精确光滑项结构估计

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英文标题：
《Exact Smooth Term-Structure Estimation》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c and Sander Willems
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We present a non-parametric method to estimate the discount curve from market quotes based on the Moore-Penrose pseudoinverse. The discount curve reproduces the market quotes perfectly, has maximal smoothness, and is given in closed-form. The method is easy to implement and requires only basic linear algebra operations. We provide a full theoretical framework as well as several practical applications.
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中文摘要：
我们提出了一种基于Moore-Penrose伪逆的非参数方法来估计市场报价的折扣曲线。折扣曲线完美地再现了市场行情，具有最大的光滑性，并以闭合形式给出。该方法易于实现，只需要基本的线性代数运算。我们提供了完整的理论框架以及一些实际应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Exact_Smooth_Term-Structure_Estimation.pdf (725.33 KB)

2022-5-25 09:32:23 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Applications mathematica Application

精确光滑项结构估计*Damir Filipovi+Sander Willems2018年2月12日即将在《暹罗金融数学杂志》上发表。我们提出了一种基于Moore–Penrose伪逆的非参数方法来估计市场报价的贴现曲线。折扣曲线完美地再现了市场行情，具有最大的光滑性，并且以闭合形式给出。该方法易于实现，只需要基本的线性代数运算。我们提供了一个完整的理论框架以及一些实际应用。JEL分类：C61、E43、G12AMS分类：9 1-08、91G60、91G20关键词：自举、贴现曲线、远期曲线、样条曲线、期限结构估计1简介在金融模型中，通常假设我们可以观察到期限连续统一体零息票债券价格的初始期限结构，也称为贴现曲线。然而，在实践中，零息票债券很少交易，贴现曲线是从活跃交易的固定收益工具（如coupo nbonds、利率掉期或期货）的价格中得出的。由于贴现曲线是一个有限维度的对象，我们需要一种n插值方法来完成从观察到的有限数量的市场工具中获得的信息。广义上，我们可以将术语结构估计方法分为两类：参数方法和非参数方法。*我们感谢莱夫·安徒生、杰伦·科霍夫、法比奥·墨丘里奥和两位匿名裁判的评论。导致这些结果的研究获得了欧洲联盟第七框架计划（FP/2007-2013）/欧洲研究委员会第307465号拨款协议项下欧洲研究委员会的资助。+EPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@ep佛罗里达州。chEPFL和瑞士金融研究所。

电子邮件：sander。willems@ep佛罗里达州。ch参数化方法为折扣曲线的（部分）施加特定的函数形式，并通过最小化定价误差来校准参数。在整个成熟度领域定义的单件函数的例子包括Nelson和Siegel（1987）以及Svensson（1994）的开创性工作。这些是典型的低维参数形式，在曲线的一般形状比精确值更重要的定性研究中（例如，中央银行的货币政策）是首选。然而，单件函数形式对参与交易的机构来说过于严格，因为它们更喜欢有一条完美复制市场报价的贴现曲线，以便在一个单一的无套利估值框架内标记其账簿，而不是为整个到期范围指定一个单一函数，多项式样条方法采用分段多项式规格。术语结构估计中的第一个应用可追溯到McCulloch（1971、1975），其中使用普通最小二乘回归将二次和三次样条曲线直接拟合到贴现函数。Steeley（1991）提出使用B样条来克服McCulloch（1971、1975）遇到的病态矩阵。我们参考Hagan和West（2006）对其他几种基于样条线的算法hms的调查。通过增加样条曲线中的节点数量，可以实现与市场数据的接近。然而，节点数量和位置的选择仍然是完全不合理的。第二类估计方法是非参数方法。这些方法不是在贴现曲线（变换）上强加一个局部函数形式，而是最小化与曲线的平滑度和优度相关的范数。

文献中考虑了平滑度的几个定义。Delbaen和Lorimier（1992年）以及Frishling和Yamamura（1996年）最小化了远期曲线的综合平方一阶导数，认为不同区域的远期利率不应变化太大。Adams和Van Deventer（1994年）、Lim和Xiao（2002年）等使用前向曲线的积分平方二阶导数作为平滑度的度量。这两种方法都会产生多项式样条曲线，以获得最佳正向曲线。Manzano和Blomvall（200 4）、Andersen（2007）和Kwon（2002）考虑了这两种度量的组合，并表明这会产生所谓的双曲或张力样条曲线。上述所有论文都涉及贴现曲线（通常是远期曲线）的转换和数值例程，以求解最优曲线。Delbaen和Lorimier（1992年）以及Adams和Van Deventer（1994年）的著作除外，因为在特殊情况下，基准工具集仅由零息票债券组成。然而，在现实中，零息票债券几乎从未进行过流动交易，贴现曲线必须根据有息票债券或掉期利率进行估计。本文介绍了一种基于Moor e–Penrose伪逆的易用非参数方法。我们在有限维希尔伯特函数空间中搜索折扣曲线，该曲线具有最小范数，并精确地为一组线性固定收益工具（如FRA、掉期或息票债券）定价。范数与贴现曲线的积分平方二阶导数有关。最佳贴现曲线由一条三次样条曲线给出，该曲线的节点恰好位于基准工具的现金流日期。

