验证简单模型的复制技巧

F（n）=E[锌]，（n）之间的关系b∈ C） 对于fsnj和G（n）=E[锌]，（n∈ Z） 对于complexplane上的FJN。F（n）6=G（n），（n 6∈ Z） ，则不适用解析延拓。如果副本解析延拓适用于所考虑的系统，则根据等式（2）的副本技巧，可以准确地分析配分函数的对数E[对数Z]。我们将minereplica分析延拓应用于物理或统计模型，可以对FSNJ和FJNS方法进行评估，以便比较这两种方法的结果。我们选择了不需要应用热力学极限的模型，这样我们就可以单独测试副本分析延拓的准确性，作为我们关注副本技巧的目标的一部分。注意，以前的几项工作都使用了G（n）=E[锌]，（n∈ Z） ，对于这一点，准确估计E[对数Z]很重要，因此我们需要考虑n在0附近的精度。然而，我们并不试图一致地评估配分函数对数的期望值，因为我们主要感兴趣的是副本分析连续性问题，它不限于n=0的邻域。三、 简单示例a。具有瑞利分布的经典谐振子模型首先，我们通过应用经典谐振子模型的著名分析模型来讨论复制解析连续性是否成立。经典谐振子模型的哈密顿量H（p，q）定义为（p，q）=p2m+mωq，（5）其中p和q分别是谐振子的动量和位置，m是粒子的质量，ω是谐波发生器的角频率。配分函数Z的求解如下：Z=hZ∞-∞dpdqe-βH（p，q）=~βω，（6），使用狄拉克常数~=h2π。

由于该模型的性质函数分析性强，易于计算，因此适合讨论复型解析连续体的数学结构。我们假设模拟振动现象的谐波纤毛器的a角频率ω具有瑞利分布：P（ω）=ωe-ωω>00，否则。（7） 由此可知，FSNJ案例∈ C可以直接分析。Z的第n个元素，F（n）=E[锌]，是衍生酶[锌]=Z∞dωP（ω）~βωn个=-n（~β）nΓ1.-N. （8） 注意，以下伽马函数Γ（s）=R∞dtts-1e级-t、 （s）∈ C） 在我们的讨论中经常使用[30-32]。它是一个亚纯函数，在原点和负整数处有一个极点，因此使用Gamma函数描述ifF（n）=E[Zn]，然后我们将省略n∈ 在关于复型解析延拓的讨论中，它与伽马极点有关。对于FJNS cas e，由于我们可以对积分阶进行变异，因此Z的n阶矩，G（n）=e[Zn]，计算为ase[Zn]=hnZ∞dωP（ω）Z∞-∞nYa=1dpadqaexp-β2mnXa=1pa-βmωnXa=1qa=hn公司2πmβ新西兰∞-∞nYa=1dqa1+βmPna=1qa=2πhβ新西兰∞-∞nYa=1dra1+Pna=1ra=2πhβn2πnΓNZ∞dRRn公司-11+R.（9）此外，我们还替换了identityZ∞dRRn公司-11+R=2Zπdθtann-1θ=Bn、 1个-N=ΓNΓ1.-NΓn+1-N, （10） 转化为等式（9），给出[Zn]=-n～nβnΓ1.-N, （11） 其中ra=qa√βm，R=Pna=1raand B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）。此外，关于积分域D=（r，···，rn）| Pna=1ra<A, 从相同的积分zdnya=1drafnXa=1ra=2πnΓN扎德尔恩-1f（R），（12）R，···，rn的n维积分可以重写为n维超球体积积分。由此，我们发现F（n）=E[锌]，（n∈ C） 在式（8）中，由FSNJ导出的公式与G（n）=E[锌]，（n）一致∈Z） FJNS在公式（11）中。也就是说，验证了经典谐振子的重复分析延拓。B

