金融系统中的网络估值

值得注意的是，理论3。2表明，如果估价的起点是索赔的boo k值，则可获得最大t解，从而提供了一个明确的规定，即使存在多个解，也可进行估价。从实践的角度来看，理解算法何时可以在有限的迭代次数中终止可能很重要。这些结果通常被证明是特定模型的特殊结果，这意味着它们对估值函数的显式函数形式做出了假设（Hain和Fischer，2015）。相反，我们表明，无论银行间估值函数的函数形式如何，这种结果都适用于银行间负债网络的特定拓扑，即DAG（有向无环图）。该结果特别相关的一个具体应用是曝光压缩（D\'Errico和Roukny，2018）。事实上，尽管在实践中很少实现完美的压缩，但用于压缩expo-Sure的技术最终会将任何银行间网络转换为DAG。提案3.1（DAG）。如果银行间资产定义的矩阵Aij（t）是DAG的邻接矩阵，Vei（Ei（t））=1，i： 1。图（9）在有限的迭代次数内收敛，2。（8）的解是唯一的。然而，inSchuldenzucker等人（2019年）表明，在存在信用违约掉期的情况下，可能存在多种解决方案，或者根本没有解决方案。4、与现有传染病模型的关系我们现在通过提供一些相关示例，强调第2节中概述的框架的一般性。更具体地说，我们表明，文献中熟知的四种不同模型可以作为特殊情况加以涵盖。

在下文中，我们用x>0表示与条件x>0定义的集合相关的指标函数，并用（x）+x的正部分表示，即（x）+=（x+| x |）/2。命题4.1（Eisenberg和No e）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Eisenberg和Noe（2001）中引入的映射Φ的解之间存在一对一的对应关系。根据附录（A.1）中的证明，意味着i银行收到j银行总付款的一小部分Lij（T）/（Lej（T）+PiLji（T）），这意味着外部负债和银行间负债具有相同的优先级。从（A.2b）中，我们可以看出，权益是在支付了外部和银行间负债之后剩下的，因此它比这两种负债都少。命题4.2（罗杰斯和维拉特）。如果t=t和：1。Vei（Ei（T））=1，i，2。Vij（Ej（T））=Ej（T）≥0个+（α- β） Aej（T）(R)pj（T）+βEj（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0，i、 jPj（T）=Lej（T）+PiLji（T），其中（8）的解与Rogers和Veraart（2013）介绍的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。让我们注意到，除非α=β=1，否则Vijis不是一个连续函数。当一家银行违约时，向其交易对手支付的款项有两笔供款。首先，其外部资产按系数α折现- β。第二，其总资产（Ei（p*（T））+π（T））+按系数β贴现。鉴于总资产是银行间资产和外部资产的总和，将这两个术语相加，即按系数α对外部资产进行贴现，按系数β对银行间资产进行贴现。这意味着，当银行违约时，其外部（银行间）资产将突然经历α的相对损失- 1（β- 1） ，例如，由于有必要在转售中对其进行清算。提案4.3（补充）。

如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=Ej（t）≥0+REj（t）<0，i、 j，在（8）的解和Fur fine（2003）中引入的mapΦ的解之间存在一对一的对应关系。命题4.4（线性债务等级）。如果：1。Vei（Ei（t））=1，i、 2。Vij（Ej（t））=最小值E+j（t）Mj（t），1, i、 j，在（8）的最大解和Bardocia等人（2015）介绍的递归映射（DebtRank的线性版本）的解之间存在一对一的对应关系。在图1中，我们绘制了几个银行间估值函数：EN（见命题4.1）、Fur（见命题4.3）、Linear debortrank（见命题4.4）和事前EN，这将在第5节中介绍。-3.-2.-借款方权益。00.20.40.60.81.0ENFur filinear DREx ante ENFigure 1：作为借款人权益函数的银行间估值函数。参数如下。EN：’p=2，最终：R=1，线性债务等级：M=2.5，事前EN：Ae=1，’p=2，σ=1.5。如前所述，从清算到事前估价，一方面，清算模型允许计算银行在到期时向其交易对手支付的款项。另一方面，通过标准信贷结构模型对公司债务进行到期前评估，允许每个信贷机构只对其直接债务人进行说明，而忽略了债权人和债务人形成复杂互联网络时债务人可能产生的间接影响。本节的目的是说明如何使用第2节中介绍的框架来弥补这一差距。简言之，我们采用了一个清洁模型，我们表明，在第2节规定的意义上，通过计算预期值的事前不确定性，可以得到一个适当的事前估价模型。在这里，我们使用EN模型作为起始清算模型，但原则上也可以使用不同的清算模式L。

