为有效计算一揽子期权价格而平滑收益

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英文标题：
《Smoothing the payoff for efficient computation of Basket option prices》
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作者：
Christian Bayer, Markus Siebenmorgen, Raul Tempone
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider the problem of pricing basket options in a multivariate Black Scholes or Variance Gamma model. From a numerical point of view, pricing such options corresponds to moderate and high dimensional numerical integration problems with non-smooth integrands. Due to this lack of regularity, higher order numerical integration techniques may not be directly available, requiring the use of methods like Monte Carlo specifically designed to work for non-regular problems. We propose to use the inherent smoothing property of the density of the underlying in the above models to mollify the payoff function by means of an exact conditional expectation. The resulting conditional expectation is unbiased and yields a smooth integrand, which is amenable to the efficient use of adaptive sparse grid cubature. Numerical examples indicate that the high-order method may perform orders of magnitude faster compared to Monte Carlo or Quasi Monte Carlo in dimensions up to 35.
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中文摘要：
我们考虑多变量Black-Scholes或方差Gamma模型中的篮子期权定价问题。从数值角度来看，此类期权的定价对应于具有非光滑被积函数的中高维数值积分问题。由于缺乏规律性，高阶数值积分技术可能无法直接使用，需要使用专门用于处理非规则问题的蒙特卡罗等方法。我们建议使用上述模型中基础密度的固有平滑特性，通过精确的条件期望来缓和支付函数。由此产生的条件期望是无偏的，并产生一个光滑的被积函数，这有利于有效地使用自适应稀疏网格体积。数值算例表明，与蒙特卡罗或准蒙特卡罗相比，高阶方法在35维以下的维度上执行速度可能快几个数量级。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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关键词：Applications Quantitative Multivariate Computation Monte Carlo

平滑收益以有效计算BASKETOPTION价格Schristian BAYER、MARKUS SIEBENMORGEN和RAUL TEMPONEAbstract。我们考虑多变量BlackScholes或方差Gamma模型中的篮子期权定价问题。从数值角度来看，此类期权的定价对应于具有非光滑被积函数的中高维数值积分问题。由于缺乏规律性，高阶数值积分技术可能无法直接使用，需要使用蒙特卡罗等专门设计用于处理非规则问题的方法。我们建议使用上述模型中底层密度的固有平滑特性，通过精确的条件期望来缓和支付函数。由此产生的条件期望是无偏的，并产生一个平滑的被积函数，它符合自适应稀疏网格体积的效率。数值算例表明，高阶方法在维数高达35.1的情况下比蒙特卡罗或准蒙特卡罗方法执行速度快几个数量级。简介在定量金融中，基础S上的期权价格通常可以忽略贴现，对于S上的某些（支付）函数f和适当定价措施诱导的期望算子E，可以表示为E【f（S）】。因此，期权定价是一个综合问题。由于两个复杂因素的组合，集成pr问题通常具有挑战性：oS通常在高维空间中取值。

高维度的原因可能是随机微分方程的时间离散性、期权的路径依赖性（即S实际上是资产价格的路径，而不是特定时间的价值）、大量基础资产或其他因素Payoff函数f通常是不平滑的。在这项工作中，我们关注模型中的一揽子期权定价问题，其中明确给出了基础期权的分布。具体而言，我们考虑多变量Black-Scholes和方差Gamma模型，即无需时间离散的模型。我们考虑d维和剩余资产上的篮子期权=ST，SdT公司带支付功能F（ST）=dXi=1wiSiT- K+2010年数学学科分类。初级：91G60；次要：65D30、65C20。关键词和短语。计算金融学、欧式期权定价、多元近似和集成、稀疏网格、随机配置方法、蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法。R、 Tempone是KAUST Strategic Research Initiative（计算科学和电子工程不确定性量化中心）的成员。我们感谢Juho H¨app¨ol¨a指出我们的方法对方差伽马过程的直接适用性。2 C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和R.Tempones对于某些正权重w，wd、到期日T和履约价格K。通过观察，也可以允许某些权重为负，这是一种称为“展期期权”的期权类型。请注意，此外，（离散）亚式期权也属于此框架。即使在标准的Black-Scholes框架中，篮子期权价格的闭式表达式也不可用，因为对数正态分布的dom变量之和通常不是对数正态分布的。

