凸风险函数的逆优化

目标是寻求风险函数ρ∈ R表示渲染解决方案x*（d） 基于X（d）的正向优化问题的最优解，对于alld=1。。。，D、 通过最小偏离参考函数ρ。反问题的一般模型可表述如下。infρ| |ρ- ρ||∞以ρ为准∈ R（2）x*（d）∈ arg minx∈X（d）ρ（~ Z（X）），d=1。。。，D、 其中| |·||∞代表应用的完整规范，以确保解决方案在任何地方都合理地接近参考风险函数。作为示例，在表1中提供了可用作参考风险函数|ρ的已知风险函数列表。风险函数公式最大损失maxi{Z（ωi）}期望E[Z]平均绝对偏差E[Z]+γE[| Z- E[Z]|]，γ∈ [0，]平均上半偏差E[Z]+γ（E[（[Z- E[Z]+）s]）1/s，γ∈ [0，1]，s≥ 1条件风险值（CVaR）R∞-∞zdFαZ（Z），FαZ（Z）=0，如果z<F-1Z（α）FZ（z）-α1-α、 如果z≥ F-1Z（α），α∈ [0，1）光谱风险度量SF-1Z（t）φ（t）dt，φ是非负的，非递减的，andRφ（t）dt=1表1：几个著名的风险函数，其中FZ（z）表示随机变量z的分布函数，F-1Z代表广义逆分布函数。在经典逆优化中，通常假设集合R对应于某个参数函数族。然而，由于所选择的参数形式可能与个人的truepreference系统不一致，因此这种方法可能没有很好的合理性. 我们将采用的方法来描述集Ris，而不是非参数，这绕过了不一致性问题。

即，我们将通过以下条件确定集合R，即真实风险函数ρ*couldpotentially满足：（1）（单调性）ρ（~Z）≥ ρ（~ Z）对于任意随机损失Z≥ Z（2） （凸性）ρ（λ~ Z+（1- λ） ~Z）≤ λρ（~Z）+（1- λ） 任意λ的ρ（~ Z）∈ [0，1]和随机损失Z，Z；（3） （定律不变性）ρ（~ Z）=ρ（~ Z），对于分布等效的任何随机损耗Zand和zt，即Z≡FZ；（4） （平移不变性）ρ（~ Z）- c） =ρ（~ Z）- 对于任意给定的随机损失Z和恒定量c∈ R（5） （成对偏好关系）ρ（~ Lk）≤ ρ（~ Uk）对于给定的随机损失对列表{（Lk，Uk）}k∈K、 其中K={1，…，\'K}。我们借用凸风险函数理论的前四个条件，凸风险函数最有可能适应个人偏好系统 一般来说，这是偏好诱导领域的最后一个条件，它确保了偏好系统的更多细节 可由风险函数进一步说明。成对偏好关系的最后一个条件确保了候选风险函数和偏好系统在一定数量的随机损失上的一致性，对于描述集合R如何收敛到真实风险函数ρ至关重要*随着更多偏好信息的披露，即“K”→ ∞. 它可以从观察中获得，也可以通过调查问卷获得，调查对象是如何在一定数量的备选方案中选择最可取的随机损失。基于上述条件，我们在本文中考虑了通过应用不同的条件子集来定义集合R的四种不同情况。我们首先根据条件（1）、（2）和（4）正式定义两类凸风险函数。定义2.1。A风险函数ρ：R|Ohm|→如果R是适当的、下半连续的，并且通过ρ（~ 0）=0进行归一化，并且满足上述条件（1）和（2），则R称为凸风险函数。

