为有效计算一揽子期权价格而平滑收益

作为参考解决方案，我们使用自适应sparsegrid质量以非常小的公差确定（16），即。ε=10-11对于d=3，ε=10-9对于d=8和ε=10-7对于d=25。我们使用[24]中列出的Genz-Keisterpoints作为基础单变量求积点序列。不幸的是，只有九种不同的Ge nz Keister扩展，可能需要在特定方向上实现更高的精度。在这种情况下，我们使用Gauss-Hermite求积，对四元序列的连续成员具有连续更高的预测度。通过解决相关的特征值问题，可以很容易地构造任意精度的1D GaussHermite点和权重；详见【15】。为了观察aSG+CS的收敛行为，我们成功地确定了公差（例如，从10-2至10-9对于d=3），并计算（16）的对应近似值与参考溶液之间的相对误差。将结果与14个C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和R.Temponequarture points-15-10-5d=3、C=2.0725aSG+CSaSGQMCMCN-1/2N-1N-2 quarture points-15-10-5d=8、C=2.7162aSG+CSaSGQMCMCN-1/2N-1N-2 quarture points-8-6-4-2d=25、C=0.46254SG+CSaSGQMCMCN-1/2N-1图4进行比较。d=3、d=8和d=2 5的误差，波动率从区间[0.3、0.4]中随机选择。为了验证参考解，我们还对原始问题（4）应用了MC求积、QMC求积和自适应稀疏网格求积（SG），并将结果与参考解进行了比较。在此，我们将（准）蒙特卡罗求积的质量点数增加为3·6qf，q=1，8为了与25维样本的aSG+CS方法进行比较，对其进行了调整。

此外，我们在每个水平q上使用了20次蒙特卡罗估计，并绘制了这20次的参考解的相对误差中值。图4描述了d=3、d=5和d=25的结果。正如预期的那样，尽管存在非光滑的被积函数，但在每个维代数中，theMC求积的收敛速度为参考解的1/2，而QMC求积的收敛速度接近1。aSG的收敛性可与d=3的MC和d=8和d=25的bec omesworse的收敛性相比较。因此，用aSG处理原始问题（4）不是很合适。与此相反，aSG+CS在收敛速度和常数方面都优于所有其他考虑的red方法，尤其是对于d=3和d=8。对于d=3，速率是指数的而不是代数的，而对于d=8，观测到的代数速率是2。在d=25维时，速率退化为1，但常数仍比QMC小35倍左右。备注4.2。收敛结果用正交点表示。在自适应稀疏网格的情况下，由于我们评估与多指标sα相关的不同求积公式的张量积，可能会出现多次相同的求积点。例如，对于公差为10的近似值-9对于d=3，有效计算一揽子期权价格的平滑回报15aSG+CS方法需要183个正交点，但其中只有64个是不同的，见图2。因此，如果函数求值最好，则自适应稀疏网格方法在正交点的函数求值方面的收敛结果可以得到改善。然而，比较计算时间以查看自适应稀疏网格构造的开销也是很有趣的。

在表2中，我们描述了不同四元法在每个维度的可比正交点数量下的计算时间、顺序和误差。我们可以从这些时间推断，aSG+CS确实有很大的开销。例如，在维数d=25的情况下，与QMC相比，计算平方点多25%左右的自适应稀疏网格方法需要大约23倍的计算时间。然而，aSG+CSI的误差大约比QMC的误差小600倍。请注意，所有计算均为EASG+CS QMC MCtime error points time error points time error points time error points SD=3 0.0057 4.9 e-10 104 0.0016 1.25 e-1 108 0.0013 1.77 e-1 108d=8 0.3675 1.81 e-9 24622 0.0161 5.39 e-3 23328 0.0135 1.38 e-2 23328d=25 5 5 5 5.4283 1.04 e-6 174098 0.2409 6.18 e-4 139968 0.2188 1.29 e-3 13 9968表2。MATLAB中不同求积方法的计算时间，以及（Q）MC情况下被积函数的计算完全矢量化。自然，这对于自适应稀疏网格求积是不可能的，因为我们自适应地将索引添加到对应于差分求积规则的索引集中，而正交点的数量相对较少。虽然每个差分求积规则中被积函数的求值都是矢量化的，但我们需要在算法中多次这样做。因此，对于一般的自适应解析网格四边形或自适应方法，MATLAB实现并不是最有效的实现，例如，使用C高效实现可以显著减少开销。最后，请注意，一旦构建了自适应稀疏网格，它可能会被重新用于具有类似参数的期权定价。当然，在这种情况下，构建稀疏网格的念头完全消失了。图5：。

