为有效计算一揽子期权价格而平滑收益

[34]，这是一个典型的低差异序列。应该注意的是，QMC方法的现代应用，特别是在金融领域，已经从上文提到的经典的、确定性的低差异序列中移开。相反，通常使用随机序列，这既提供了经典QMC的收敛速度，又提供了MC方法提供的简单而准确的误差控制。我们再次参考[10]了解一般概况，参考[27]了解具体的财务应用。C.拜耳、M.SIEBENMORGEN和R.TEMPONEreview。虽然总体上非常重要，但我们在这项工作中完全忽略了错误控制的问题，而是将重点放在“原始性能”上。2.2。自适应稀疏网格求积。稀疏网格求积的构造基于一维求积规则的序列（参见[7，33]）。因此，我们定义了函数f:R→ R求积规则（9）ZRf（x）φ（x）dx≈ Qj（f）=NjXi=1w（j）如果η（j）i, 新泽西州∈ N、 j=0，1。具有合适的正交点和权重nη（j）i，w（j）ioNji=1 R×R。通常，求积规则的序列在增加（即，N<N<…）第一个求积规则仅使用一个求积点和权重（即N=1）。根据序列{Qj}j，weintrodu ce微分求积算子（10）j： =Qj- Qj公司-1，其中Q-1： =0。假设序列{Qjf}jconverge，即zrf（x）φ（x）dx=limn→∞Qnf=limn→∞nXj=0jf。这意味着{|jf |}jc趋近于零，因此求积算子差的重要性在j中衰减。

不幸的是，这种衰减不一定是单调的，但它建立了自适应稀疏网格构造的基本思想。使用差异四元运算符jat hand，积分问题（7）的广义稀疏网格求积由（11）ZRdf（x）φd（x）dx定义≈Xα∈我αf：=Xα∈我α α ··· 容许指数集I的αdf Nd。如果这样的索引集I保持j=1，…，则称其为可容许的，n和非it多指数ejthatα∈ 我==> α- ej公司∈ I如果αj>0。从（10）和（11）中可以看出，广义稀疏网格四元结构是由一系列单变量质量规则{Qj}和一个可容许的索引集I唯一确定的。索引集I可以事先选择，例如（12）I=α∈ Nd:nXi=1αi≤ Q它对应于级别q上的总度稀疏网格。另一个选项是自适应扩展索引集I。在这种情况下，选择了n个初始索引集，大多数情况下I={（0，…，0）}。然后，用局部误差估计器估计稀疏网格四元函数相对于I的积分误差，然后，将局部误差估计器最大的指数与I相加，直到全局误差估计器η达到一定的容差。我们表示指数α的局部误差估计∈ I根据gα和f，我们使用相关差分四次真公式的绝对值（即gα：=|αf |）。当然，我们必须保证算法不违反I的容许条件。[17]中提供了该方法的详细描述。在此，我们回顾[17]中的算法，并解释最重要的步骤。平滑回报以有效计算篮子期权价格7算法1函数fα的自适应稀疏网格求积← （0。

，0）//α：与局部误差估计量gαO相关的指数←  // O： 旧索引集A← α//A：活动索引集← αf//y：积分η值的近似值← gα//η：全局误差估计器，而（η>TOL）从最大gαA的A中选择α← A \\αO← O∪ αη← η-（k=1，…，d）doβ的gα← α+ekif（β- 均衡器∈ O对于所有q=1，d） thenA公司← A.∪ βx← βfy← y+xη← η+gβend ifend forend whilereturn yIn算法1，将（11）中的指数集I划分为旧指数集O和活动指数集A。活动指数集包含所有指数α，其局部误差估计量gα实际上对全局误差估计量η有贡献。然后，将具有最大局部误差r估计量的A的元素αo从活动索引集中移除并输入到旧索引集中，并且α的子元素ren，即α+ej，被依次添加到活动索引集中，只要它们的所有父元素都属于旧索引集。最后一步是确保受理条件所必需的。然后，更新新指数对积分值以及局部和全局误差估计值的贡献，并重新处理该过程，直到全局误差估计值达到规定的容差。为了阐明A和O的作用，我们注意到在算法（1）α中始终满足以下条件∈ O=> （α- eq）∈ 对于所有q=1。。。，αq>0时的d，这意味着O是允许的，（2）α∈ A.=> （α- eq）∈ O对于所有q=1。。。，αq>0，（3）α时的d∈ A.=> （α+eq）<O对于所有q=1。。。，d、 在图1中，显示了在算法的两个步骤中，当前索引集在d=2d维度中的变化。在第一步中，两个索引都完成了可接受性检查，并添加到活动索引集中。

