金融市场的多重依赖结构

我们关注四层中唯一存在的边，以及与Kendall、Tail或Partial层中存在的边相关的多条边的组合，但不在Pearson层中。如图所示。2、多学位在时间上表现出强烈的差异，在不同行业中表现出高度的异质性。石油和天然气、公用事业和基础材料等行业在四个面板（a）-（d）中的归一化多度值均较低。相反，与工业、金融、技术、电信和消费者服务相对应的节点边缘往往只集中在一个或一小部分层中。例如，我们观察到，在网络泡沫和2002年经济低迷之前的一段时间内，与金融、工业和消费品股票相对应的节点的Kendall层边缘相对集中，这一特征在图2（a）的Pearson层中可见。类似地，我们注意到，在2007-2008年危机之后，消费品、消费服务和医疗保健节点的尾部层特有的边缘突然增加。不同工业部门的相对作用中存在着巨大的异质性和时间变化，这证明了使用多重网络方法分析资产之间依赖性的重要性。从这个角度来看，特别有意思的是讨论多度图，该图仅限于Kendall层、部分层或尾层上存在的边，但在Pearson层中不存在，如图2（e）所示。尽管皮尔逊相关系数是研究相关性的最常用指标，但该图显示，直到2002年，仅基于皮尔逊相关系数的金融网络分析将错过基础材料、金融、消费品和工业等部门40%至60%的资产边缘。

图2（e）中的随时间演化研究表明，在2002年和2007年的两次危机中，肯德尔、尾部和部分层面的工业部门的相对作用变得相对不那么重要，但在2007-2008年危机期间以及之后，这些部门再次成为中心。这一突出作用很有启发性，但仅从皮尔逊层的分析来看，这一点并不明显。让我们也注意到，2007-2008年危机之后的这段时期的另一个特点是，肯德尔（Kendall）、部分和尾部技术和电信部门股票的正常化程度出现了前所未有的合理增长，因此，过去十年来，完全基于皮尔逊相关性的研究低估了其在市场依赖结构中的重要性。金融系统的多重制图为了更好地量化特定节点和节点组的相对重要性，我们计算了重叠度和分割系数，分别测量了节点的边缘总数以及这些对冲在各层中的分布情况（详见材料和方法）。我们首先计算属于每个ICBindustry部门I的节点的平均度k[α]Iat layerα，定义为k[α]I=NIPi∈Ik[α]iδ（ci，i），其中ciwe表示节点i的行业，Ni表示属于行业部门i的节点数量。图。3 a）-d）为四层中的每一层显示k[α]Ias是时间的函数。请注意，无论使用的依赖性度量是什么，金融部门的节点都表现出相当高的平均程度，在2002年网络泡沫之前有一个明显的峰值。此后，除2007-2008年的危机外，金融业的平均程度明显下降。

除了四个层次的财务状况总体趋势存在相似性外，对平均程度的分析还表明，各部门之间存在高度异质性和加班时间。在皮尔逊层，基本材料是整个观察期内的第二大中心产业，而工业和石油天然气在2007-2008年危机后的时期获得了更多的联系。与Pearsonlayer相比，Kendall层的度数在各扇区之间的分布更为均匀。有趣的是，尾层的度数图与皮尔逊层的度数图相似。最后，在部分层面，我们观察到金融领域的链接集中度最高（与[40]中的一致），2007-08年危机后，基本材料领域的链接集中度最高。我们还计算了每个行业I的平均重叠度oI≡ 霍伊∈一、 其中OI是节点I的重叠度，它量化了多重依赖网络中每个工业部门的整体重要性。图3（e）显示了每个行业的平均重叠程度随时间的变化。正如我们所看到的，OIS能够突出金融、基础材料、石油天然气和工业部门在多元化网络中所扮演的突出角色，也揭示了1997年至2010年间存在的四个不同阶段。2、多角度揭示了工业部门在危机期间的不同作用。

同一工业部门节点的平均多度图仅限于（a）Pearson、（b）Kendall、（c）Tail和（d）Partial layers上存在的边，这清楚地表明，某些依赖性度量可以揭示其他度量未注意到的结构。特别是，与Kendall、Tail和Partial中至少一层上存在的边相关的平均多度图，而不是Pearson（面板（e）），表明Pearson相关性并没有捕捉到许多重要特征，例如基本材料、金融、，危机期间的消费品和工业，以及2007-2008年危机后技术和消费服务的重要性日益增加。2015年。第一阶段，金融业是唯一的优势行业，涵盖1997年至2000年期间。第二阶段是2000年至2007-08年的危机，其特点是基础材料成为第二大核心部门。在第三阶段，即2009年至2014年间，金融业失去了其重要性，转而青睐工业、石油和天然气以及基础材料（这成为最核心的领域）。最后，2014年，新的均衡开始出现，金融和工业再次在该体系中占据核心地位。参与系数补充了重叠度提供的信息，量化了节点的边缘如何分布在复用层上。特别是参与系数办公室。3、代表行业重要性的平均节点度。属于不同工业部门的节点的平均程度图仅限于（a）Pearson、（b）Kendall、（c）Tail和（d）部分层，以及面板（e）中报告的平均重叠程度图证实了财务的相对重要性。