正如第2节所预期的那样，外部资产遵循随机过程，因此，银行在到期时的价值面临事前不确定性。为简单起见，为了使符号更清晰，我们还将假设无风险利率是常数且等于零。起点是在t<t时对股票进行估值，就像在任何其他信贷结构模型中一样，即通过将t时股票的预期价值置于唯一鞅测度（EMM）Q之上，以t时的过滤为条件：e（t）=EQ[e（t）| F（t）]。（10） 计算（10）右侧期望值的一种可行方法是进行蒙特卡罗模拟。这是Fischer（2014）提出的方法，Singer等人（20 06b，a）使用了其变体。这就要求：（i）在假设无套利机会和完整市场的情况下，模拟大量唯一EMM的存在。这些是信贷结构模型中的标准假设。在某种程度上，人们可以用市场价值来确定对独特EMM的期望，可以说，以这种方式计算的市场价值包含了关于交易对手在t和t之间违约的l-ikeliho od的信息。我们还注意到，在我们的框架中，权益是资产A和负债L之间的差异，因此可以是负数。另一方面，股票的市场价格应考虑到股东的有限责任，他们不能进入负资产。然而，在到期时，资产和负债之间差异的市场价格可以通过将股票的市场价格之和max（A）得出- 五十、 0）债务最小市价（L，A），减去负债账面价值L。

该论点在到期之前也是有效的，只需将股本和债务价格的有条件预期置于风险中性措施之上。与外部资产相关的随机过程直至成熟的轨迹，（ii）对于每个模拟轨迹，用到期时外部as集的模拟值计算清算方程的解，以及（iii）用解清算方程的股票样本平均值近似预期值。然而，执行这些步骤的可能性取决于一个隐含的假设，即有一个代理人完全了解银行间资产。原因是清算方程的解必须针对大量到期外部资产的潜在变现进行计算，而在时间t时，个别银行并不知道这些变现。事实上，拥有完整信息的代理能够模拟到期外部资产的价值，并且，因为她对银行间资产有充分的了解，也能解所有相应的清除方程。相反，如第2节所述，在我们的方法中，每家银行只知道自己的银行间资产。我们通过插入命题4中的赋值函数来启动t。对于气缸组i，1到（10）：Ei（t）=等式[Aei（t）| F（t）]- EQ[Lei（T）| F（T）]+nXj=1EQ[Aij（T）V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]-nXj=1EQ[Lij（T）| F（T）]。（11） 因为负债不是n-随机的，我们有等式[Lei（T）| F（T）]=Lei（T）和等式[Lij（T）| F（T）]=Lij（T）。由于无风险利率等于zer o，负债的账面价值不需要在时间t贴现，这意味着Lei（t）=Lei（t）和Lij（t）=Lij（t）。这两种考虑也适用于银行间资产，这意味着EQ[Aij（T）V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]=Aij（T）EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]。关于外部资产，根据E MM的定义，我们的等式[Aei（T）| F（T）]=Aei（T）。等式。

