金融系统中的网络估值

如果银行间资产定义的矩阵Aij（t）是DAG的邻接矩阵，Vei（Ei（t））=1，i： 1。图（9）在有限的迭代次数内收敛，2。（8）的解是唯一的。证据我们将来源银行定义为不持有银行间资产的银行，即S={i:Aij=0，j} ，如果银行同业拆借矩阵是DAG，则为非空集。然后，我们根据与源库集S的最大图距离来划分库，分区为{Sd}dmaxd=0。从初始条件M开始，银行在零次迭代中收敛到其账面价值a，因为它们的权益不依赖于任何其他银行的权益（也不依赖于它们自己的）。中的银行在一次迭代中收敛，因为它们的权益仅取决于S中银行的权益。通过归纳，Sdmaxconverge中的银行在Dmax中收敛。从初始条件开始，mbanks在一次迭代中收敛到其账面价值，因为Picard迭代算法在一次迭代中准确地校正了其股票的价值。因此，Φ（dmax）（M）=Φ（dmax+1）（M），因此所有银行收敛到Emin=Emaxin（最多）dmax+1次迭代。命题4.1（Eisenberg和No e）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Eisenberg和Noe（2001）中引入的映射Φ的解之间存在一对一的对应关系。证据如前所述，在EN中，估值发生在到期时，t=t。在（i）有限责任、（ii）债务优先于权益、（iii）按比例还款的假设下，计算清算支付向量p*（T）whos e组件p*i（T）是银行i向其合作伙伴支付的总金额。

为了符合其注释，我们还引入了义务向量“p（T）”，定义为“pi（T）=Lei（T）+PjLij（T），这是i银行的总负债。Eisenberg和Noe（2001）表明：*i（T）=最小值ei（T）+XjLji（T）p*j（T）(R)pj（T），(R)pi（T）, （A.1）式中，ei（T）=Aei（T）。等式（A.1）c可等效改写为：p*i（T）=pi（T）Ei（p*（T））≥0+[Ei（p*（T））+π（T）]+Ei（p*（T））<0，（A.2a），其中EI（p（T））=Aei（T）- Lei（T）+XjAij（T）pj（T）(R)pj（T）-XjLij（T）。（A.2b）通过选择命题4.1的假设中的估值函数，上述方程等价于（5）。事实上，当Ej（T）>0时，j银行的现金流足以支付其到期款项，因此p（T）=p*（T）。相反，当Ej（T）<0时，j银行利用其剩余资产[Ej（T）+pj（T）]+尽可能按比例偿还其债权人。命题4.2（罗杰斯和维拉特）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+（α- β） Aej（T）(R)pj（T）+βEj（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Rogers和Veraart（2013）介绍的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。证据这个证明完全类似于命题4的证明。1、与（A.2a）类似，作为权益函数的付款如下所示：p*i（T）=pi（T）Ei（p*（T））≥0+小时（α- β） Aei（T）+β（Ei（p*（T）+π（T）+iEi（p*（T））<0。提案4.3（补充）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=Ej（t）≥0+REj（t）<0，i、 j，在（8）的解和Fur fine（2003）中引入的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。证据

根据最终算法，非负资产的交易对手始终能够全额偿还其债务，而如果其债务为负，则只会偿还其中的一小部分。这正是命题4.3 ac c中的估价函数的含义。命题4.4（线性债务等级）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=最小值E+j（t）Mj（t），1, i、 j，在（8）的最大解和Bardocia等人（2015）介绍的递归映射（DebtRank的线性版本）的解之间存在一对一的对应关系。证据证明对应关系的最简单方法是从M（t）开始，计算迭代映射（9）的增量变化，在这种情况下，迭代映射为：E（k+1）i（t）- E（k）i（t）=PjAij（t）E（k）j（t）+-E（k-1） j（t）+Mj（t），对于所有i.从M（t）werecover（7）inBardosc ia et al.（2015）开始Picard迭代算法，其中M（t）用E（0）表示。一旦Bardocia等人（2015年）的迭代图中j组的权益变为零，它将不再变化，这与上文得出的增量变化一致。提案5.1。在接近到期日的限额内，即→ T，银行间估值函数（15）收敛于EN的银行间估值函数（命题4.1）。证据首先我们注意到→ 外部资产的变化进入zer o，概率接近1，因此从（14）我们得到pDj（Ej（T））→Ej（T）<0且ρj（Ej（T））→Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，命题很容易从中得出。