在第二步中，仅添加索引（3，1），以等待索引（2，2）的可接受性检查失败。我们将使用Ga uss-Hermite和Genz-Keister平方规则（参见[16]）作为1D序列。Gauss-Hermite求积规则对积分的多项式精度最高，如（9）所示，而Genz-Keister规则的优点是它们是嵌套的。更准确地说，Genz-Keister规则是相对低阶GaussHe-rmite求积规则的扩展。作为一点Gauss-Hermite求积we8 C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和r.TEMPONEα1 2 4 5 6α1 2 4 5 6α1 2 4 5 6α1 2 4 5 6旧指数集的第一个扩展，图1为活动指数集。自适应求积的两个步骤，其中α=（0，2）是指数，第一步为最大g（α），第二步为α=（2，1）。使用三点Gauss-Hermite求积。进一步的扩展不符合任何其他Gauss-Hermite求积规则。在本节末尾，我们将图2右侧的2D自适应稀疏网格点可视化，这些点用于TOL=1 0的近似-9在我们的第一个数字示例中。在图2的左侧，我们显示了相关的adaptiveindex集。αα1 24 5-8-6-4-2 0 2 6 8-5-4-3-2-1图2。左侧稀疏网格的索引集I和右侧第一个数值示例中使用的关联稀疏网格点。备注2.1。另一种选择是使用多维容积表ulas；例如，参见[9]。原则上，高阶立方公式也需要被积函数的光滑性，因此我们怀疑这里提出的方法在立方情况下也能很好地工作。这些方法超出了本文的范围。3.

平滑支付在本节中，我们将描述一种平滑（4）中被积函数的简单技术，同时产生一个分析被积函数；o不会引入偏差错误；o减少结果被积函数的方差。为有效计算一揽子期权价格9，我们假设协方差矩阵∑是可逆的（即，正有限对称矩阵）。一般的想法是，我们想把（4）中的一个高斯因子r，条件积分到剩下的d上- 1因素。显然，这种程序的结果是其余因素的平滑函数。然而，一般来说，这个函数没有封闭的公式。其原因是，对于简单的spe c ia l ca，没有闭合公式，请参见eσZ+eσZ- K+对于Z~ N（0，1）和σ，σ。当且仅当σ=σ时，eσZ+eσZ为对数正态分布。在这种情况下，上述表达式是根据Celler-atedBlack-Scholes公式给出的，下面将对其进行审查。事实证明，对高斯因子的协方差矩阵进行适当的因式分解可以使我们分解出一个公共的、独立的对数正态项。这是Lemma 3.1的一个序列。设∑为对称的正定义d×d矩阵。然后是每个v向量∈ Rda诊断矩阵D=诊断λ、 λd，λd和可逆矩阵V∈Rd×d，其性质为Vi，1≡ vi，i=1，d、 和∑=VDV.此外，我们可以选择V的其余列，使λ≥ . . . ≥ λd≥ 0.证明。从[3，p.126]中，我们知道每0，s∈ Rn，排名1的修改（13）~A=A-（As）（As）sa对称正定义矩阵a∈ Rd×dyields对称正半有限矩阵a∈ Rd×dof等级d-让我们表示w ∑-1伏。