具有正高斯分布的经典谐振子模型与我们对经典谐振子的讨论类似，我们现在讨论角频率ω从正态分布Pσ（ω）得出的情况，定义asPσ（ω）=(√2πσe-ω2σω>00，否则。（13） 对于FSNJ，当n∈ C、 Z的n次幂的表达式F（n）=e[Zn]，可以直接评估：e[Zn]=Z∞dωPσ（ω）~βωn个=-n（~βσ）n√πΓ1.- N. （14） 对于FJNS，当n∈ Z、 由于我们可以置换整数阶，G（n）=E[Zn]被评估为asE[Zn]=hn2πmβ新西兰∞-∞nYa=1dqaZ∞dω√2πσe-ω（σ+βmPna=1qa）=（2π）n（hβσ）nZ∞-∞nYa=1drap1+Pna=1ra=（2π）n（hβσ）n2πnΓNZ∞dRRn公司-1.√1+R=（2π）n（hβσ）nπnΓNBn、 1个- N=-n（~βσ）n√πΓ1.- N. （15） 因为F（n）=E[锌]，（n∈ C） 式（14）中，由fsnj导出，G（n）=E[锌]，（n∈ Z） Fjnsar的公式（15）也一致，在该模型中验证了副本分析连续性，其中公式。（15） ra=qa√βm，R=Pna=1ra，B（p，q）=Γ（p）Γ（q）Γ（p+q）和等式（12）。C、 具有ChiDistribution的经典谐振子模型我们还考虑了eω以χ分布Pχ（ω）分布，自由度s定义ASPχ（ω）的情况=ωs-1秒-2Γ（s）e-ωω>00，否则。（16） 对于FSNJ，当n∈ C、 F（n）=E[锌]，计算为sE[锌]=Z∞dωPχ（ω）~βωn个=-n（~β）nΓs-NΓs. （17） 对于FJNS，当n∈ Z、 G（n）=E[Zn]计算为asE[Zn]=hn2πmβ新西兰∞-∞nYa=1dqaZ∞dωωs-1秒-2ΓsE-ω（1+βmPna=1qa）=（2π）n（hβ）nZ∞-∞nYa=1dra（1+Pna=1ra）s=（2π）n（hβ）n2πnΓNZ∞dRRn公司-1（1+R）秒=-n（~β）nΓNBn、 s- N=-n（~β）nΓs-NΓs. （18） F（n）=E[锌]，（n∈ C） 在由FSNJ分析的式（17）中，与G（n）=E【Zn】，（n）一致∈ Z） 在FJNS分析的式（18）中，因为这些描述与n 6一致∈ Z、 因此，复制解析延拓可能在该模型中成立。注：该模型包括作为特例的第III A和III B小节中的模型。D

指数分布的量子谐振子模型副本解析延拓满足的模型不限于经典谐振子模型。这里，我们讨论另一种常用的分析模型，量子谐振子模型。量子谐振子模型的哈密顿量H（k）定义为asH（k）=~ωk级+, （19） 其中k是量子数，ω是正角频率。在玻色子的情况下，k=0，1，2，3，·········································································································································=∞Xk=0e-βH（k）=e-~βω1- E-~βω。（20） 此外，假设角频率ω以指数分布Pu（ω）：Pu（ω）分布=ue-ωuω>00，否则。（21）对于FSNJ，当n∈ C、 F（n）=E[锌]iseva luated asE[锌]=Z∞dωPu（ω）e-n~βω（1- E-~βω）n=~βuZdttn+~βu-1（1- t） 1个-N-1=~βuBn+~βu，1- N, （22）其中t=e-~使用βω。对于FJNS，当n∈ Z、 G（n）=E【Zn】计算为asE【Zn】=∞X ~ k=0Z∞dωPu（ω）e-~βωPna=1（ka+）=∞X ~ k=0 ~βu~βu+n+Pna=1ka=∞Xm=0 ~βu（~βu+n+m）N- 1+毫米=~βuΓ（n）Z∞dsZ公司∞duun公司-1e级-s（n+~βu）-u+ue-s=~βuZdttn+~βu-1（1- t） 1个-N-1=~βuBn+~βu，1- N, （23）式中~k=（k，k，···，kn）T∈ 使用Zn和Kroneckerdeltaδ（c，d）。进一步的∞X ~ k=0δm，nXa=1ka=N- 1+毫米, （24）和t=e-sare已雇用。由此，F（n）=E[锌]，（n∈ C） FSNJ分析的式（22）与G（n）=E[锌]，（n）一致∈ Z） 在FJNS计算的公式（23）中，表明复制分析连续性在该模型中成立。E、 随机场伊辛模型在本小节中，用伊辛模型作为等效表示，讨论了费米量子谐振子，费米子，k=0，1。为方便起见，我们在此接受伊辛模型，其哈密顿量为定义的灰分（S）=-hS，（25），其中S（=±1）表示伊辛自旋，h表示外部磁场。

