金融系统中的网络估值

我在时间t进行银行间资产估值时使用的变量和参数列表。我们称之为Vijinterbank估值函数，在此阶段，它只是银行间资产估值与其账面价值之间的比率。由于i的银行间估值功能的目的是说明i债务人的cr可编辑性，因此我们可以证明Oi（t）包括关于他们的信息。Oi（t）的变量和参数的精确列表将取决于特定的估值模型，但在所有情况下，这些都是确定性的，因为它们在时间t时由i观察到。此外，我们注意到，总体而言，在此之前，我们使用Aei（t）表示的是在时间t时实现i银行外部资产的随机过程的符号有点滥用，对于s>t，我们用Aei（s）表示与时间s时银行i的外部资产相对应的随机变量。Vijdepe的形式在i和j上都明确表示。这反映了不同的银行可以使用不同的模型对其银行间资产进行集合估值，并且一家银行可以使用不同的模型对不同的银行间资产进行估值。同样，银行也对其外部资产进行估值。在本例中，我们编写：Aei（t）Vei（Oei（t））。（3） 类似地，Oei（t）是信息，即i在时间t和we c all Vei执行外部资产估值时使用的变量和参数列表，即外部资产估值与其账面价值、外部估值函数之间的比率。例如，外部估值功能可用于核算外部资产出售所隐含的损失。

让我们想象一下，s银行将以一定的杠杆率为目标，每当偏离目标时，他们都会通过以低于市场价格出售外部资产的方式去杠杆化（inGreenwood et al.（2015）描述了一种类似的机制）；Battiston等人（2016a）；Cont和Schaanning（2017））。然后，外部估值函数将被解释为出售外部资产时的折扣。该贴现系数将取决于i银行的杠杆率和其他数量，例如市场价格和外部资产的流动性，这将是EI（t）的一部分。此外，在此情况下，Oei（t）的变量和参数部分的精确列表将取决于特定的估值模型，但类似于Oi（t），这些都是确定性的。银行不会对其负债进行估值。这一假设的基本原理是，银行不得基于自身的信誉或其债权人的信誉对其负债进行贴现。这与预计贷方将试图向债务人全额偿还其贷款的预期是一致的。通过将资产账面价值替换为（1）中的资产估值，我们获得了银行i的股权估值（以下简称：Ei（t）=Aei（t）Vei（Oei（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（Oi（t））-nXj=1Lij（t）。（4） 我们假设，对于所有银行而言，银行间资产和负债的总账面价值以及t时外部资产和负债的账面价值都是公开信息。例如，在每个季度t，这些价值可以从银行的财务账户中提取。然而，银行间资产（因此也包括银行间负债）的个别价值不是公开的，并且是两个参与交易的交易对手所知的。在我们的框架中，这确实是唯一一条私人信息。

我们认为，股票也是公共信息的一部分，它包含了资产估值。例如，如果银行将其需求估值告知其交易对手，就会发生这种情况。在下文中，我们明确强调估值函数对股票的依赖性，将其写为Vei（E（t）| Oe′i（t））和Vij（E（t）| O′i（t）），其中eOe′i（t）和O′i（t）是i在时间t分别用于对股票以外的外部和银行间资产进行估值的变量和参数列表。通常，Oi（t）=O′i（t）∪ {E（t）}和Oei（t）=Oei′i（t）∪ {E（t）}。这允许我们将（4）重写为：Ei（t）=Aei（t）Vei（E（t）| Oe′i（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（E（t）| O′i（t））-nXj=1Lij（t）。（5） （5）右侧的第三项说明了i对其直接交易对手的银行间资产估值。然而，通过联名求解（5），我们不仅可以计算出i银行在t时的银行间资产总账面价值等于Jaij（t），而且银行间负债的总账面价值等于Jaij（t）。直接交易对手的影响，以及交易对手的交易对手产生的真正网络影响，等等。在fa c t中，i的交易对手的（5）类似物包括对其自身直接交易对手（i的间接交易对手）的银行间资产估值。因此，所有i的（5）联合解决方案有效地考虑了所有间接交易对手的银行间资产估值。当t<t时，s银行进行适当的事前估价。外部资产遵循随机过程，因此其到期（账面）价值在时间t未知。反过来，这会对银行的到期偿付能力产生不确定性。