那么从（13）中可以得出∑=∑-vv型五、wis是秩d的对称正半有限矩阵- 1、用（λi，vi）表示i=2，d的d- 1对应于d的本征对- 1∑的正特征值。定义V=[V，V，…，vd]，V=V，D=diag（λ，λ，…，λD），λ=（Vw）-1达到预期结果。对于下面的计算，我们从引理3.1中选择向量v作为v=1[1，…，1]. 在下一步中，我们将X替换为Y 五、-1台~ N（0，D），注意Y的成分是独立的。通过将分解X=VY代入（4），我们得到cb=EdXi=1wie（VY）i- K+= EdXi=1wiexpY+dXj=2Vi，jYj- K+= Eh（Y，…，Yd）eY- K+（14） 10 C.拜耳、M.SIEBENMORGEN和R.TEMPONEwith（15）h（y）=h（y，…，yd）dXi=1wiexpdXj=2Vi，jyj,Y （y，…，yd）∈ 研发部-引理3.2（条件期望公式）。LetY=（Y，…，Yd）=（（V-1X），（五）-1X）d）~N0，D, D diag（λ，…，λd）。ThenE公司dXi=1wieXi- K+Y= 哥伦比亚广播公司h（Y）eλ/2，K，λ,式中cbs（S，K，σ） Φ（d）S- Φ（d）K，d1/2σ“对数SK公司±σ#，是r=0的Black-Scholes公式，成熟度T=1。证据作为独立的~ N（0，λ），we aveEh（Y，…，Yd）eY- K+Y=Y= Eh（y）eλZ- K+对于一些Z~ N（0，1）。另一方面，对于r=0和到期日T=1，Black Scholesformu la由CBS（S，K，σ）=E给出Se公司-σ+σZ- K+= Φ（d）S- Φ（d）K，因为ST=Sexp-σT+σBT对于布朗运动，通过比较这些表达式，我们可以看到我们必须选择K=K，σ=λ和S=h（y）eλ。引理3.2直接隐含命题3.3。多元Black-Scholes设定的篮子期权价格满足（16）CB=E哥伦比亚广播公司HpDZ公司eλ/2，K，λ, Z~ N（0，Id）-1） ，pD=diag（λ。

，λd）。在图3的左侧，可以看到平滑前（4）中被积函数的可视化，而图3的右侧显示了（16）中相应的平滑被积函数。如前所述，当矩阵V的第一列V·，1是一般d维向量时，无法获得类似的闭式表达式。然而，如果V·，1只取{0，1}中的值，我们仍然可以得到一个显式公式。为简单起见，假设V·，1的前k个条目为1，其余条目为0。引理3.2之前的计算给出了Cb=Eh（Y，…，Yk）eY+h（Yk+1，…，Yd）- K+,h（y，…，yk）kXi=1wiexpdXj=2Vi，jyj,h（yk+1，…，yd）dXi=k+1wiexpdXj=2Vi，jyj.为有效计算一揽子期权价格而平滑收益11-3-2-1 0 1 2 30.51.52.53.5图3。二维积分的一个例子，其中包含（4）中的扭结及其关于（16）的平滑对应物。通过再次对Y进行调节，我们再次得出布莱克-斯科尔斯公式，这一次也需要K的变化。最后，我们得到（17）EdXi=1wieXi- K+Y= 哥伦比亚广播公司h（Y，…，Yk）eλ/2，K- h（Yk+1，…，Yd），λ,在cbs（S，K，σ）=S的意义上- K表示K<0。总之，我们建议选择V·，1以最大化有效平滑参数λ。更具体地说，让我们假设特征值u≥ ··· ≥ ud>0的∑a。设D=诊断u，ud. 当然，矩阵Q∈ 相应特征向量的O（d）∑满足度∑=QDQ.表示λ=λ（D，Q，v）=Dv，∑-1vE-1和V {0，1}d \\{0}，我们正在寻找可能最坏的平滑效果，给定c子午线矩阵∑的特征值d，并且给定我们以最佳方式选择向量r v，即，我们正在寻找λ*（D） minQ公司∈O（d）最大值∈Vλ（D，Q，V）。引理3.4。我们有λ*（D）≥ ud.证明。