（11） 现在显示：Ei（t）=Aei（t）- Lei（t）+nXj=1Aij（t）EQ[V（EN）ij（Ej（t））| F（t）]-nXj=1Lij（t）。（12） 现在剩下的任务是计算（12）右侧的第三项，即V（EN）ij的预计值：EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]=EQ“Ej（T）≥0个+Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0F（t）#。（13） 当估值形成时，银行i必须在时间t计算（13）中的预期值。总之，我们注意到j银行本身可能有债务人。这意味着，对于外部资产随机过程的固定实现，Ej（T）可能取决于j的银行间资产的价值，i不知道这些价值。此外，j的债务人可能有债务人自己（等等），这意味着Ej（T）原则上可能取决于所有银行间资产。因此，当计算（13）中的预期值时，bank i将需要进行n近似。我们认为，银行由于不了解债务人的债务人，因此将债务人权益的变化归因于其外部资产的变化，即（T）≈ E（t）+Ae（t）- Ae（t）。这意味着（13）中的预期值成为Aj（T）分布的预期值，Aj（T）是到期的外部资产，条件是Aj（T）是时间T的（观察到的）外部资产。此外，在计算预期值后，（13）的右侧将是Ej（T）的显式函数。因此，（12）将具有（5）的相同结构，即如果等式[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]是可行的估价函数，我们将有一个exante估价模型。因此，第3节中的所有结果都将适用。定理3.1和3.2将确保存在一个最大解（因此对所有银行都是最优的），并且可以使用Picard迭代算法（9）以任意精度计算该解。

事实上，（13）的右边是估值函数的期望值，它的值介于0和1之间，因此它也将介于z e ro a和o ne之间。类似地，（13）的右手侧是Ej（T）的非递减函数的预期值，但由于Ej（T）≈ Ej（t）+Aej（t）- Aej（t），也是Ej（t）的非递减函数的期望值。因此，（13）右侧的elf将是Ej（t）的非递减函数。通常，连续性属性将取决于度量Q。稍后将讨论一个具体示例，其中（13）的右侧是连续的，henceEQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]是一个估值函数。在我们对这种估值函数进行显式计算之前，有一些观察是有序的。我们强调，该近似值并不意味着j的债务人（或其他银行）对i没有任何影响。事实上，j的债务人的影响在Ej（t）的等式中进行了说明，当计算（13）的固定点时，Ej（t）的等式将输入Ei（t）的等式。在实践中，当（13）迭代求解时，算法的第一步将把可怕的通货膨胀因素的影响纳入股票。第二步将考虑债务人对债务人的影响，等等。另一种解释近似值的方法是，假设银行对银行间资产的估值是独立的风险中性。事实上，如果AIJ是唯一的非零银行间资产，则近似值将是准确的，因为Ej（T）将仅依赖于Aej（T）。

从这个意义上讲，BANKI将计算银行间资产的风险净价值，就好像不存在其他信贷合同一样。通过定义Ae≡ Ae（T）- Ae（t）并引入以下简称：pDj（Ej（t））=1- 均衡器Ej（T）≥0 | F（t）= 均衡器Ej（T）<0 | F（T） EQhAej公司<-Ej（t）| Aej（t）i（14a）和：ρj（Ej（t））=等式“Ej（T）+pj（T）–pj（T）+Ej（T）<0F（t）# 均衡器Ej（t）+Aej+(R)pj（t）(R)pj（t）-(R)pj（t）-Ej（t）≤Aej公司<-Ej（t）| Aej（t）,（14b）我们可以用更简洁的形式重写（13）：EQ[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）] 1.- pDj（Ej（t））+ρj（Ej（t））。（15） 从（14a）的第二行可以看出，根据定义，pDj（Ej（t））是指j银行到期违约的概率。类似地，从m（14b）可以看出ρj（Ej（t））是一个内生恢复率。事实上，当Ej（T）<0时，Ej（T）+pj（T）等于j的总资产，这小于其负债。因此，ρj（Ej（t））等于当j违约时，到期日j\'sassets的（有条件的）预期价值除以其总负债，即债权人预计可以收回的银行间资产部分的（有条件的）预期价值。从（15）中我们可以看出，估值函数可以被视为对两值概率分布的预期：如果债务人j在到期时没有违约，我将全额收回其银行间资产，而如果j违约，我将收回内生回收率。因此，（15）可以解释为，如果银行间负债的账面价值不变，我们就得到了‘pj（T）=‘pj（T）。Bardo scia et al.（2016）（见其中的（7））和Bardocia et al.（2017）（见补充方法中的（2））对估值机制的内生美国回收率进行了概括，其中回收率是外生的。最后，当我们接近成熟时，（15）中的估值函数接近命题4中的EN估值函数。1、提案5.1。