然后，当Z=XS=±1e时，很容易估计配分函数Z-βH（S）=2 coshβH.（26）此外，假设外部磁场H呈高斯分布，平均u和方差σ，Pu，σ（H）：Pu，σ（H）=e-（h）-u）2σ√2πσ。（27）那么，对于FSNJ，在n的情况下∈ C、 F（n）=E[锌]溶解为asE[锌]=Z∞-∞dhPu，σ（h）（2 coshβh）n=Z∞-∞Dx（2 cosh（βu+βσx））n，（28），其中Dx=Dx√2πe-xis已雇用。对于FJNS，当n∈ Z、 G（n）=E[Zn]由asE[Zn]=X ~ S导出∈{±1}新西兰∞-∞dhPu，σ（h）eβhPna=1Sa=X ~ S∈{±1}nexpβunXa=1Sa+βσnXa=1Sa！=nXm=0eβu（2m-n） +βσ（2m-n）纳米=Z∞-∞Dxe公司-nβu-nβσx（1+e2βu+2βσx）n=Z∞-∞Dx（2 cosh（βu+βσx））n，（29），其中~S=（S，S，··，Sn）T∈ {±1}为us ed，旋转P~S∈{±1}n表示~S的整个构造上的和。此外，R∞-∞Dxeθx=eθ和x~S∈{±1}nδ2m- n、 nXa=1Sa=纳米, 使用（30）。根据式（28）和式（29），F（n）=E[锌]，（n∈ C） 对于FSNJ和G（n）=E[锌]，（n∈ Z） 因为FJN是等效的，这表明副本analyticcontinuation适用于此模型。F、 近地引力势能在这一小节中，我们使用统计物理中不常用的经典物理模型，即近地引力势能，来讨论复型解析延拓是否成立。对于g，重力加速度，哈密顿量H（x）由位置x，mgx处粒子的势能（其质量m）定义，其中原点的势能为0:H（x）=mgx。（31）这里我们考虑这个模型的正则系综，其范围是非负实数集。此模型Z的分区函数计算为Z=hZ∞dxe公司-βH（x）=Hβmg。（32）此处假设质量m随形状参数τ的伽马分布随机分布∈ R、 Pτ（m）：Pτ（m）=（mτ-1e级-mΓ（τ）m>00，否则。

（33）对于FSNJ，在n的情况下，使用此分布∈ C、 F（n）=E[Zn]的解为asE[Zn]=Z∞dmPτ（m）hβgmn=（hβg）nΓ（τ- n） Γ（τ）。（34）对于FJNS，当n∈ Z、 G（n）=E[Zn]描述为asE[Zn]=hnZ∞nYa=1dxaZ∞dmPτ（m）e-βmgPna=1xa=（hβg）nZ∞nYa=1dra（1+Pna=1ra）τ，（35），其中使用ra=βGxa。此外，当k>1时，Z∞dr（α+r）k=（k- 1） αk-获得1，（36）。利用这个公式，我们可以递归地解g（n）asE[Zn]=（hβg）n（τ- 1） （τ）-2） ···（τ）- l） Z∞N-lYa=1dra1+Pn-la=1raτ-l=（hβg）n（τ- 1） （τ）-2） ···（τ）- n） =（hβg）nΓ（τ- n） Γ（τ）。（37）F（n）=E[锌]，（n∈ C） 式（34）中，通过fsnj分析d，G（n）=E[锌]，（n∈ Z） 在等式（37）中，FJNS分析的结果是一致的，因此在该模型中可以保证副本分析的延续性。G、 卡方分布矩在本小节中，我们讨论了副本分析连续性是否适用于HY sics中未使用的模型，即随机变量Z以自由度为0的χ分布分布，Pχ（m）（Z）：Pχ（m）（Z）=（mΓ（m）Zm-1e级-ZZ>00，否则，（38）其中，此χ分布的Z是m个随机变量s，x，·····，xm的平方之和，它们是从标准归一化分布中独立且相同地得出的，即Z=Pmi=1xi。我们认为平方之和Z=Pmi=1xit是配分函数。对于FSNJ，由于Z的分布是已知的，也就是说，当n∈ C、 F（n）=E[锌]，根据[锌]=Z计算∞dZPχ（m）（Z）Zn=nΓm+nΓM. （39）对于FJNS，因为Z是由依赖于心智且相同分布的变量之和构成的，即Z=Pmi=1xi，当n∈ Z、 G（n）=E[Zn]展开基[Zn]=Z∞-∞mYi=1DximXi=1xi！n=Z∞-∞mYi=1DxinX ~ k=0n！Qmi=1ki！mYi=1x2kiiδn，mXi=1ki！=2nn！nX～k=0δn，mXi=1ki！mYi=1Γki公司+ΓΓ（ki+1），（40），其中~k=（k，···，km）T∈ {0，1，2，····，n}曼兹∞-∞Dxx2k=kΓΓk级+, 使用（41）。我们可以验证Eq。

