金融市场中的价差、波动性和交易量关系，以及

（12） 采用以下形式： 和（15） 有鉴于此，可以通过以下方式获得高价格和低价格：   和（16a）   （16b）  （16c）10个矩阵元素 然后参数化价格运算符，以包括波动：    （17a）    （17b）  （17c）其中,  和. 在这种设置中，中间价格、棒材高度和最后价格由方程式给出   （18a） （18b）  （18c）在每一步中，下一个中间价取一个围绕最后一个价格正态分布的值。高电平和低电平取值  高于或低于中等价格。然后，最后一个价格取一个随机值，该值均匀分布在高水平和低水平之间。可由模型生成的价格表，Eqs。（18a-c）如图4所示。价格波动性（指最后的价格）是相等的 （19） 在哪里 是一个系数，对应于  在等式（18c）中，我们使用了符号 对于. 与其将钢筋视为价格无法延伸的刚性边界，不如将其视为中间价附近最后一个价格的特征分布宽度。例如，该分布可以是正态分布，其标准偏差为钢筋高度的一半：  （20） 在这种情况下，波动性是：不同时间尺度的高低区间内的交易统计数据可能不同，这将导致不同的.

例如，交易在买入或卖出水平执行，但不在中间，但随着时间范围的上升，交易在高-低区间的中间变得更加频繁，在边缘变得稀少。 （21）图4。耦合波模型生成的价格图。在每一步中，下一个中间价取一个正态分布在最后一个价格周围的值。高水平和低水平取中间价格上方和下方的等距值。然后，最后一个价格取一个随机值，该值均匀分布在高水平和低水平之间。等式（18b）描述的条形图表现为量子混沌量[2]，其统计数据与观察到的统计数据在bid-ask微观水平和条形图数据水平上都非常匹配，见图。5a，5b。图5a。根据AAPL和AMZN的bid ask数据校准耦合波模型，[2]0204060801010200 20 40 60 80 100倍高低价AAPLAMZN12图5b。耦合波模型对AAPL和AMZN条形数据的校正[2]概率振幅的演化 由方程【1,2】描述：（22）或以开放形式 （23a） （23b）此处 是时间维度的常数。对于常系数，该方程组具有以下解，通过模型参数表示, , 和 [2] :   （24a）  （24b）由于事实上是系数sijsfluctuate，因此必须在小时间步内应用数值解，在此期间，价格运算符元素sijs可以视为常数。AAPLAMZN13扩展耦合波模型的一般关系包含三个不确定性维度：（a）中间价格的不确定性，公式（18a），（b）钢筋尺寸的不确定性，公式（18a）。

（18b），以及价格在该条范围内的不确定性，等式（18c）。前两个要素随着时间的推移而累积，而价格的不确定性从一开始就存在。利差必须涵盖清算期间的这些风险. 根据风险厌恶程度对这些风险组成部分进行缩放，我们可以将利差组成（25）在这种情况下 . 初始不确定性为 上下，随着时间的推移, 它会累积 再加半个吧. 准确地说，我们应该使用不同的 对于初始条和后续条，但出于我们的目的，我们将使用特征值。最终，我们（26）让我们将所有成分与可观测量联系起来。平方根下的第二项是与有限清算时间导致的价格不确定性相关的熟悉元素。这基本上是买方交易者为了获得即时流动性而必须支付的价格。我们可以称之为流动性价格。条形图尺寸 确定等式中的振荡频率。（24a，b）。振荡周期相当于平均事务时间的两倍, 证券在一个完整的周期内来回转移。因此，我们必须（27）因此：（28）注意到  是指交易中每股交易的金额，我们得出的结论是 表示资金流，并描述资金流对价格的影响程度。我们将其称为影响价格。14以内,  参数  与“高”和“低”级别之间的证券转移相关，以及参数  与转移的强度相关。这可以通过方程的直接建模来验证。（24a，b）和变化, 特别是使用组合,  和, . 组合等式。

（5、26、28），我们得到了价差的最终结果：  （29）我们可以用一种更简单的无量纲格式来建立这个方程： （30）其中, ,  , 和. 式（30）将扩散与微观结构参数联系起来，比式（6）更一般。我们看到，传播可以有两种具有不同特征行为的制度。当体积很小时, 流动性价格贡献优于影响价格贡献，价差表现出已经熟悉的行为：. 这一制度如图6a所示，在图6a中，我们可以看到增加交易流量如何减少价差并有助于提高价格。只要数量不足以影响价格，这是有效的。什么时候,  因此，执行订单的现金价值大于流动性价格，这些订单开始影响价格计量，价差开始随交易量线性增长：. 该状态如图6b所示。（a） （b）图6。流动性价格和影响价格之间的相互作用：（a）影响很小，增加更多的流动性可以提高价格的准确性，（b）影响太大，会损害价格。流动性价格影响价格流动性价格影响价格15由于公式（30）的函数形式，最小价差和价格不确定性， 未达到零。在以下位置达到最小值：, 其最小值等于. 对于每个排列 有两个值 与之相对应。价差的时间标度如果交易台根据某个时间标度报价并希望更改为另一个时间标度，会发生什么情况。