然而，平均参与系数（面板（f））表明，在2007-2008年危机之后，基础材料、工业和石油天然气等部门的依赖结构变得更加异质，即只关注四个层面中的一个子集。如果节点i仅在其中一个层中具有边，则节点i等于0，而当节点i的边均匀分布在各个层中时，节点i最大值等于1（有关详细信息，请参见材质和方法）。在图3（f）中，我们报告了作为时间函数的每个ICB行业I的平均参与系数Pi。有趣的是，该图显示，图3（e）所示金融、基础材料、工业和石油天然气部门重叠程度的增加通常伴随着相应参与系数的大幅下降。这表明这些部门仅在一个或两个层面上累积了学位，证实了多学位分析中的结果。附录中报告了对每个部门参与系数的时间演变的更详细分析。讨论通过使用来自不同相关性度量的过滤网络，我们已经证明了多重网络方法可以揭示那些在孤立情况下对每个依赖性度量的分析不可见的特征。虽然Pearson、Kendall、Tail和偏相关分别生产的蛋鸡显示出一定的整体相似性，但它们表现出与市场变化相关的独特特征。例如，我们观察到，前三层之间的平均边缘重叠在市场压力期间显著下降，这表明非线性效应在危机期间更具相关性。

对Pearsonlayer上不存在但至少存在于三个剩余层中的一个层上的与边缘相关的平均多重度的分析表明，仅Pearson相关性就可能检测不到一些重要特征。我们观察到，非线性和尾部对市场依赖结构的相对重要性（通过后三层之间的平均边缘重叠来衡量）在2000年代上半年显著下降，然后在2005年至2007-08年危机期间急剧上升。总的来说，金融危机导致边缘重叠显著下降，从而在风险评估变得最为重要时，扩大了依赖性度量之间的差异。不同的行业表现出不同的结构重叠。例如，90年代末/2000年初，在互联网泡沫的边缘，金融、工业和消费品行业仅在肯德尔层上的联系数量不断增加。在2007-08年的危机之后，这些行业往往在肯德尔、尾部和局部有许多优势，而这些优势在皮尔逊蛋鸡上是不存在的。这一观察结果质疑，在分析股票之间的相关性时，我们是否可以仅依赖皮尔逊估计量。对重叠程度和参与系数的研究表明，资产集中度是投资组合优化的一个重要特征[39，45]，在各层之间发生了很大的变化，在市场危机期间发生了最大的不同步变化。

总的来说，我们的分析表明，不同的依赖性度量提供了有关市场结构和演变的补充信息，而多重网络方法可以揭示有用的信息，以获取否则会被忽视的系统属性。材料与方法数据集原始数据集包括1993年1月3日至2015年2月26日期间交易的TOT=1004支美国股票的每日价格。数据中的每支股票在考虑的期间内至少被纳入标准普尔500指数一次。因此，所考虑的股票在22年的延长时间窗口内提供了美国股市的代表性图片，涵盖了行业分类基准（ICB）中列出的所有10个行业【43】（图4）。值得注意的是，这组股票中的大多数在整个时期内都没有交易。这与大多数基于动态相关性的网络的研究存在重大差异，在这种网络中，只有股票在研究期间持续交易，这导致了显著的“生存偏差”。对于每个资产i，我们计算了对数收益序列，定义为ri（t）=log（Pi（t））- 对数（Pi（t- 1） ，其中Pi（t）是第t天的股价。时变多重网络的构建基于日志回报，并在θ=1000个交易日（约4年）的移动时间窗口中执行，dT=23个交易日（约一个月），总计200个不同的多重网络，每个时间窗口一个。对于每个时间窗T，分别基于下面所示的四个不同的测试者，计算了四个不同的N（T）×N（T）依赖矩阵。由于活性股票的数量随时间变化，不同时间的依赖矩阵可以有不同数量的股票N（T），如图4所示。