对（4）（左）和（16）（右）中被积函数的前两个变量的投影，d=25（“资金外”）。综上所述，我们发现适用于（16）的自适应稀疏网格求积准确地接近篮子期权的价值。特别是，它显著提高了应用于（4）的自适应稀疏网格求积的性能。这是因为16 C.拜耳、M.SIEBENMORGEN和R.Tempone（16）中的被积函数是光滑的，而（4）中的被积函数甚至是不可微分的。为了证实后一点，我们在图5中说明了（4）中的8维被积函数和（16）中的7维被积函数在缺钱情况下对前两个变量的投影。除了平滑效果外，我们还进一步观察到，对于后一个被积函数，函数值的范围减少了约2.5倍。因此，从理论上研究平滑技术对THMC和QMC求积的影响似乎是合理的。正交点-8-6-4-2d=3，C=2.0725QMC+CSMC+CSQMCMCN-1/2N-1正交点-6-4-2d=8，C=2.7162QMC+CSMC+CSQMCMCN-1/2N-1正交点-8-6-4-2d=25，C=0.46254QMC+CSMC+CSQMCMCN-1/2N-1图6。对于d=3、d=8和d=25的（Q）M C求积，从区间[0.3、0.4]中随机选择波动率，平滑效果。4.2。MC和QMC求积的平滑效果。在本小节中，我们检查了（Q）MC求积e的平滑效果。为此，我们使用与之前相同数量的求积点（即3·6qf，对于Q=1，…，8）的（Q）MC求积来近似（16）中的积分，并将结果与应用于（4）的（准）蒙特卡罗求积的结果进行比较。对于蒙特卡罗求积，我们预计平滑效果不如稀疏网格求积强。

然而，由于我们确定了从（4）推导（16）的条件期望，因此收敛常数可能会得到改善，这将减少被积函数的方差。图6证实了平滑对蒙特卡罗求积的预期影响，但在更高的维度中，这种影响似乎会减弱。对于QM C求积，平滑不会影响收敛速度，但也会提高收敛常数。此外，对于蒙特卡罗求积，影响更大。QMC四元曲线的收敛常数依赖于被积函数的变化，并平滑了有效计算一揽子期权价格17的回报，因此我们怀疑被积函数的变化比方差的下降幅度更大。这可以通过以下事实来解释：函数的变化可以从第一个混合导数计算出来。因此，变化强烈地依赖于积分的平滑度，尤其是这种依赖性比被积函数的方差更强。4.3。使用稀疏网格插值作为控制变量进行加速。利用被积函数平滑度的另一种方法是将a（Q）MC求积与稀疏g rid近似相结合。为此，我们在（16）中的光滑被积函数上构造了一个稀疏网格插值函数，即使用稀疏网格求积节点作为插值点，并将该插值函数用作控制变量。为了解释控制变量的概念，让我们考虑函数f:Rd的积分问题→ R和近似g:Rd→ R在f上。我们假设很容易计算E（g）：=RRdg（x）dx。然后，我们将积分改写为（18）ZRdf（x）dx=ZRdf（x）- g（x）dx+E（g）。我们不使用（18）左侧积分的（Q）MC估计，而是估计右侧积分。

