金融市场的多重依赖结构

在下文中，我们将通过W[α]表示与α层相关的PMFG的加权邻接矩阵，并通过A[α]表示相应的未加权邻接矩阵，其中A[α]ij=1当且仅当W[α]ij6=0时。我们用K[α]=Pija[α]ij表示α层上的边数，用K=Pi，jh1表示-Qα（1- a[α]ij）是指在至少一个M层上通过至少一条边连接的节点对的数量。注意，由于每一层的网络都是一个PMFG，因此我们有K[α]=3（N- （2）α通过构造。我们考虑一些常用于表征多路复用网络的基本量[14，42]。第一个是平均边缘重叠，定义为两个随机选择的节点i和j之间存在边缘的平均层数：hOi=2KXi，jXαa[α]ij。（9） 请注意，仅当所有M层都相同时，即A[α]，hOi=1≡ A[β]α、 β=1，M，而hOi=0，如果在多个层中不存在任何边，则平均边重叠实际上是衡量多路复用网络各层结构的相似程度。某种程度上，对偶量是在任何其他层上都不存在的层α边缘的分数：U[α]=2K[α]Xi，ja[α]ijYβ6=α1.- a[β]ij（10） 这量化了给定层α的结构有多奇特，因为只有当层α的几乎所有边缘都出现在至少一个其他M上时，U[α]才接近于零- 1层。关于每个节点对一个层（或一组层）的贡献的更准确信息可以通过所谓的节点i的多级来获得。让我们考虑向量m=（m，m，…，mM），m等于层的数量，其中每个mα只能取两个值{1，0}。我们说，如果一对节点i，jh仅在mα=1 in~m的thoselayersα上连接，则它们是一个多链路m[42]。

然后，关于M个邻接矩阵aαij（α=1，…，M）的信息可以聚合到多邻接矩阵a ~ mij中，其中~ mij=1当且仅当对i，j由一个多重链接M连接。形式上【13，42】：a ~ mij≡MYα=1[αijmα+（1- aαij）（1- mα）]。（11） 从多重邻接矩阵中，我们可以定义节点i的多重数m，即多重连接i的数量：k ~ mi=XjA ~ mij。（12） 该度量允许我们计算，例如，仅在第1层上有多少edgesnode i（k ~ m选择m=1，mα=0α6=1），整合U[α]提供的全局信息。量化每层上单个节点重要性的最基本度量是通过节点度k[α]i=Pja[α]ij。然而，由于相同的节点i通常存在于所有层中，我们可以引入两个量来描述节点i在复用中的作用，即重叠度i=Xαk[α]i（13）和复用参与系数：Pi=MM- 1“1-Xαk[α]ioi！#。（14） 重叠度只是任意层节点i上边缘发生的总数，因此如果节点具有相对较大的oi值，则节点被归类为集线器。多重参与系数量化了各层中节点i上入射的边缘的分散度。实际上，如果i的边集中在M层中的某一层上（在这种情况下，i是聚焦节点），则Pi=0；如果i的边均匀分布在M层上，即当k[α]i=oiM时，则Pi=1α（在这种情况下，i是真正的多路复用节点）。

OI和PIS的散点图被称为多重地图，并被用作多重地图中观察到的节点角色总体异质性的综合图形表示。在多路复用网络中，查看层间度相关性的存在和符号也很重要。这可以通过计算层间度相关系数来实现[15]：ρ[α，β]=πR[α]i- R[α]R[β]i- R[β]rPi公司R[α]i- R[α]Pj公司R[β]j- R[β]（15） 式中，R[α]是节点i根据其在层α上的等级的秩，R[α]是在层α上按等级的平均秩。通常ρ[α，β]取[-1，1]，其中值接近+1（分别为，-1） 表示强正（或负）相关，如果两层的度数不相关，则ρ[α，β]\'为0。附录平均参与系数的时间演化图5中，我们绘制了工业部门I股票平均参与系数PI（x轴）与平均重叠度oI（y轴）的时间演化图。每个圆对应200个时间窗口中的一个，而每个圆的大小和颜色代表不同的时间窗口。每个面板对应一个工业部门I。图表显示，在过去20年中，不同部门的作用发生了根本性的变化，并朝着不同的方向发展。例如，金融部门的股票从20世纪90年代末相对较大的重叠度和较小的参与系数发展到观察期结束时数量较少的边缘，在各层之间分布更加均匀。相反，工业股票在某些层面上获得了一定程度的增长，导致参与系数大幅下降。

这是对所有层进行监控的重要性的另一个迹象，因为一个行业结构角色的增加（通过重叠程度衡量）通常只归因于一部分层（如分工系数的相应降低所示）。[1] Mantegna，R.N.《金融市场的层级结构》。欧元。物理。J、 B 11193（1999年）。[2] Tumminello，M.、Aste，T.、Di Matteo，T.&Mantegna，R.一种在复杂系统中过滤信息的工具。过程。自然的。阿卡德。Sci。10210421–10426（2005）。[3] Aste，T.，Di Matteo，T.&Hyde，S.T.。双曲面上的复杂网络。Physica A 346，20（2005）。[4] Aste，T.，Di Matteo，T.《关联动力学网络》。Physica A 370156–161（2006）。[5] Aste，T.、Grammatica，R.&Di Matteo，T.。通过曲面上的拓扑嵌入探索复杂网络。物理。修订版。E 86036109（2012年）。[6] Boccaletti，S.、Latora，V.、Moreno，Y.、Chavez，M.&Hwang，D.-U.《复杂网络：结构与动力学》。《物理报告》424175–308（2006）。[7] Massara，G.P.、Di Matteo，T.&Aste，T.《大数据网络过滤：三角最大过滤图》。arXiv预印本arXiv:1505.02445，《复杂网络杂志》（出版）2016（2015）。[8] Barfuss，W.、Massara，G.P.、Di Matteo，T.&Aste，T.《信息过滤网络的简约建模》。arXiv预印本arXiv:1602.07349（2016）。[9] Embrechts，P.、McNeil，A.&Straumann，D.《风险管理中的相关性和依赖性：属性和陷阱》。Dempster，M.等人（编辑），《风险管理：风险价值及其超越》。剑桥大学出版社，剑桥（2001）。[10] Sornette，D.&Andersen，J.。投机金融泡沫的非线性超指数理性模型。内景J.Mod。物理。C 13171–188（2002年）。[11] Kendall，M.G.一种新的等级相关性度量。Biometrika 30，81–93（1938）。[12] 梅斯纳，G。

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