因为我们直接平滑贴现曲线函数，所以最优曲线是以闭合形式给出的，只需要简单的线性代数计算。本文件中的方法与L orimier（1995）、Adams和Van Deventer（199 4）、Tanggaa rd（1997）、Andersen（2007）和其他人的方法非常相似，但他们都专注于估算贴现曲线（如前向曲线）的转换。据我们所知，本文是第一篇对贴现曲线本身的非参数估计进行全面处理的论文。我们认为，我们的方法是一种有价值且易于使用的方法，可以替代更复杂的数值算法，以找到平滑的贴现曲线。我们的方法旨在准确再现基准工具的价格。当基准k工具是Libor相关的流动工具（如掉期）时，这是一种常见做法。价格通常被视为中等价格。当使用息票债券构建贴现曲线时，买卖范围更大，原则上允许贴现曲线产生任何在此范围内的价格。我们展示了如何在买卖范围内合理选择价格，从而最大限度地提高折扣曲线的平滑度。在基准工具是息票债券的情况下，我们将其归结为求解具有线性等式约束的凸二次规划问题。正如Vasicek和Fong（1982年）和Shea（1984年）最初强调的那样，将多项式样条直接拟合到贴现曲线不必产生正的或单调的非递增贴现曲线。Barzanti和Corradi（1998）使用张力样条线，手动增加样条线中的张力，直到避免出现问题。Chiu等人。

（2008）、L aurini和Moura（2010）、Fengler和Hin（2015）等对用于表示贴现函数的B样条曲线施加形状约束。我们的方法产生的贴现曲线不能保证是正的或单调的非递增的，但是我们在所研究的数值例子中没有发现这是一个问题。我们开发了我们方法的有限维对应物，通过数值求解具有线性不等式约束的凸二次规划问题，可以很容易地将正性和单调性约束结合起来。本文的结构如下。第2节讨论了期限结构估计问题，并简要回顾了传统引导法中所采取的步骤。第3节介绍了我们提出的方法背后的理论。在第4节中，我们讨论了最优折扣曲线对投入价格的敏感性。本节特别说明了如何从买卖范围中选择最佳价格。第5节用市场数据说明了我们的方法。第6节包含我们方法的有限维等效物。第7节结束。附录包含所有证据。2估计问题假设今天是时间0，用p=（p，…，pn）表示净收益工具的观察价格。用0表示≤ x<···<xn这些工具所有现金流日期的联合，并调用C=（cij）相应的n×n现金流矩阵。如果现金流日期是指与工具定价相关的每个日期。工具i在时间xj没有现金流，那么我们只需将cij设置为0。这n种工具中包含的关于贴现曲线的信息可以用线性系统总结如下：Cd=p，（1）d=（g（x），g（xN））其中g（x）表示在x年内到期的零息票债券的价格。

如果C是一个可逆的平方矩阵，那么这个系统将存在唯一的解：d=C-1便士。然而，在现实中，我们通常拥有比工具更多的现金流日期（n<< N） 我们可以用来估算。换句话说，线性系统Cd=p是欠定的，存在许多满足（1）中关系的贴现向量d。出现的第一个问题是，应选择哪种可接受的贴现向量。其次，一旦我们选择了一个特定的可容许向量d，我们仍然面临着一个插值问题来寻找g（x）forx∈ （0，x）和x∈ （十一）-1，xi），i=2，N、 自举法是交易台的一种常见做法，即从数量有限的精心挑选的流动市场工具中构建贴现曲线，从而得出的曲线完美地再现了估算中使用的工具的价格。没有唯一的自举方法，而且很可能至少有世界上交易台那样多的方法。在本节中，我们对一些方法进行了非常简要的描述，有关实践中使用的最流行（singlecurve）引导方法的更详细概述，请参阅Hagan和West（2006，2008）。一般来说，对于维数小于或等于观测工具数量n的某些参数z，可以先验地为贴现曲线施加一个显式参数形式：g（x）=g（x；z）。然后定价系统（1）成为z:C（g（x；z），…，中的可能非线性方程组，g（xN；z））= p、 假设梯度zg（xj，z），j=1，N、 如果是线性独立的，逆映射定理断言这个系统不再（局部）关于参数z欠定。如果它允许解z*然后是（局部在z附近*)唯一的