一些显式近似公式是基于对数正态随机变量和的近似分布恒等式；例如，请参见[12，26]。此外，拉普拉斯方法，当因子分布仅作为随机微分方程的解给出时，可能与热核展开相结合，已被证明即使在高维（[5，4，6]）中也能产生高度精确的结果。然而，在这项工作中，我们的目标是使用通用的数值积分技术来解决手头的问题，这些技术在以前方法的限制之外仍然可用。高效的数值积分算法甚至在高维情况下可用，但它们通常需要被积函数的平滑度。因此，它们先验地不适用于许多期权定价问题。我们将特别关注（自适应）稀疏网格方法，参见示例[7，17]。另一种有效的数值积分技术是准蒙特卡罗（QMC）。形式上，QMC方法还依赖于被积函数的光滑性来保持一阶收敛（直到乘法对数项）；然而，Q-MC方法通常在定量金融中很好地解决积分问题，即使被积函数的理论要求的正则性没有得到满足（概述见[27]）。在一系列工作中，Griebel、Kuo和Sloan【20、21、22】分析了基于ANOVA分解的典型期权定价问题QMC方法的性能。特别是，他们显示，除最后一项外，方差分析组成的所有项都是平滑的。在屏障选项的背景下，Achtsis、Cools和Nuyens【1、2】成功地应用了Q聚焦条件抽样策略来填充屏障条件。此外，他们使用寻根程序来确定选项的支付函数为正的区域。

换言之，这一过程与[18，25]中讨论的过程类似，它定位了支付函数的非平滑部分。请注意，就积分问题的坐标而言，Payoff函数的支持范围可能相当复杂，这一问题可能会限制这种方法的适用性。从数值分析的角度来看，该问题最明显的解决方案是使用标准molli fiers对被积函数进行平滑处理，并且在定量金融中成功应用mo lli fi fi有着显著的历史；例如，参见期权价格计算敏感性的上下文中的[13]。对于许多金融应用程序，似乎有一种更具吸引力的方法，可以避免在提供数值积分算法所需的平滑度和在被积函数中引入偏差之间进行平衡。实际上，我们建议对正则被积函数使用底层分布的平滑性质。这种技术在时间步长设置中是相当标准的，我们确实计划在将来探索其在该上下文中的适用性。然而，在这项工作中，正则化将通过对所有其他因素的多元几何布朗运动第一条件的一个因素进行积分来实现。更具体地说，我们在下面的第3节中表明，我们总是可以将xi=1wiSiTL=heyf分解为两个独立的随机变量H和Y，这里，“L=“表示法律上的平等。对于精度，请参见引理3。2与引理3.1结合。这里，有效计算篮子期权价格3变量Y的随机平滑收益是正态分布的。

在此之前，通过计算给定H的条件期望，篮子期权定价问题被简化为H中的积分问题（对应于Rd中的积分-1） 在这种情况下，通过Black-Scholes公式给出Payoff函数，这是一个光滑函数。首先对一个因素进行积分，从而获得剩余因素的“期权”，并由Black-Scholes公式给出回报，这种想法在中国并不新鲜。例如，Romano和Touzi【32】将这种想法应用于随机波动率模型的理论研究中，作为显示可接受价格凸性的工具；在这种情况下，也可以看到这项工作。然而，上述分解（允许在篮子选项上下文中使用此技巧）似乎是新的。由于条件期望总是减少随机数m变量的方差，因此此技巧在蒙特卡罗设置中也很有用。在这个意义上，该方法类似于[1，2]中提出的方法，该方法还通过被积函数的巧妙变换，结合积分变量中正支付值区域的识别，减少了障碍期权的a（Q）MC估计量的方差。这里介绍的方法有所不同，因为我们真正关注的是平滑方面（获得较低的方差作为受欢迎的副产品），而前一种方法真正关注的是方差，获得更平滑的被积函数作为aby积。事实上，即使适用于篮子期权的特殊情况，方法[1，2]也会给出不同的结果。我们顺便注意到，我们的方法的收敛速度依赖于问题。实际上，收敛速度既取决于条件期望步骤引入的有效平滑，也取决于结果的有效维度D- 一维积分问题。

作为定量理解这种依赖性的初步步骤，第3节包括了对平滑影响的下限估计。制定更精确的估计超出了这项工作的范围。请注意，这项工作中提出的平滑方法可以以更一般的方式应用，也可能以修改的方式应用，包括更复杂的模型，其中资产定价过程可以通过时间步长程序进行模拟。我们在结论中赞同这个观点。概述我们首先更详细地描述问题的设置。在第2节中，我们将介绍两种常用的高维数值积分技术，即（自适应）稀疏网格和QMC。然后，在第3节中，我们描述了多元Black-Scholes框架中支付函数的平滑。为了证实这项工作的探索风格，我们给出了两个详细的数值例子。在第4节中，我们给出了多变量Black-Scholes模型的数值结果，在第5节中，我们考虑了多变量Gamma模型，表明此处提出的平滑方法适用于标准Black-Scholes区域以外的区域。之后，我们提出了一些结论，包括对未来研究的展望。背景我们在布莱克-斯科尔斯模型中考虑了欧洲篮筐期权。更具体地说，我们假设利率r=0–即，我们正在计算正向价格。我们考虑d∈ N价格为St的资产=St，Sdt公司, t>0，风险中性动态（1）dSit=σiSitdWit，i=1，d、 对于挥发性σi>0，i=1，d、 由相关的d维布朗运动W和DDWI驱动，WjEt=ρi，jdt，i，j=1，d、 4 C.BAYER、M.SIEBENMORGEN和R.Tempones显然，（1）有显式解（2）Sit=Siexp-σit+σiWit！，i=1。

