日1996年3月26日99 118.44债券49 03/97 03/03/00 106.28债券5 6/11/96 06/11/01 101.15债券69.75 27/02/97 27/08/02 111.06债券7 8 8.5 0 0 7/96年7月12日106.5 24债券8 7.75 1997年3月8日2006年9月8日98.49债券99 13/1996年10月13日2008年10月110.87表1：英国国债市场价格，1996年9月4日。

资料来源：詹姆斯和韦伯（2000年）。到期日市场报价（%）Pu=2017年10月3日0.754 SwapU=2019年10月3日1.174 SwapU=2022年10月3日1.683 SwapU=2027年10月4日2.192 SwapU=2032年10月4日2.405 SwapU=2042年10月3日2.579 SwapTable 2：截至2012年10月1日美元市场的Libor利率、期货价格和掉期利率的市场报价。所有合同均为现货（T+2）开始。资料来源：彭博社。期限EONIA Fix（%）6M Fix（%）3M-6M（bps）1M-3M（bps）现金（%）o/n 0.0921m 0.102 0.1293m 0.109 0.2276m 0.108 0.3429m 0.1211y 0.130 0.386 10.85 8.902y 0.205 0.482 12.15 10.903y 0.334 0.656 12.85 12.604y 0.533 0.870 13.705y 0.742 1.097 12.95 14.206y 0.952 1.306 12.70 14.307y 1.145 1.503 12.35 14.208y 1.328 1.677 11.90 14.009y 1.479 1.833 11.40 13.8010y 1.625 1.973 10.90 13.6011y 1.7572.09512y 1.872 2.19915y 2.124 2.418 8.85 11.8020y 2.317 2.570 7.40 10.1025y 2.385 2.618 6.50 8.9030y 2.406 2.625 5 5.90 8.10表3：截至2013年11月4日，EONIA掉期、600万欧元银行同业拆借利率掉期、300-600万欧元基础掉期、100-600万欧元基础掉期和欧元银行同业拆借利率现金利率的中期掉期利率。

资料来源：彭博社。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间零息票收益瞬时远期利率（a）原价。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间0息票收益率瞬时远期利率（b）最优价格0 2 4 6 8 10 12到期时间0息票收益率瞬时远期利率（c）原价，固定r=5.50%。0 2 4 6 8 10 12 14到期时间0息票收益率瞬时远期利率（d）最优价格，固定r=5.50%。图1：使用英国ZF债券价格估算的贴现曲线得出的零息票收益率和瞬时远期利率。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.54.5零息票收益率瞬时远期利率（a）引导。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9到期时间0。10.20.30.40.50.60.7零息票收益率瞬时远期利率（b）引导，缩放。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.54.5零息票收益率瞬时正向速率（c）伪逆。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9到期时间0。10.20.30.40.50.60.7零息票收益率瞬时正向速率（d）伪逆，缩放。图2：零息票收益率和使用伦敦银行同业拆借利率工具估计的贴现曲线的瞬时远期利率。2y 3y 4y 5y 7y 10y 15y 20y 30ySwap对冲工具-0.10.10.20.30.40.50.60.7图3：使用估值中使用的九种掉期作为对冲工具对冲13年期掉期。0 5 10 15 20 25 30到期时间0。51.52.53.5零息票收益率瞬时远期利率（a）零息票收益率和对应于theOIS贴现曲线GOI的瞬时远期曲线。0 5 10 15 20 25 30到期时间T0。51.52.53.5F（T）F（T）F（T）（b）远期曲线，期限为一个月、三个月和六个月。图4：伪逆方法的多曲线估计。参考Adams，K.（2001）。零曲线的Smoot h插值。Algo研究季刊4（1/2），11-22。Adams，K.J.和D.R.Van Deventer（1994年）。

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