验证简单模型的复制技巧

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英文标题：
《Validation of the Replica Trick for Simple Models》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We discuss replica analytic continuation using several simple models in order to prove mathematically the validity of replica analysis, which is used in a wide range of fields related to large scale complex systems. While replica analysis consists of two analytical techniques, the replica trick (or replica analytic continuation) and the thermodynamical limit (and/or order parameter expansion), we focus our study on replica analytic continuation, which is the mathematical basis of the replica trick. We apply replica analysis to solve a variety of analytical models, and examine the properties of replica analytic continuation. Based on the positive results for these models we propose that replica analytic continuation is a robust procedure in replica analysis.
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中文摘要：
为了从数学上证明副本分析的有效性，我们使用几个简单的模型讨论了副本分析延拓，副本分析在与大规模复杂系统相关的广泛领域中得到了应用。虽然副本分析包括两种分析技术，副本技巧（或副本解析延拓）和热力学极限（和/或序参量展开），但我们将重点研究副本解析延拓，这是副本技巧的数学基础。我们应用副本分析来求解各种分析模型，并研究了副本分析延拓的性质。基于这些模型的积极结果，我们提出副本分析延拓是副本分析中一种稳健的过程。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Information Theory        信息论
分类描述：Covers theoretical and experimental aspects of information theory and coding. Includes material in ACM Subject Class E.4 and intersects with H.1.1.
涵盖信息论和编码的理论和实验方面。包括ACM学科类E.4中的材料，并与H.1.1有交集。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Information Theory        信息论
分类描述：math.IT is an alias for cs.IT. Covers theoretical and experimental aspects of information theory and coding.
它是cs.it的别名。涵盖信息论和编码的理论和实验方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Continuation Mathematical Experimental localization Optimization

简单ModelsTa kas-hi-Shinzato复制技巧的验证*Mori Arinori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，东京，1868601，日本。（日期：2017年12月27日）为了从数学上证明副本分析的有效性，我们使用几个简单模型讨论了副本分析延拓，副本分析用于与大规模复杂系统相关的广泛领域。虽然副本分析包括两种分析技术，副本技巧（或replica解析延拓）和热力学极限（和/或序参数表达式），但我们将重点研究副本解析延拓，这是副本技巧的数学基础。我们应用副本分析来求解各种分析模型，并检验副本分析延拓的性质。基于这些模型的积极结果，我们提出副本分析延拓是副本分析中一种稳健的过程。PACS编号：89.90+n、 75.50。LkI。简介副本分析是一种广泛使用的分析方法，用于分析跨学科领域的大型复杂系统。副本分析的应用包括分析无序磁性材料的物理特性、评估神经网络的学习性能、估计信道编码的传输速率以及优化多元化投资的投资风险【1–13】。Replicaanalysis有着悠久的历史，在多个研究领域已经被发现（并被发现）[14-20]。在副本分析方面的一项开创性工作中，Edwards等人研究了无序磁性材料（通常称为自旋玻璃）的奇异性质。他们首先推导并使用复型分析来检查自旋玻璃的物理特性。

基于Ruderma–Kittel–Kasuya–Yoshida相互作用可以模拟定域自旋之间的双体相互作用的观察，他们假设定域自旋之间的双体相互作用可以随机分配，并且可以用来分析自旋玻璃的奇异物理性质。随后，Sherrington等人通过应用mea-field近似将该自旋玻璃模型发展为完全连接的自旋玻璃模型，因为众所周知，基于平均场近似的解是最严格的[5，6]。最近，复型分析在分析自旋玻璃的物理性质方面取得了成功，它已被应用于其他大型复杂系统的数学结构和数学模拟。例如，为了分析神经网络的学习性能，Amit等人将副本分析应用于关联存储模型，研究了调用存储记忆的机制，并评估了关联存储模式l的学习能力[7，8]。此外，Gardner还研究了perceptro n（最简单的神经网络之一）的学习性能*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.jpmodels，使用副本分析，发现它与Cover等人先前工作中基于组合数学的结论一致。[9，21，22]。作为对通信技术传输速率的fan评估的一部分，Kabashima等人使用稀疏连接自旋玻璃模型来解决二进制线性低密度奇偶校验码（LDPC）的解码问题，并使用replicaanalysis确保其线性码的通信性能接近香农限值[10]。