，d，t>0。我们注意到，随机向量的分量具有对数正态分布，并与d相关。篮子期权是此类资产集合上的n期权。我们假设一个标准的看涨期权，其行使K>0，到期T>0，且p rice（3）CB EdXi=1就诊- K+.接下来，让我们将定价问题（3）转换为稍微抽象一点的形式。正如我们所观察到的，随机向量cST，cdSdT公司可以表示为weX，wdeXdforscalars w，Wd和零均值高斯向量X=（X，…，Xd）~ N（0，∑）。事实上，我们可以选择-σiT，i=1，d、 ∑i，j=σiσjρi，jT，i，j=1，d、 因此，我们剩下的问题是计算（4）EdXi=1wieXi- K+对于X~ N（0，∑）和d≥ 1、备注1.1。请注意，计算1D Black-Scholes资产（离散监控）亚式期权价格的问题也是形式（4），但具有不同的方差矩阵∑。在第5节中，我们还将考虑方差Gamma模型；单变量见[30]，多变量方差Gamma模型见[2 8]。我们首先回顾单变量情况：Let（5）Xt θγt+σWγt对于实参数θ（允许控制偏斜度），一个标准布朗运动和一个参数为1且ν>0的独立Γ过程γt（即，γ是一个具有γt+h的独立静态增量的过程- γtΓ-随平均h和方差νh分布，对于任何h>0，t>0）。此外，我们施加γ=0。在r=0的风险中性度量下（为简单起见），我们考虑资产价格过程（6）St=Sexp（ωt+Xt），ω=log（1- θν- σν/2）ν；见[30，公式（22）]。上述“漂移”ω的选择确保S是鞅。

请注意，流程X是一个L'evy流程，可以在本质上被描述为两个独立ntΓ流程的差异。经济上，时间变化γ为10，被解释为“商业”或“交易”时间。因此，有必要假设不同的股票会发生一次性变化。方差Gamma模型的合理多元推广（也在[28]中采用）需要根据相关的布朗运动定义（5）中的对数项Xitas，即参数θi、σi，但需要一个共同的Γ-过程ssγt（因此，使用固定的p参数ν）。股票平滑收益，用于有效计算一揽子期权价格5个价格组成部分，i=1，d、 然后根据（6）基于Xit、θi、σi，但公共p参数ν2定义。高效多维数值积分的简要概述在本节中，我们简要回顾了高效多维积分方案，特别是蒙特卡罗积分、QMC积分和自适应稀疏网格积分。为此，让我们考虑一个函数f:Rd→ 用φd:Rd表示d维标准高斯密度函数→ R+，x 7→ （2π）-d/2Qdk=1exp(-xk/2）。正如我们稍后将看到的，我们面临的多维积分问题是找到积分（7）ZRdf（x）φd（x）dx的近似值。2.1。蒙特卡罗和拟蒙特卡罗求积。解决高维积分问题最广泛使用的求积技术是蒙特卡罗求积；例如，请参见[23]。此方图重新绘制N∈ N独立且相同分布的样本ξi∈ Rd，i=1，N关于d维标准正态分布。

然后，积分（7）的无偏蒙特卡罗估计由（8）ZRdf（x）φd（x）dx给出≈NNXi=1f（ξi）。这种求积的最大优点是均方根误差的收敛速度与维数d无关，但收敛速度O（N-1/2）israther低。这种求积的另一个优点是，它在被积函数的正则性要求较低的情况下工作。更精确地说，被积函数的方差在误差估计中是一个多重常数。QMC求积与MC求积具有相同的形式（8），但样本点是从指定序列构造或获取的，而不是从指定序列中选择的。文献中有几种QMC序列可用，最近的综述文章参见[8，31]或[10]。然而，几乎所有的QMC序列都会在单位立方体[0，1]上进行积分，并与Lebesgue测度和有关，因此，这些点必须通过逆正态分布映射到积分域Rd。aQMC序列的目的是用前N个样本点尽可能准确地反映单位立方体上的均匀分布。均匀分布和前N个样本点之间的距离由这些样本点的差异给出（见【31】）。这是因为Hardy和Krause意义下有界变量函数的QMC积分误差可以通过积分点的差异估计为常数。如果QMC序列的前N个点的差异为O（N），则称为低差异序列-1日志（N）d）。因此，低离散度序列可以提高蒙特卡罗求积的收敛性。在ou r nume ricalexamples中，我们将使用基于Sobol序列的QMC求积，cf。