直观地说，银行间资产的估值（通过估值函数）包含了债权人对其债务人在到期时能够履行其义务的可能性的估计，从而产生了这种不确定性。公式（5）在t=t时也有效，即如果银行在到期时进行估值。在这种情况下，外部资产的（账面）价值没有不确定性。尽管如此，信贷机构在实际收到债务人的付款之前，仍然不能完全确定其银行间资产的价值。其直接债务人是否能够交付此类款项，可能取决于其债务人的债务人是否能够交付款项。在这种情况下，我们的框架与一种设定相一致，即估值发生在付款到期时，但在付款交付之前。然后，银行间估值功能将纳入信贷机构对其债务人支付款项可能性的估计。从这个意义上讲，（5）的联合解决方案相当于清算银行之间的付款。在本节中，我们将介绍估值函数的精确定义，这将使我们能够验证无论其具体函数形式如何都适用的一般结果。得出的这些结果将不依赖于任何进一步的假设。在第5节中，我们将推导一组特定的估值函数，并详细讨论其经济意义。正如预期的那样，银行用于进行估值的信息取决于特定的估值模型。例如，对于第5节中推导的银行间估值函数，O′i（t）将包括i的交易对手的外部资产a t时间t、其波动性和到期距离t- t、 原则上，估值函数可以依赖于所有银行的股权，但在几乎所有的例子中，我们将使它们对股权的依赖变得更加简单。

因为根据定义，外部资产独立于任何特定国家，因此在大多数情况下，外部估值功能将仅取决于执行估值的银行的权益，即（3）将读取VEI（Ei（t）| Oe′i（t））。类似地，由于银行间估值函数旨在捕捉银行间资产的信贷风险，因此银行间估值函数将仅取决于债务人的权益，即（2）将重新调整（Ej（t）| O′i（t））。然而，我们在第3节中证明的结果适用于估值函数依赖于任何子银行股权的更一般情况。这激发了以下定义。定义2.1。给定一个整数q≤ n、 a功能V：Rq→ [0，1]被称为可行赋值函数，当且仅当：1。这是不减损的：E≤ E′=>V（E）≤V（E′），E、 E′∈ Rq2。从上面看是连续的。第一个观察结果是，可行的估值函数取0到1之间的值。这与（2）和（3）相结合，对应于假设银行间资产和外部资产的价值不能超过其账面价值。这对于银行间资产来说是显而易见的，因为债权人预计收回的金额不能超过合同的账面价值。如前所述，外部估值功能将允许我们建模因零售而产生的破产成本。从这个角度来看，这一假设与银行不能期望通过出售非流动资产获利的事实是一致的。第二个观察结果是，可行的估值函数是非递减的。

对于银行间资产，这对应于假设信贷合同是非特定的，即一家银行的银行间资产估值不能因为另一家银行的权益（例如其债务人的权益）减少而增加。我们已经提到，在第ns4节和第5节中考虑的所有情况下，银行间估值功能仅取决于债务人的权益。在这些特殊情况下，我们还有limEj（t）→+∞Vij（Ej（t）| O′i（t））=1。这一点很简单，即当j银行的权益非常大时，i银行将j银行视为c银行，即相应的银行间资产按账面价值计算。然而，定义2并未明确要求该属性。1事实上，第3节中的结果是不必要的。在这种情况下，可以解释表达式Aij（t）[1- Vij（Ej（t）| O′i（t））]作为CVA损失。事实上，这是i银行间资产对j的账面价值与其包含j信贷价值信息的估值之间的差异。实际上，当银行间估值函数等于1时，它等于零，对应于不需要应用信用估值调整的情况。对于外部资产，这意味着其价值无法通过持有该资产的银行（或任何其他银行）的股本减少而提高。上述连续性假设主要是技术性的，允许我们处理不连续估值函数的合并情况。事实上，我们将介绍的大多数估值函数都是连续的（即从上到下）。估值函数的不连续性对应于股票价值发生微小变化后资产估值的大幅跃升。

例如，让我们想象一下这样一种情况，即银行间估值函数捕捉到了一种极其简单的情况，即只要债务人拥有正权益，债权人就以账面价值作为银行间资产的集合，而其他情况下，他们则将银行间资产视为一文不值。当一个债务人的权益完全等于零，即该债务人的资产和负债完全相等时，债权人该怎么办？ab ove的连续性意味着在这种情况下，债权人仍应以账面价值获取银行间资产。由于所有估值函数都取区间[0，1]中的值，因此所有股票Ei（t）的上下边界如下：mi（t）≡ -Lei（t）-nXj=1Lij（t）≤ Ei（t）≤ Mi（t）。（6） 通过引入以下映射：Φ：ni=1[米（t），米（t）]→Ni=1[mi（t），mi（t）]（7a）Φ=（Φ，…，Φn）（7b）Φi（E（t））=Aei（t）Vei（E（t）| Oe′i（t））- Lei（t）+nXj=1Aij（t）Vij（E（t）| O′i（t））-nXj=1Lij（t），（7c）方程（5）的集合可以用紧凑的形式重写：E（t）=Φ（E（t））。（8） 因此，执行估值减少到求解E（t）的F点方程。在固定点计算的估值函数可以解释为网络调整贴现。这种非投机合同的概念类似于Schuldenzucker等人（2019）提出的概念，并在Banerjee和Feinstein（2019）中进一步扩展。因素。贴现系数的通常概念反映了一个事实，即资产的现值不同于其未来价值。估值函数还考虑了直接交易对手风险和网络效应，这两种效应在固定点完全纳入估值。为了实现一个一致的网络，即银行间债权的调整估值，有必要证明（8）的解的存在性。主要结果我们现在概述了适用于一般估值函数的最一般结果。