此外，Tanaka使用po-steriorprobability作为感知机学习的一种类型，来解决第三代无线通信技术码分多址（CDMA）的后验边际估计问题的最大化问题，并使用副本分析分析CDM的误码率和信道容量【11】。为了评估多元化投资的风险，Ciliberti等人利用重复分析法剖析了绝对偏差模型和预期短缺模型在z e ro温度极限下的最小投资风险【12】。在随后的一项工作中，Shinzato证明了均值-方差模型的最小投资风险和投资集中度可以通过使用复制分析的自平均特性和切诺效应不等式来满足[13]。复制分析包括两个主要步骤，复制特技操作和热力学极限的应用。虽然之前的几项工作已经验证了复制分析的有效性，但在我们自己使用复制技巧的过程中，为了便于分析，我们使用了一种计算技术，将假定为bean整数的数字替换为实数或复数，以实现极限运算，因此复制分析并不总是在数学上得到保证。考虑到这一点，我们将replica分析和其他方法（如Markovchain-Monte-Car-lo法和最速下降法）估计的结果进行了比较，发现副本分析的有效性得到了部分验证[23]。然而，在以前的一些工作中，出现了关于负熵和自由能序参量展开的凸性的问题。

为了解决这些问题，replicaanalysis的结果通过第一步（或全步）replicasymmetry breaking解决方案或Almeida–Thouless分析进行了验证，该方法可以提供部分fix，但无需验证replicaanalysis的普遍可靠性【1、2、24–26】。针对这些影响，O gure等人利用复分析对gr和正则离散随机能量模型的分区函数的复幂进行了分析评估，然后比较了从复分析中获得的溶液、顺磁溶液、铁磁溶液、，和第一个复对称破缺解（自旋玻璃解）[27，28]。此外，他们还导出了由配分函数的n阶矩组成的三个解在n=nc时不是解析解的情况∈ （0，1）（n称为复制数），并使用数值模拟验证其结果。此外，田中利用矩问题的框架重新安排了副本分析中隐含的问题，研究了矩问题的几个反例，并总结了分配函数的分布是由分配函数的矩序列唯一确定的有效条件【29】。以前的工作表明，我们需要分析大规模复杂系统中的亥姆霍兹自由能，以便对系统进行猝灭分析。我们讨论了亥姆霍兹能量分析中配分函数对数期望的数学基础。副本分析中有争议的问题之一是，假设对于整数副本数，存在对实数或复数的分析延续，因为这对于接近0的副本数并不总是有效的。

为了从数学上验证副本分析的可靠性，我们需要通过模型来检验副本分析的数学结构，这些模型可以应用于两种不同的方法，以类似于Ogure等人在本研究中讨论的论点的方式来分析参比函数的n阶矩，作为解决副本分析有效性和严格解释副本分析结果的第一步，我们将两种不同的分析方法分开，（1）r eplica trickand（2）热力学极限（和/或orde r参数展开），并将我们的研究重点放在第一种技术上，即复叠技巧，或等效地复制分析延续。简单地说，我们在这篇文章中的目标是通过检验复型分析连续体来讨论复型分析的性质。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍replicaanalysis、replica trick和replica analysis continuation的分析技术，并讨论两个不同变量的积分顺序的重要性。在第三节中，我们使用几个简单的模型测试了副本解析延拓，并提出了一个关于副本解析延拓的猜想。最后一节是对未来工作的总结和计划。二、从复制技巧到复制分析连续体a。

为什么我们需要副本分析？基于对无序磁性材料模型的几项研究，该模型由爱德华兹-安德森模式l和谢灵顿-柯克帕特ik模型[4，5]表示；神经网络模型，由跳场模型和感知器模型表示[7-9]；信道编码模型，由LDPCand CDMA表示[10，11]；投资组合优化问题由均值-方差模型和绝对偏差模型[12，13]表示，众所周知，我们可以通过评估系统的亥姆霍兹自由能F=-βlog Z或其期望值E【F】=-βE【log Z】，其中β是逆温度，Z是配分函数。在一些淬火无序系统的分析中，副本分析被建设性地用于评估亥姆霍兹自由能的期望值。然而，复制分析中使用的几种方法的有效性在理论上没有得到保证。为此，通过比较复制分析和其他方法（如马尔可夫链蒙特卡罗方法和最速下降方法）得到的结果，我们可以部分验证复制分析的有效性。在这项工作中，作为确认副本分析有效性的第一步，我们研究了副本技巧，这是构成副本分析的两种分析方法之一。B、 复制技巧一般来说，复制技巧包括以下任意正随机变量Z的恒等式，log Z=limn→0Zn- 1n。