（39）和式（4 0）通过数学归纳法一致。为方便起见，等式（39）和等式（40）的右侧重写为sF（m，n）=nΓm+nΓM, （42）G（m，n）=2nn！nX～k=0δn，mXi=1ki！mYi=1Γki公司+ΓΓ（ki+1）。（43）当m=1时，对于任何n∈ Z、 F（1，n）=nΓn个+Γ, （44）G（1，n）=2nn！nXk=0δ（n，k）Γk级+ΓΓ（k+1）=2nn！Γn个+ΓΓ（n+1）=2nΓn个+Γ. （45）这表明F（1，n）=G（1，n）成立。接下来，我们设置f（s，t）=tΓs+tΓs, （46）G（s，t）=2tt！tX ~ k=0δt，sXi=1ki！sYi=1Γki公司+ΓΓ（ki+1），（47），并假设F（s，t）=G（s，t）在m=s时成立∈ Zfor任何t∈ Z、 那么，当m=s+1时，G（s+1，t）=2tt！tXks+1=0tXks=0tXks-1=0···tXk=0δt，sXi=1ki+ks+1！Γks+1+ΓΓ（ks+1+1）sYi=1Γki公司+ΓΓ（ki+1）=2tt！tXks+1=0Γks+1+ΓΓ（ks+1+1）ks+1-tΓ（t- ks+1+1）T-ks+1（t- ks+1）！T-ks+1Xks=0吨-ks+1Xks-1=0···t-ks+1Xk=0δt- ks+1，sXi=1ki！sYi=1Γki公司+ΓΓ（ki+1））=2tt！tXks+1=0Γks+1+ΓΓ（ks+1+1）ks+1-tΓ（t- ks+1+1）克（s，t- ks+1）。（48）进一步，从数学归纳的假设出发，由于G（s，t- ks+1）=F（s，t- ks+1）保持，我们有g（s+1，t）=2tt！tXks+1=0Γks+1+ΓΓ（ks+1+1）ks+1-tΓ（t- ks+1+1）t-ks+1Γs+t- ks+1Γs=tΓΓstXks+1=0吨！ks+1！（t）- ks+1）！Γks+1+ΓT- ks+1+s=tΓΓstXk=0t！K（t）- k） 哦！Z∞杜克+-1e级-乌兹∞dvvt-k+s-1e级-v=tΓΓsZ∞弟弟-1e级-乌兹∞DVV-1e级-vtXk=0t！K（t）- k） 哦！ukvt公司-k=2tZ∞弟弟-1e级-uΓZ∞DVV-1e级-vΓs（u+v）t.（49）设置u=X和v=Y我们得到（s+1，t）=2tZ∞dxx公司-1e级-xΓZ∞dyys公司-1e级-yΓssx+yt=Z∞dxPχ（1）（x）Z∞dyPχ（s）（y）（x+y）t=Z∞dzPχ（s+1）（z）zt=tΓs+1+tΓs+1= F（s+1，t）。（50）因此，F（s+1，t）=G（s+1，t）成立。注意，我们使用了随机变量x（从1个自由度的χ分布中得出）和随机变量y（从自由度的χ分布中得出）之和的性质，因此z=x+y是用自由度为s+1的χ分布来分布的。