不同时间尺度的高低条之间的关系是什么？我们如何从买卖价差过渡到条形图，或在不同时间尺度的条形图之间过渡？如果我们在不同的时间尺度上以相同的风险规避进行报价，我们只需使用等式（25）中与该时间尺度相关的波动率，并将其添加到初始不确定性中，由初始条表示： （31）其中索引现在表示参考时间，以及. 表达 通过参考时间相关参数, 我们得到   （32）特别是， 与买卖价差相关  通过：   （33）这与我们在其他工作【1】（其中等式（43））中获得的结果一致。方程式通过以下替换相互映射：一些交易台进行基于勾号的报价，这与市场事件有关，而另一些交易台进行基于条形的报价，在一定时间后刷新报价。但即使是基于条形图的报价人也需要这种转换，因为他们通常会随机化自己的时间范围。16   图中显示了2016年3月16日观察到的一些经校准为平均日内分钟条形图的利差曲线和平均日条形图。（7a和7b）。图7a。股票代码LULU的平均1分钟日内（左）和日（右）条校准利差曲线图7b。

股票代码AMZN0的价差曲线校准为1分钟的日内（左）和日（右）条形。0%0.2%0.4%0.6%0.8%1.0%~20 40 60传播时间（min）LULUHigh lowδ（T）0%10%20%30%40%~20 40 60传播时间（d）LULUHigh lowδ（T）0.0%0.2%0.4%0.6%0.8%1.0%~20 40 60传播时间（min）AMZNHigh lowδ（T）0%10%20%30%~20 40 60传播时间（d）AMZNHigh lowδ（T）17根据时间平方根的经典理论波动率标度与经典理论的比较：（34）这意味着可以通过缩短测量时间无限期地提高价格准确性。正如引言部分所讨论的，这在实际市场中是不正确的，等式（33）不允许这样做。只有在长时间范围内，波动性才占主导地位，初始利差的影响消失，从而导致规则的平方根行为：（35）为了直观地看到差异，我们可以取露露股票的价差曲线。如果用等式（35）将1分钟的高低条向前缩放到60分钟，结果将为0.55%，这大约比实际值低35%。图8：。通过公式（32）获得的“量子”扩展曲线与通过时间标度平方根获得的经典扩展曲线的比较。严格来说，这与回报的波动性有关。然而，自回归以来 , 对于此处讨论的小价格偏差，关系是相同的。0.0%0.2%0.4%0.6%0.8%1.0%-20 40 60展宽时间（min）LULUHigh-low-Sqrt缩放18包括体积公式（32）的缩放定律可包括展宽随体积的变化。从等式开始。

（25）从买卖价差过渡到固定的条形时间, 我们得到：    （36）通过体积表示，我们得到：   （37）注意到, 哪里 只是高低条中间价格变化的波动性 是具有以下维度的统一体, 我们有   （38）或无量纲格式：（39）我们发现，高低条对交易量的依赖与买卖价差完全不同。不像 这个 术语 不依赖于体积，并且 现在有一个 在大时间范围内盛行的行为。不像, 其中有一个最小值， 从其最小值开始 而且只会随着体积的增大而增大。差异可在图（9）中看到，图中显示了特性 和 行为19图9。（a）买卖价差和（b）高低条之间行为的定性差异。风险规避水平方程。（29和38）提供了一个很好的参考，但尚未给出扩散建模的最终答案。一个原因是，对于不同时间尺度的数据，高低区间内的交易统计数据可能不同，这将导致不同的 式（19）中。例如，交易在买入或卖出水平执行，但不在价差内。在分钟的时间尺度上，相同的交易可以更均匀地分布在高水平和低水平之间。最后，在日常数据中，交易通常发生在高低区间的中心，而不是边缘。时间尺度之间的转换必须包括 具有时间刻度。另一点是，风险厌恶程度取决于许多因素。例如，做市商通常会要求在较小的时间范围内比在较大的时间范围内报价更高的溢价。