这意味着函数g:Rd→ R作为控制变量，参见示例【19】了解更多详细说明。当然，控制变量的质量取决于f的方差或方差的大小- 与f的方差或变异相比，gis降低。它与g对f的逼近性质密切相关。在我们的示例中，我们使用总度稀疏网格插值作为控制变量。为了更详细地描述这一点，让我们用Ij表示：C（R）→ Pnj具有Nj点的GaussHermite求积的Nj四次点的插值运算。然后，我们的稀疏网格插值g由g=Xα给出∈Nd:kαk≤2dOj=1（Iαj- Iαj-1） F公约I-1.≡ 0和平方e点的数量N=1、N=3和N=5。备注4.3。在（Q）MC正交点处对这种稀疏网格插值进行评估的成本非常高，尤其是在高维情况下。最有可能的是，可以使用更有效的控制变量，例如，在稀疏网格插值中只包含五个最重要的d维度。然而，她的目的是证明由于平滑，在相对较低的水平上，通过稀疏网格控制变量显著改善（Q）MC求积的收敛行为，但我们没有在计算时间方面进行效率分析。将此函数用作控制变量以提高（Q）MC+CS求积的收敛性的结果如图7所示。这两种方法的错误或减少都非常紧迫。特别是，MC+CS求积的误差在保持收敛速度的同时，减少了大约1 0in d=3维的因子，并且仍然减少了10 In d=8维的因子和30 In d=25维的因子。

在QMC+CS求积的情况下，常数减少了一个与蒙特卡罗汽车定位中相似的因子。尽管与QMC+CS求积相比，收敛速度似乎稍差，但带有spa rse网格控制变量的准蒙特卡罗求积在图7中所考虑的四种方法中实现了最佳的误差行为，至少ford=3，d=8.18 C。拜耳、M.SIEBENMORGEN和r.Temponequarture points-14-12-10-8-6-4-2d=3，C=2.0725QMC+CSQMC+CS+CVMC+CSMC+CS+CVN-1/2N-1N-2正交点-8-6-4-2d=8，C=2.7162QMC+CSQMC+CS+CVMC+CSMC+CS+CVN-1/2N-1正交点-8-6-4-2d=25，C=0.46254QMC+CSQMC+CS+CVMC+CS+CVN-1/2N-1图7。对于d=3、d=8和d=25，使用稀疏gr ID控制变量加速（Q）MC二次方，波动率从区间[0.3、0.4]随机选择。5。数值示例2：多元方差Gamma设置在我们的第二个数值示例中，我们考虑了[29]中介绍的多元方差Gamma模型中篮子选项的定价。因此，我们回顾，单变量资产价格过程（6）的多变量扩展描述如下（参见[28]和上文第1节）：（19）Sit=Siexp（r+ωi）t+θiγt+σiWi（γt）ωi=νlog1-σiν- θiν！。为了将我们的结果与[28]中的结果进行比较，我们还将利率合并为确定性利率r。（19）中的关联d维布朗运动W与（2）中的关联矩阵ρ相同=ρi，jdi，j=1及其波动率向量σ=[σ。

，σd].γ过程与m W无关，由参数ν通过其密度函数fγt（y）=y1/ν描述-1νt/ν（t/ν）e-是/ν。平滑一篮子期权价格19的有效计算回报在方差Gammamodel下计算时间T的欧洲一篮子看涨期权得出（20）CBZ∞E-rTE公司dXi=1就诊- K+ γT=yfγT（y）dy.这里，被积函数是针对每个固定的y≥ 0根据（3）仅为篮子看涨期权a的值。让我们定义（21）wi=精确（r+ωi）T，i=1，d、 ∑i，j=σiσjρi，jT，i，j=1，d、 然后，我们可以如（4）所示，用d维高斯向量Xy=（Xy，…，Xyd）重写被积函数~ N（0，y∑）束角dXi=1就诊- K+ γT=y= EdXi=1eθiywieXi- K+ γT=y.因此，我们可以将第3节中的技术应用于方程式（20）。因此，我们将矩阵的分解∑=V DV根据引理3.1。矩阵V的第一行是向量V=[1，…，1]我们表示对角线矩阵的entr ie s，byD=diag（λ，…，λd）。继续以与第3节相同的方式，我们最终得到了等效积分问题（参见（16）），（22）CB=Z∞E-rTE“CBShyqy D Z！eyλ/2，K，√yλ#fγT（y）dy，Z~ N（0，Id）-1） ，pD=diag（λ，…，λd）。这里，函数hy与（15）中的hy（z，…，zd）类似dXi=1eθiywiexpdXj=2Vi，jzj,z=（z，…，zd）∈ 研发部-1、注意，（22）中的被积函数很容易就y进行计算，因为我们只需要在每个权重wi前面加上因子eθiy，并用y缩放矩阵D。