（1） 如果随机变量Z为正且其概率密度函数P（Z）已知，则使用复型trickand和Z的n次方期望值，E[Zn]=R∞dZP（Z）Zn，Z的对数的期望，E[对数Z]=R∞dZP（Z）log Z，估计如下：E[log Z]=limn→0E[锌]-1nnlog E[锌]nlog E【Zn】，（2）其中右侧的三个术语相互一致，可以使用L\'H^opital规则轻松确认。E[Zn]中的n是副本编号。然而，等式（2）的一个必要条件是n必须是实数或复数。换句话说，n的结果∈ Z被视为n∈ R和/或n∈ C、 然而，对于副本编号的分析延续，这一假设的有效性并不总是得到保证。应该注意的是，一般来说，如果我们可以在复制数为实数或复数的情况下无需近似而准确地估计E[Zn]，那么我们可以使用公式（2）来评估E[log Z]，因此我们不限于分析淬火无序系统。在此情况下，等式（2）的复制技巧的有效性毫无疑问。我们认为，假设n中的结果为[Zn]∈ Z可用热力学极限求解，并将亥姆霍兹自由能展开到序参量上，其近似值可视为E[Zn]in n的结果∈ R或n∈ C是副本分析中歧义的基础。C、 两种类型的积分评估在淬火无序系统的分析中，以自旋玻璃理论中的Sherrington–Kirkpatrick模型和联想记忆中的Hop场模型为代表，通过分析亥姆霍兹自由能F=-βlog Z，E[F]=-βE【log Z】，我们可以评估系统的典型行为。为了计算自由能的平均值，我们使用了方程的复变技巧。

（2） 并分析计算公式（2）右侧的分配函数的n次幂函数E【Zn】。这需要计算分区函数内部变量S和分区函数外部变量J的两个不同整数。这里，我们考虑e[Zn]和n两个积分的顺序之间的关系。我们首先考虑程序First-S-next-J（以下简称FSNJ），在评估[Zn]时，首先执行配分函数S的热力学变量或内部变量的积分或和，然后是配分函数J的配置变量或外部变量的积分或和（或期望值）。也就是说，对于fsnj，Zn的期望值E[Zn]如下：E[Zn]=XJP（J）XSe-βH（S，J）！n、 （3）其中H（S，J）是系统的哈密顿量，Z=PSe-βH（S，J）是逆温度β的正则代数的配分函数，pjandpsaretheintegrals或sum分别在整个Jand S配置上，P（J）描述了外部变量J的概率函数。由于首先实现了关于内部变量S的积分和，我们允许将等式（3）中的副本数n视为实数或复数。在alter nate程序FIRST-J-next-S（FJNS）中，首先实现分区函数外部变量的积分或和，然后是内部变量的积分或和。that is，E[Zn]=XSXS···XSnXJP（J）E-βPna=1H（Sa，J）！。（4） 我们首先根据外部变量J评估等式（4），然后根据内部变量S、···、Sn评估等式（4）。

FJNS的直观优势在于，对于任何A，B>0的情况，因子展开（A+B）2.1可以用有限级数展开来描述，而（A+B）<（A+B）2.1<（A+B）成立，也就是说，因为当幂数为整数时，（A+B）被描述为有限序列展开，我们可以评估（A+B）=A+2AB+带（A+B）=A+3AB+3AB+带的每个项，然后使用一种从（A+B）和（A+B）的结果得出的假定位方法来近似评估（A+B）2.1。这种方法的最大特点是，如果近似的精度降低，亥姆霍兹自由能序参量展开可能出现负熵和/或凸性，从而使人们对r eplica分析的准确性产生怀疑。D、 复型解析连续体的公式我们将FSNJ导出的配分函数的n次方的表达式设为F（n）=E[Zn]，（n∈ C） FJNS为G（n）=E[锌]，（n∈ Z） ，如图1所示。根据公式（4），当n∈ ZR要求更改两个积分的顺序。如果我们把G（n）看作是关于n的解析函数，并且假设当n为6时，G（n）也可以被描述为n的解析函数∈ Z、 那么F（n）=G（n）在n的情况下始终保持不变∈ Z、 然后我们可以提出，这个系统演示了复制解析延拓。相反，对于F（n）=G（n），（n∈ Z） andF（n）6=G（n），（n 6∈ Z） ，系统不满足replica解析延拓。例如，当n∈ C、 F（n）=E[Zn]=An+Bn+C+D sin（2πn）（其中D 6=0）或n∈ Z、 G（n）=E[锌]=An+Bn+C，因为tn=0 n=2 n=4n=1 n=3 n=5t t t tn∈ CF3.5+5√-1.= EhZ3。5+5√-1iG（4）=E[Z]N∈ ZFIG公司。1.