此外，他们通常会在开盘时设定更大的价差，因为他们不确定市场对价格的共识。一旦达成共识，他们将随后降低息差。做市商还将在接近尾盘时增加利差，以便为更长的持有时间（直到开盘）或减少隔夜持仓的机会做好准备。尽管这些细节可能很复杂，但它们最终只是各种形式的风险。它们影响系数 和, 使他们对 V.考虑到这一点，我们可以写出调整后的方程式：0.00%0.02%0.04%0.06%0.08%0.10%0 100000 200000 300000 400000 500000体积读条 （40）  （41）尽管如此 和 很小，因为最重要的变化参数已经计算出来。钢筋高度 作为的函数 和 由曲面表示，该曲面可用于根据市场数据校准模型。图10：。为AMZN铺设表面。使用是很自然的 和 作为控制参数，允许测量执行率。下一节将建立两者之间的数字连接。以市场数据为例的连接图。11-13目前的价差量数据基于买卖价差、AMZN和LULU的1分钟日内高低条和每日高低条。扩散体积曲线对应于90%的执行率水平。通过获取价差与体积的散点图，将其拆分为体积桶，并计算每个桶价差的90%。的值120040060080010000.0%2.0%4.0%6.0%8.0%10.0%12.0%时间（min）δ体积（#/min）21和 直接从交易流量数据中测量。

之后剩下的只是选择 和校准 和. 为了更容易判断统计显著性，我们使用额外的纵轴用交易频率补充主图。该模型适用于每日高低数据。买卖和1分钟高低数据变得更加复杂。人们可以注意到，该模型在LULU上的效果比在AMZN上更好。这是因为耦合波模型假设每一步只有两个价格水平，而露露的价格水平比AMZN要明显得多。从交易频率数据中可以明显看出这一点，因此，用两级系统更好地逼近露露。为了更准确地描述AMZN，必须使用多层次模型。我们还可以看到，1分钟的高低条不是从有限值开始的，而是从几乎为零的值开始增长的（在这方面，每天的条很好）。这就是已经提到的贸易统计数据从价差到酒吧变化的影响发挥作用的地方。最好的出价和要价比超出它们的价值更容易实现。价差内的交易呈M形分布，而1分钟条形图中的统计数据更为平滑。图11：。基于LULU和AMZN的买卖价差的价差交易量曲线。行对应执行率（ER）90%。直方图表示交易频率。0%10%20%30%40%50%0.00%0.01%0.02%0.03%0.04%0.5000-10000-15000-20000-25000贸易频率BID-ask-spreadVolume（#/分钟）LULUT-Frequency-Spread（90%ER）δ0%10%20%30%0.00%0.02%0.04%0.06%0 10000-20000-30000-40000贸易频率BID-ask-spreadVolume（#/分钟）AMZNT-Frequency-Spread（90%ER）δ22图12。基于LULU和AMZN的1分钟高低条分布容积曲线。行对应执行率（ER）90%。直方图表示交易频率。图13：。基于LULU和AMZN的每日高低条分布容积曲线。行对应执行率（ER）90%。

直方图表示交易量的频率。4、功能依赖下的利差控制与做市商利润优化  我们现在可以处理传播控制和优化问题。做市商的损益表由两个主要部分组成：差价收入和库存损益。差价收入来自执行买卖订单和保持差价。存货损益是做市商账簿上的存货在买入和卖出之间按市值计价的结果。0%10%20%30%40%50%0.00%0.05%0.10%0.15%0.20%0 5000 10000 15000 20000 25000贸易频率巴高度（#/分钟）LULUBucket巴高度（90%ER）δ0%10%20%30%0.0%0.1%0.2%0 10000 20000 30000 40000贸易频率巴高度（90%ER）δ0%10%20%30%40%2%4%6%8 10Trade frequencyBar heightVolume（mln#/天）LULUT frequencyBar（90%ER）δ0%10%20%30%40%0%2%4%6%8%0.5 1015Trade frequencyBar heightVolume（mln#/day）AMZNT freq Bar（90%ER）δ23由于做市商基本上对价格方向下注，按市值计价通常会产生亏损。虽然库存损益是一个极为重要的组成部分，可能会严重扭曲净损益状况，但它与差价收入有着本质上的不同，企业有各种不同的处理方法。在这里，我们将重点关注差价收入部分。如果做市商以执行率执行买卖报价 在成交量交易的证券上, 那么做市商的营业额是. 执行成本和回扣 通常与营业额成比例，所以如果报价价差, 每次往返的收入为 . 该期间的利差损益等于 （42）这里 是的函数, 系数0.5反映了证券必须买卖的事实。结果曲线的示例如图14所示。