从这个归纳中，验证了F（m，n）=G（m，n）成立。最后，由于这两种描述，F（n）=E[锌]，（n∈ C） 对于FSNJ和g（n）=E[锌]，（n∈ Z） 对于FJN，它们之间也是一致的，我们已经证明了副本解析延拓在这个模型中是成立的。H、 另外，我们还介绍了满足replica分析连续性的其他玩具模型：1。从配分函数Z=R∞-∞式（13）中的Dxexω=eω和Pσ（ω），F（n）=e[Zn]=（1- nσ）-已获得。自xa起~ N（0，1），（a=1，···，N），众所周知，s=σPna=1xA分布为均值为0且方差为Nσ的高斯分布。使用s，我们还可以轻松地分析FJNS的G（n）。2、我们从F分布中考虑一个随机变量Z，自由度为s和t:P（Z）=ssttB（s，t）Zs-2（sZ+t）s+tZ>00 Z≤ 0。（51）那么，F（n）=E[锌]，（n∈ C） 计算如下。E[锌]=tsnΓs+nΓT- NΓsΓT（52）我们可以将随机变量Z视为s个随机变量xk（k=1，····，s）的平方平均值与t个随机变量yl的平方平均值之间的关系，（l=1，···，t），它们也以标准正态分布独立且相同地分布，如下所示：Z=sPsk=1xktPtl=1yl。（53）因此，G（n）也可以使用第三节G.I.讨论和开放问题中的数学归纳法轻松解决。如上所述，在本研究中，我们考察了复制技巧背后的数学基础，即复制分析的两个步骤之一。关于r e plic a分析可靠性的一些担忧是基于对复制技巧准确性的怀疑。

在应用replicaanalysis时，同时使用了副本技巧和ther mody namicallimit，因此很难解决副本分析中的任何不准确之处。因此，我们将复制分析应用于一些不需要应用热力学极限的物理或统计模型，因此我们可以单独测试复制分析延拓的准确性，从而确定复制分析的基础部分。在本文中，虽然由于篇幅的限制，我们只考虑了几个例子，但从模型的结果可以清楚地看出，我们可以应用分析程序FSNJ和FJNS，我们可以评估F（n）=E【Zn】，（n∈ C） G（n）=E[锌]，（n∈ Z） 没有近似，可以验证在这些模型中可以保证副本分析延续。我们注意到，更完整的分析将检验一个计数器样本，以验证数学模型中的复制分析延拓情况，该数学模型可以在没有近似的情况下进行分析。因此，虽然本文中的分析并没有提供副本分析的通用数学证明，但本文中详细介绍的实证示例使我们得出以下猜测：关于副本分析延拓的猜测：对于模型，当F（n）=e[Zn]，（n）时，我们可以在没有近似的情况下评估Fsnj和FJNS方法∈ C） 通过FSNJ程序分析，G（n）=E[锌]，（n∈ Z） 通过FJNS程序分析，当n∈ Z、 F（n）=G（n）始终满足。

此外，G（n）被视为复数n的解析函数，我们假设G（n）也被描述为n w he nn 6的解析函数∈ Z、 那么如果F（n）=G（n），（n 6∈ Z） 保持，则保证此模型的r eplica分析延续。也就是说，鉴于我们研究的积极结果，我们不能期望对副本分析准确性的任何怀疑都不会针对副本分析延拓。因此，先前工作中报告的关于复制分析的任何问题都可能基于复制分析的更复杂方面，特别是当热力学极限和序参数扩展被包括在内时。本文采用了将副本分析分解为其复合组件的方法，允许研究每个组件的数学属性，以澄清副本分析的数学结构。然而，检查组合使用组件的问题也很重要。四、 结论和未来工作在这项工作中，为了探究复形分析有效性问题的根源，我们应用复形解析延拓来分析无需考虑热力学极限的谐振子模型（经典和量子）和伊辛模型，并验证了复形解析延拓的有效性。虽然本文仅处理少数示例，但我们讨论了对于可能解F（n）=E[Zn]，（n∈ C） andG（n）=E[锌]，（n∈ Z） 使用无近似的FSNJ和FJNS方法。虽然在本文中，我们不能对副本分析的有效性提供一个普遍的证明，但我们的目标是建立一个副本分析延拓的猜想。