证据见附录。定理3.1（最大和最小解的存在性）。如果映射Φ中的所有赋值函数取[0，1]中的值且不递减，则方程组（8）允许最大解max（t）和最小解Emin（t）。上述结果表明，解集是非空的，对于任何解E*（t） ，埃米尼（t）≤ E*i（t）≤ Emaxi（t），对于所有i.在解决方案集中，最伟大的解决方案是所有银行最理想的结果，因为它同时将个人和总损失降至最低。相反，最小的解决方案对应于最坏的情况，因为它同时最大化了个人和总损失。让我们明确地注意到，每个解决方案*（t） of（8）对应于迭代映射的固定点E（k+1）（t）=Φ（E（k）（t）），（9），反之亦然。等式（9）定义了Picard迭代算法，在pr inc中，iple提供了一种以任意精度计算解的方法，如下所示。从任意E（0）（t）开始迭代映射并不保证可以得到解Emax（t）或Emin（t）。事实上，根据选择的起点，可以找到（8）的不同溶液。此外，一些解可能是不稳定的，在某种意义上说，尽管不能满足（8），但为Picard迭代算法选择一个任意接近（但不等于）此类解的起点，可能会导致迭代映射收敛到（8）的另一个解。求最小和最大解的问题这个问题通过以下两个定理来解决。定理3.2（收敛到最大解）。如果映射Φ中的所有赋值函数都是可行的，并且如果E（0）（t）=M（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调非递增的：K≥ 0，E（k+1）（t）≤ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t） ，3。

E∞（t） 是（8）和毛皮thermore E的溶液∞（t） =Emax（t）。理论3。2表明，如果迭代的起点是E（0）（t）=M（t），这对应于以账面价值获取所有资产，则迭代映射（9）收敛到最大解max（t）。orem 3.2保证，对于所有大于0的K，存在K（），因此对于所有K>K（），我们有| | E（K）（t）- Emax（t）| |<。换句话说，一旦选择了精度，从股票账面价值M（t）开始，经过有限次迭代后，icard算法提供的等式（9）在精度范围内无法与最大解区分。然而，K（）并非先验知识，在每个时间步，必须检查是否已达到所需的精度。经过必要的修改，可以证明：定理3.3（收敛到最小解）。如果映射中的所有赋值函数Φtakevalues在[0，1]中是非递减的，并且从下面开始是连续的，并且如果E（0）（t）=m（t），则：1。序列{E（k）（t）}是单调的非递减：K≥ 0，E（k+1）（t）≥ E（k）（t），2。序列{E（k）（t）}收敛：limk→∞E（k）（t）=E∞（t） ，3。E∞（t） 是（8）和毛皮thermore E的溶液∞（t） =Emin（t）。与定理3之后证明的考虑类似。2在这种情况下也成立，这意味着Theorem 3.3提供了在最坏情况下计算股票的直观方法。Takentogether，理论3。2和3.3中，提供了一种简单的算法方法，以检查当估值函数连续时（从上到下），在数值精度范围内（8）的解是否唯一。现在让我们把这些结果放在现有文献的背景下。

为了证明解决方案的存在性，Suzuki（2002）和Fis cher（2014）利用了Brouwer-Schauder不动点定理，该定理要求企业支付的款项是所有企业支付款项的连续函数。连续性假设不允许计入违约成本。然而，inSuzuki（2002）和Fischer（2014），迭代映射不需要是单调的，允许对一些具有特定函数形式的竞争进行建模。由于Brouwer-Schauder不动点定理没有给出任何关于解空间结构的信息（例如，存在最大和最小解），因此必须有唯一的解。为了证明唯一性，Suzuki（2002）和Fischer（2014）提出了另一个假设，即所有权矩阵（类似于我们的银行间资产矩阵）是严格的亚随机矩阵，这意味着对于任何给定级别的债务交叉持股，每家公司都必须同时持有具有相同优先级的外债。继Eisenberg和Noe（2001）（参见alsoGlasserman和Young（2016）），我们使用了Knas ter Tarski固定点定理，该定理要求估值函数是单调的，防止了导数的直接建模，并且不必连续。因此，违约成本和类似机制可以很容易地在我们的框架中得到调节（见第4节）。通过Knaster-Tarski不动点定理，我们不仅证明了解的存在性，而且还证明了最大解和最小解的存在性。