然而，为m g（x；z）选择合适的参数并不简单。一种可能性是选择n次多项式-1，也称为拉格朗日多项式。虽然该函数非常平滑且灵活，足以满足n个约束，但它表现出强烈的振荡行为。这种所谓的“ro-llercoaster”效应的标准解决方案是通过样条曲线来描述贴现曲线，即分段低维多项式。有许多不同的方法可以指定样条曲线m的函数和节点的位置，例如McCulloch（1971、1975）、Steeley（1991）和Adams（20 01）。重要的是，在所有这些情况下，样条线解都是先验的，节点的数量和位置都是手动选择的。我们在下一节中介绍的方法也会生成样条曲线。然而，它仍然是完全非参数的，因为样条曲线是一个属性优化问题的结果，该问题决定了节点的最佳数量和位置。假设系统不是不一致的，即可以通过其他工具的线性组合复制的工具必须具有相同的价格（无ar比特率）。3 Hilbert空间上的伪逆，而不是首先找到贴现向量d=（g（x），g（xN））满足（1）并且在第二步将这些贴现因子s插值到连续贴现曲线中，我们现在直接在方便的希尔伯特函数空间中搜索在具有最小范数的意义下是最优的贴现曲线。通过连续线性映射的伪逆显式计算最优折扣曲线。我们确定了一个有限的到期期限，其规模足以控制所有现金流日期。

定义贴现曲线H的希尔伯特空间，该空间由实函数g：[0，\'τ]→ rw具有绝对连续的一阶导数，范数为kgkh=hg，giH=g（0）+g′（0）+Z′τg′（x）dx。（2） 该标准可作为贴现曲线平滑度的衡量标准，其近似适用于相应远期曲线的“平滑度”。远期利率是指一个人在未来一段时间内可以锁定的无风险贷款利率。除非有特殊理由相信，否则远期利率不应在一个时期到下一个时期之间波动过大。如果我们用F（x，y）表示未来时间段[x，y]内的简单forwar d率，0<x<y，那么对于小h>0:g′（x）≈g（x- h）- 2g（x）+g（x+h）h=g（x）hF（x- h、 x）+h1+hF（x，x+h）- 1.≈g（x）hF（x- h、 x）- F（x，x+h）.因此，通过最小化贴现曲线的曲率，我们可以近似地最小化后续简单远期利率之间的差异。对于任意τ∈ [0，(R)τ]我们现在定义了线性泛函Φτ：H→ 计算τ：Φτ（g）=g（τ）处的贴现曲线的R。（3） 根据Riesz表示定理，存在唯一元素φτ∈ H这样对于任何g∈ H我们有Φτ（g）=Hφτ，giH。下面的引理给出了该元素的显式表达式。引理3.1。H上的线性函数alΦτ可用元素tΦτ唯一表示∈ H由φτ（x）=1给出-（十）∧ τ）+xτ（2+x∧ τ） ，我们写x的地方∧ τ：=最小值（x，τ）。让我们定义线性映射M:H→ RnbyMg=C（Φx（g），ΦxN（g））, （4） 式中，C与n×n现金流量矩阵之前一样。从今以后，我们假设C具有全秩。这不失一般性。事实上，如果C没有满秩，我们将在估计中包括冗余工具，因为它们可以通过其他工具的线性组合进行复制。

例如，两种本金不同但特征相同的息票债券对贴现曲线施加了相同的约束（假设其价格符合一价定律）。现在，我们找到了与所有基准报价匹配的最小H-范数折扣曲线。也就是说，我们解决了以下有限维优化问题：ming∈HkgkHs。t、 Mg=p.（5）（5）的解是一个显式分段三次函数，如以下定理所示：定理3.2。存在唯一的解决方案g*∈ H到优化问题（5），并给出asg*（x） =（M+p）（x）=zφ（x），（6），其中M+：Rn→ H表示M的Moore–Penrose伪逆，z=CCAC公司-1p，φ（x）=（φx（x），φxN（x））, A是正定义的N×N矩阵，其分量Aij=φxi（xj）=φxj（xi）。因此，我们明确构建了贴现曲线x 7→ G*（x） 这正好复制了现金流为C和mo的工具的价格p，但在所有具有绝对连续一阶导数的实函数中，这是最平滑的曲线，因为它最小化了（2）中的范数。相应的瞬时正向曲线f*: [0，’τ]→ R由：f显式给出*（x） =-ddxln（g*（x） ）=-Zφ′（x）zφ（x），其中φ′（x）=（φ′x（x），φ′xN（x））φ′xj（x）=xj-（十）∧ xj）+xj（x∧ xj）。备注3.3。Gourieroux和Monfort（2013）描述了动态期限结构模型，其中零息票债券价格为Form P（t，t）=zta（T- t） ，where ztisa一组N≥ 1线性独立随机因素和a:R+→ RN是一个确定性函数。他们认为，零息票债券的自融资组合缺乏套利机会，这意味着必须有一个矩阵，使得a′（τ）=ma（τ）。函数φ=（φx。