图中还显示了我们数据集在每个时间窗口的ICB行业组成，证实了我们在整个时期内拥有所有市场的代表性样本。我们已经验证了下面讨论的结果对θ和dT的变化具有鲁棒性。图4：。各ICB行业的股票数量。在每个时间窗口中连续交易的股票数量及其在ICB行业中的划分。金融时间序列之间的相关性我们考虑了两个时间序列ri（u）和rj（u），i，j=1，2，…，之间的四种不同的相关性度量，N、 u=1，2，θ、 以下分别表示为Pearson、Kendall、Tail和Partial皮尔逊相关性——它是两个时间序列之间线性相关性的度量，基于皮尔逊相关系数的评估【46】。我们使用了该估值器的指数平滑版本【47】，以减轻对远程观测中异常值的过度敏感性：ρwij=Pθu=1wu（ri（u）- ？riw）（rj（u）- rjw）qPθu=1wu（ri（u）- (R)riw）qPθu=1wu（rj（u）- \'rjw），（1）带WU=wexpU- θT*, （2） 其中T*是重量特征时间（T*> 0）控制过去观测值在相关性中失去重要性的速率，并且是一个与归一化约束tθu=1wu=1相关的常数。我们选择了T*= θ/3，根据先前制定的标准[47]。-Kendall相关性–这是一种考虑了atime系列非线性的相关性度量。它基于所谓的dkendallτ秩相关系数的评估，从数量dk（u，v）开始≡ sgn（rk（u）- rk（v））。估计器计算协和对的数量，即观测对的数量，使得di（u，v）和dj（u，v）具有相等的信号，减去不协和对的数量【11】。

至于皮尔逊依赖的情况，我们使用了估值器的指数平滑版本【47】：τwij=θXu=1θXv=u+1wu，vdi（u，v）dj（u，v），（3）with wu，v=wexpU- θT*经验值五、- θT*, （4） 其中T*也是重量特征时间–尾部相关性–它是尾部copula的非参数估计量，提供了针对极端事件的相关性度量。它基于以下估值器的评估[48]：Cij（p，p）=pθu=1{Fi（ri（u））<p∧Fj（rj（u））<p}pθu=1{Fi（ri（u））<p∨Fj（rj（u））<p}（5），其中fi和fjar分别是收益率ri（u）和rj（u）的经验累积概率，并用两个参数表示上述百分位数，其中观察值被视为（下）尾。由于我们对风险管理应用程序感兴趣，关注的是损失，因此我们只关注较低的尾部。可以看出，这是尾部copula的一致估计量[48]。在这项工作中，我们选择了p=p=0.1（即，我们认为每个观察值都在10%以下），作为统计需求和对极端事件的兴趣之间的权衡部分依赖性——这是一种依赖性度量，量化了每项资产对其他资产相关性的影响程度。基于j的资产i和k之间的偏相关ρik | j，或相关系数，是根据rj（u）回归后得到的ri（u）和rk（u）残差之间的Pearson相关性【49】。它可以用皮尔逊相关系数表示如下[40]：ρik | j=ρik- ρijρkjq[1- ρij][1- ρkj]（6）该度量值表示减去j的影响后，i和k之间剩下的相关性量。在【40】之后，我们将j对i，k的影响的相关性定义为：d（i，k | j）=ρik- ρik | j（7）d（i，k | j）很大，因为i和k之间的相关性很大一部分是由于j的影响。

最后，为了将其转化为i和j之间的度量，即所谓的部分相关性，我们将其在指数k上取平均值：d（i | j）=hd（i，k | j）ik6=i，j（8）d（i | j）是基于部分相关性的j对i的影响度量。值得注意的是，与其他依赖性度量不同，d（i | j）提供了资产之间的直接关系（通常d（i | j）6=d（j | i））。在本文的其余部分中，我们将该指标称为“部分依赖”，尽管严格来说，我们是基于部分相关来分析相关影响。图形过滤和多重网络的构建对于200个时间窗口中的每一个，我们构建了一个多重网络，M=4层，分别通过四个相关性指标获得。为了减少每个依赖矩阵中包含的噪声和冗余，我们应用了平面最大滤波图[2][3][4][7]。值得一提的是，相关影响层的过滤需要对PMFG算法进行调整，以处理不对称关系。我们遵循了[40]中提出的方法，排除了节点之间的双链接。然后，将得到的平面图转换为无向图并包含在多重图中。多重测量让我们考虑Nnodes上的加权多重网络M，由加权邻接矩阵W={W[1]，W[2]，…，W[M]}的M维数组定义，其中W[α={W[α]ij}是通过PMFG滤波确定第α层拓扑的权重矩阵。这里，权重w[α]ij表示节点i和节点j之间在层α上的相关性强度，其中不同的层通过不同的相关度量获得。