我们显然有λ*（D） =最小值∈O（d）最大值∈Vλ（D，Q，V）≥ 最大值V∈VminQ公司∈O（d）λ（d，Q，v）≥ minQ公司∈O（d）λ（d，Q，ed），对于ed=（0，…，0，1）。很明显，最小化Q应该将eda作为其最后一行，使edt特征向量对应于∑的最小特征值。确实，对于任何Q∈ O（d）我们有λ（d，Q，ed）=DQed，D-1季度edE公司-1=Dq，D-1qE-1个=dXi=1qiui-1. f（D，q），12 C.拜耳，M.锡本莫尔根和R.坦彭，其中q=q（q）表示q的最后一行（未被理解为共列向量）。请注意，q的范围（a s a q的函数）是Sd-1，因此我们需要最小化所有向量q的f（D，q），q+···+qd=1。很容易看出，最小值是q=eD，值是minq∈O（d）λ（d，Q，ed）=ud。事实上，我们声称，在maxv∈VminQ公司∈O（d）λ（d，Q，v）=ud。原因是对于任意v∈ V仍然给出了最小化Q，使得V是对应于∑的最小特征值的特征向量。因此，minQ∈O（d）λ（d，Q，v）=|v |ud-1=ud | v |。等式之后指出，minv∈V | V |=1。备注3.5。很容易证明引理3.4中的不等式是严格的。我们不知道λ的更明确的表达式*（D） 。备注3.6。值得注意的是，在条件期望（16）之后，也可以对结果d进行度量的改变-1维，以增强本工作中讨论的所有求积的收敛性。例如，这对于OTM选项尤为重要。数值示例1：多元Black-Scholes设置在第一个数值示例中，我们考虑Black-Scholes模型中欧洲基本期权的定价问题m（3）。

该价格取决于执行价格K、权重向量c和包含成熟度T时不同资产价值的向量St。此外，St的分布可以从资产S的初始值、波动率向量σ和相关矩阵ρ中推断出来，它们决定了（1）中的Black Scholes模型。我们的示例中的初始值是随机选择的，即独立且均匀地从内部Si分布∈ [8，20]。挥发性也可从区间σi中随机选择∈ [0.3，0.4]。在【11】之后，相关矩阵ρ=ττ由下三角矩阵τ给出，由向量x参数化∈ [-1，1]d-1如下：τ=cp（x）！，τ=q1- 十、cp（x2:d-（1）, . . . , τd=q1- xd公司-1.....在此，我们开发了受MATLAB启发的符号x2:d-1=[x，…，xd-1]. 此外，我们用cp表示：Rd-1.→ 研发部-1 Cp（x）=[x，xx，…，xx···xd给出的累积积-1].请注意，任何这样的矩阵都是逐相关矩阵，它只取决于d- 1（代替d（d- 1） /2）自由参数rs，因此更容易在实践中应用。为具体起见，我们选择了独立且均匀分布的条目xi∈[0.8，1]，这导致组成篮子的单个资产之间存在正相关性，这是股票市场中的一种典型情况。选择权重向量r c时，篮子是不同资产的平均值，即ci=1/d。此外，我们选择三个平滑收益，以便有效计算篮子期权价格13不同的履约价格设置，K=cS（ATM），K=1.2·cS（OTM）和K=0.8·cS（ITM）。备注4.1。我们用随机选择的不同权重向量C测试了我们的实验∈ [0，1]并获得了类似的结果。

因此，篮子中的权重t向量与不同量化方法的性能之间似乎只有轻微的相关性。我们比较了适用于原始问题（4）和光滑问题（16）的几种积分方案。更精确地说，我们考虑MC方法、基于Sobol点的QMCM方法和第2节中描述的稀疏网格方法。此外，我们还使用对Smoothed被积函数的spar-se网格近似作为控制变量，以加速MC和QMC的收敛。为了跟踪数值示例中使用的不同二次方，我们将其与首字母缩略词一起总结在表1中。此外，此处列出了它们在聚合图中显示的颜色和标记。方法首字母缩略词颜色标记自适应稀疏gr id到（4）aSGo拟蒙特卡罗到（4）QMCo蒙特卡罗至（4）MCoaSG至（1 6）aSG+CSaSG相对于（17）aSG+CS2QMC至（16）QMC+CSMC至（16）MC+CSQMC至（16），带控制变量QMC+CS+CVMC至（16），带控制变量MC+CS+CV表1：。不同的绘图方法，它们的首字母缩略词、颜色和标记。4.1。稀疏网格方法的性能。在这一小节中，我们研究了平滑问题（16）（aSG+CS）的自适应稀疏网格方法的收敛行为。因此，我们将（aSG+CS）应用于我们的模型问题，在ATM情况下，维度d=3，在ITM情况下，维度d=8，在OTM情况下，维度d=25。注意，对于数值计算而言，ITEM情况是最简单的情况，OTM情况是最难的情况。当考虑d=25维的ITM情况时，结果将略有改善。然而，我们要证明的是，即使在中等高维的情况下，平滑也会起作用。