在接近到期日的限额内，即→ T，银行间估值函数（15）收敛于EN的银行间估值函数（命题4.1）。5.1。几何布朗运动的事前估值我们现在在（14）中明确计算违约概率和内生回收率，假设外部资产遵循独立的几何布朗运动：dAei（s）=uiAei（s）ds+σiAei（s）dWi（s）s∈ [t，t]，i.（16）的概率密度函数Aeiin测量值Q为：p(Aei）=p2π（T- t） σi(Aei+Aei（t））e-“日志1+AeiAei（t）+σi（T-t） #2σi（t-t） 。（17） 从（14）我们得到：pDj（Ej（t））=“1+erf”log（1- Ej（t）/Aej（t））+σj（t- t） /2p2（t- t） σj##Ej（t）<Aej（t）（18a）ρj（Ej（t））=1+Ej（t）–pj（t）pDj（Ej（t））- pDj（Ej（t）+pj（t））+Aej（t）2'pjcj（Ej（t））（18b）带CJ（Ej（t））=- er f“σj（T- t） /2个- 日志1.- Ej（t）/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）- erf“σj（T- t） /2+对数1.- Ej（t）/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）+erf“σj（t- t） /2+对数1.- （Ej（t）+pj（t））/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）-“pj（t）+erf”σj（t- t） /2个- 日志1.- （Ej（t）+pj（t））/Aej（t）p2（T- t） σj#Ej（t）<Aej（t）-(R)pj（t）。通过将（18）插入（15），很容易证明等式[V（EN）ij（Ej（T））| F（T）]实际上是Ej（T）的一个连续函数（从上到下），因此是一个可行的估值函数。5.2。压力测试：Merton vs network Valuation作为概念证明，我们在一个由a、B、C三家银行组成的小型金融系统上进行压力测试。我们选择了一个简单的环形拓扑结构→ B→ C→ A具有以下参数：Ae（t）=1.5Le（t）=0.5A（t）=0 0.8 00 0 0.80.8 0 0, （19） 因此，这三家银行的股权账面价值都等于一。总杠杆率，定义为总资产与权益账面价值之间的比率，范围为10.8至2.3。

我们的压力测试包括对所有银行的外部资产施加外部冲击，导致相关的货币贬值，即α因子，即Aei（t）→ （1）- α） Aei（t）。BANKI外部资产的变化，衡量为冲击前的外部资产与冲击后的外部资产之间的差异Aei=αAei（t）。使用（5）我们可以很容易地计算权益中的相应变量，也可以测量为冲击前权益（即其账面价值）和冲击后权益之间的差异：Ei=αAei（t）+PjAij（t）1.- Vij（E*j（t））. 净贡献可量化为系统总损失减去外部冲击直接造成的损失：PiEi公司- Aei=PijAij（t）1.- Vij（E*j（t））, 它可以通过其最大值PijAij（t）：Pi方便地标准化Ei公司- AeiPijAij（t）=PijAij（t）1.- Vij（E*j（t））皮贾伊（t）。（20） 在图2的左面板中，我们展示了数量（20）作为外部资产α级异源冲击函数的行为，对于几个估值函数。对于Fur fine，我们采用外生回收率R=0，而对于ex-Pre EN，我们采用（16）和外部资产波动率σi（T- t） =0.5，适用于所有银行。有趣的是，我们可以看到，事前EN的网络贡献总是比EN大。我们指出，这种行为与图1中所示的行为并不相反，图1中的银行间估值函数比非常小的股票价值（对应非常大的冲击）的事前银行间估值函数小。事实上，在图e1中，为固定外部资产Ae（t）计算了事前银行间估值函数。