验证简单模型的复制技巧

我们不讨论热力学极限和序参量展开，尽管这些已经在理论和实践上得到了保证，并且没有特别受到质疑。然而，考虑到更复杂的情况将是困难的【33】，因为即使每种分析技术都可以单独证明，它们在组合时也是复杂的。在未来的工作中，我们需要讨论在没有近似的情况下，使用FSNJ和FJN的多体系统的物理或统计模型的副本解析延拓是否适用。虽然本文考虑了几个正例子，但最好用一般形式证明复型解析延拓猜想。此外，尽管我们使用Gammafunction的多功能特性讨论了副本解析延拓，但其他特殊函数可以进一步支持副本解析延拓的证明。致谢作者感谢Kabashima、T.Tanaka和K.Kobaya shi的有益评论。这项工作得到了24710169号和15K20999号赠款的部分支持；秋田县大学青年科学家校长项目；日本国家信息学会第50号授权书；日本人寿保险协会第5号赠款；经济研究基金会研究所的拨款；京都大学性；Z引擎经济和金融研究基金会第1414号拨款；统计数学研究所2068号赠款；三菱UFJ信托奖学金基金会研究项目；还有gra ntNo。坎波基金会2号。附录A：E[对数Z]的计算这里我们讨论了配分函数E[对数Z]的对数算法的期望值。众所周知，z的伽马函数，Γ（z）=R∞dttz公司-1e级-描述为Γ（z）=ze-γz∞Yk=1kk+z埃兹克。

（A1）使用该描述，伽马函数的loga-rithmo函数对z，ψ（z）的导数=zlogΓ（z）=-γ-z+∞Xk=1K-k+z, （A2）在欧拉常数γ定义为γ=limL时进行简单计算→∞LXk=1k- 日志L！ 0.5772 1。（A3）我们称ψ（z）为digamma函数。特别是z∈ Z、 digamma函数的公式如下：；ψ（z）=- γ+z-1Xk=1k，（A4）ψz+= -γ- 2对数2+zXk=1k-. （A5）其中，ψ（1）=-γ、 （A6）ψ= -γ- 2日志2。（A7）根据这些设置，在每种情况下，配分函数E[对数Z]的对数的期望值如下所示：1。第三节中对数Z的期望值AE[对数Z]=γ-日志2- 对数（~β），（A8）2。第三节中对数Z的期望值BE[对数Z]=γ+对数2- 对数（~βσ），（A9）3。第三节中对数Z的期望值CE【对数Z】=-ψs-日志2- 对数（~β），（A10）4。第三节中对数Z的期望值DE[对数Z]=ψ~βu+ψ1+~βu- ψ（1）=-~βu+∞Xk=1k-k+~βu！，（A11）5。第三节中对数Z的期望值EE[对数Z]=Z∞-∞Dx log 2 cosh（βu+βσx），（A12）6。第三节中对数Z的期望值FE[对数Z]=-对数（hβg）- ψ（τ），（A13）7。第三节中对数Z的期望值GE[对数Z]=对数2+ψM, （A14）8。第三节中第一个示例的对数Z的期望值HE[对数Z]=σ，（A15）9。第三节第二个示例的对数Z的期望值HE[对数Z]=对数+ψs- ψT, （A16）[1]M.M'ezard，G.Parisi，M.A.Virasoro，《自旋玻璃理论及其超越》（世界科学出版社，1987年）。[2] H.Nishimori，《自旋玻璃的统计物理和信息处理》（Ox ford大学出版社，2001年）。[3] M.M\'ezard，A.Montanari，《信息、物理和计算》（牛津大学出版社，2009年）。[4] S.F.Edwards，P.W.Anderson，J.Phys。F、 5965（1975）。[5] D.Sherrington，S.Kirkpatrik，Phys。修订版。允许351792（1975）。[6] S.Kirkpatrik，D.S herrington，Phys。修订版。B、 174384（1978年）。[7] D.J.Amit、H.Gutfreund、H.Sompolinsky、Phys。

修订版。A、 320007（1985）。[8] D.J.Amit、H.Gutfreund、H.Sompolinsky、Phys。修订版。允许551530（1985）。[9] E.Gardner，J.Phys。A、 21257（1988年）。[10] Y.Kabashima，D.Saad，J.Phys。A.37，R1（2004年）。[11] T.Tanaka，IEEE on IT，482888（2002）。[12] S.Ciliberti M.M’ezard，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[13] T.Shinzato，PLoS One，10，e0133846（2015）。[14] M.Kac，未出版。特隆赫姆理论物理研讨会，Nordita Publ。，第286号（1968年）。[15] T-F.F.Lin，J.Math。物理。11584年（1970年）。[16] S.F.Edwards，程序。第四内景形态。小地毯纽约威利279号（1970年）。[17] S.F.Edwards，《聚合物网络：结构和机械性能》，全会出版社，纽约（1971年）。[18] V.J.Emery，物理系。修订版。B、 11239（1975）。[19] D.Jasnow，M.E.Fisher，物理系。修订版。B、 131112（1976）。[20] G.Grinstein，A.Luther，Phys。修订版。B、 1329年（1976年）。【21】T.M.封面，IEEE Trans。电子计算。，14326（1965年）。【22】S.S.Venkatesh，AIP，Conf.Proc。，151、440（1986）。[23]T.Shinzato，Y.Kabashima，J.Phys。A、 41324013（2008年）。【24】J.R.L.Almeida，D.J.Thouless，J.Phys。A、 11983（1978）。【25】G.Parisi，J.Phys。A、 131101（1980）。【26】G.Parisi，J.Phys。A、 13，L115（1980年）。【27】K.Ogure，Y.Kabashima，Prog。理论。物理。，111661（2004年）。[28]K.Ogure，Y.Kabashima，Prog。理论。物理。供应商：。，157、103（2005年）。【29】T.Tanaka，印度。信息。Sci。，13、17（2007年）。[30]E.Artin，《伽马函数》（Dover Publications，2015）。[31]G.E.Andrews、R.Askey、R.Roy，《特殊功能》（剑桥大学出版社，2001年）。【32】N.N.Levedev，《特殊功能及其应用》（Dover Publications，1972）。【33】P.W.Anderson，《科学》，177393（1972）。