因此，尽管高斯向量XY的相关矩阵取决于参数，但根据引理3.1，相关矩阵的分解只需计算一次。在图8中，我们给出了VarianceGamma模型下篮子期权定价的两个示例。左侧的第一张图片描述了ATM篮子呼叫的计算错误（参见（20））。我们选择（19）中的参数r=0和ν=0.3，并确定和随机选择θi∈ [-0.1，0.05]。此外，相关矩阵ρ、挥发度σi和初始值Siin d=8维被构造为第4组。我们比较了（22）中d维积分的MC求积和自适应稀疏网格求积的收敛性。注意，（22）中的积分域和密度函数由Γ=[0，∞] ×Rd-1，p（y，z，…，zd）=fγT（y）·（2π）d/2expdXi=2zi.因此，我们使用d维r a ndom向量，其中第一个分量相对于fγ和独立于剩余d- 1正态分布且独立的变量，以及蒙特卡罗二次方的样本。在案例20中，C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和R.Temponequarture points-15-10-5d=8，C=2.7767aSG+CSMC+CSN-1/2N-1N-2正交点-15-10-5d=3，C=27.4031aSG+CSMC+CSN-1/2N-1N-2图8。参数ν=0.3和θi的ATM篮子调用和方差Gamma模型的错误∈ [-0.1，0.05]表示左侧的d=8个资产，例如[28]，右侧的d=3个资产。在自适应稀疏网格质量中，我们使用不同平方规则的张量积（参见（11）），其中我们使用广义高斯-拉盖尔质量规则的差异作为第一个变量中的平方序列。在其余变量中，我们按照第4节设置了单变量四分位数。

然后，我们按照第2.2节所述，自适应地选择稀疏网格中包含的索引。正如预期的那样，MC方法以N的速率精确收敛-1/2。此外，结果表明，即使在这个方差e-Gamma示例中，自适应四象限输出器也形成了M C方法，其nobserved速率接近N-2、第二个数字示例取自最近的工作【28】，源于【30】中方差伽马模型的参数拟合。它描述了一个三维模型asin（19），其中θ=[-0.1368，-0.056，-0.1984], σ=[0.1099，0.1677，0.0365]和S=[100200300]. 此外，权重向量c=[1/3，1/6，1/9]和c相关矩阵ρ=1 0.6 0.90.6 1 0.80.9 0.8 1已使用。在【28】中，考虑了参数ν和执行价格K的几种不同设置。我们将自己限制在设置ν=0.5和K=75，这与ITM篮相对应。图8右侧显示了MCA和自适应方法的收敛结果。我们观察到MC求积以前是收敛的。虽然自适应稀疏网格求积的收敛性仍优于蒙特卡罗方法，但无法获得这种低维示例所能预期的指数速率。收敛状态中的这种恶化不取决于方差Gamma设置，但如前所述，平滑与引理3.1中的对角矩阵D f的条目有联系。对于所考虑的示例，m矩阵D的条目λ=0.00023、λ=0.03432和λ=0.00652。特别是，λ的较小值解释了相对较小的平滑效果。根据（17），引理3.1中的向量v=1可以被任何其他向量0，v代替∈ {0，1}dto obta在引理3.2中的闭式表达式中。