我们编写RCVx来表示凸风险函数族。此外，如果凸风险函数进一步满足条件（4），则称为凸风险测度。我们编写RCVXMT来表示凸风险测度族。利用这一定义和条件（5），我们考虑集合R的以下两种情况：Rcvx（{（Lk，Uk）}k∈K） ：={ρ∈ Rcvx |ρ（~ Lk）≤ ρ（~英国），k∈ {1，…，\'K}}，Rcvxm（{（Lk，英国）}K∈K） ：={ρ∈ Rcvxm |ρ（~ Lk）≤ ρ（~英国），k∈ {1，…，K}}。第一种情况R：=Rcvx（{（Lk，英国）}k∈K） 是所有情况中最普遍适用的一种，因为它只依赖于凸风险函数理论中公认的两个性质，即单调性和凸性。当一个人的偏好系统 满足Z Zfor anyZ公司≥ Z、 也就是说，如果随机损失对任何可能的结果来说都更大，那么随机损失就不可取了。凸性条件意味着系统 满意度λZ+（1- λ） ZZλ∈ [0，1]对于某些Z，如果Z，Z Z、 也就是说，任何凸面组合（多样化）都是可取的。函数需要适当且下半连续的要求对于进行凸分析而言是一个温和的技术假设，而通常可以在不损失一般性的情况下施加归一化条件。第二种情况R：=Rcvxm（{（Lk，Uk）}k∈K） 代表风险函数的类别，由于F¨ollmer和Schied（2002）的工作，风险函数已成为衡量金融风险的新标准。强加平移不变性的条件等同于假设一个人的偏好系统 进一步证明Z- CZ- c表示任意Z 赞德c∈ R、 也就是说，偏好关系不受随机损失加上（或减去）任何常量的影响。

例如，在金融领域，随机损失的风险被解释为需要保留的资本金额，以使损失变得可接受。集合R的下两种情况基于以下法律不变量风险函数的定义（Kusuoka（2001））。定义2.2。给定σ上的概率测度P-的代数Ohm, 一个凸风险函数（分别为凸风险测度）ρ：R|Ohm|→进一步满足条件（3）的R称为法则不变凸风险函数（分别为法则不变凸风险测度）。我们编写了RFcvx（resp.RFcvxm）来表示法律不变凸风险函数族（resp.法律不变凸风险测度）。因此，我们有以下两个附加集：RFcvx（{（Lk，Uk）}k∈K） ：={ρ∈ RFcvx |ρ（~ Lk）≤ ρ（~英国），k∈ {1，…，\'K}}，RFcvxm（{（Lk，英国）}K∈K） ：={ρ∈ RFcvxm |ρ（~ Lk）≤ ρ（~英国），k∈ {1，…，K}}。这两种情况下，共享相同分布的随机损失被偏好系统（即Z）视为同样可取~ Z、 对于任何Z≡FZ。当只有随机损失的分布，而不是它们从Ohm 到R，可以识别（或估计）。事实上，通常情况下，只有样本数据可用于估计随机损失的分布。最后，应该强调的是，我们不认为（2）中的参考函数|ρ必须满足所有成对偏好关系，因为找到这样的风险函数本身是非常重要的。相反，更自然的假设是，通过从许多众所周知的凸风险函数（如表1所示）中选择它来提供初始估计值|ρ。

我们将在第3节和第4.2.3节中研究（2）对上述四种情况R的可处理性凸风险函数的上确界表示凸风险函数的表示定理将在我们以后的发展中非常有用。特别是，我们将在本节中提供表1中风险函数的上确界表示，它可以用作第3节和第4节中逆模型的输入。回想以下结果。引理2.3。（参见，例如（Ruszczy\'nski和Shapiro（2006）））任何风险函数ρ∈ Rcvx允许ρ（~ Z）=supp的表示∈R|Ohm|+{p>~ Z- ρ*（p） }，（3）式中ρ*（p） 是一个真下半连续凸函数。此外，anyrisk函数ρ∈ RCVxmca可以进一步表示为ρ（~Z）=supp∈R|Ohm|+∩C{p>~ Z- ρ*（p） }，（4）其中集合C：={q | q>~ 1=1}。表示结果表明，所有凸风险函数都可以表示为具有非负次梯度p的函数的上确界∈ R|Ohm|+.不难验证p的非负性（分别为约束Tp>~ 1=1）是否足以确保满足单调性（分别为平移不变性）的性质，而上述结果进一步证明了必要性方向。人们可能会注意到，即使ρ*不是凸函数，通过构造风险函数ρ仍然是凸风险函数。然而，从上述引理中获得的见解是，对于任何此类ρ，总是可以找到ρ的替代凸函数*从而得出相同的风险函数ρ。我们的后续分析将受益于这一事实。还请注意，在平移不变性的情况下，可行次梯度集减少为上的概率分布集Ohm = {ωi}Ni=1。表1中的所有风险函数都是法律不变的凸风险测度，我们根据（4）给出了它们的上确界表示。

在例2.2至2.5中，我们用g表示∈ R|Ohm|概率质量函数，即gi=P（{ωi}），ωi∈ Ohm.示例2.1。（最大损失）其上确界表示为（4）和ρ*（p） =0。示例2.2。（期望）其上确界表示也是平凡的：（4）带ρ*（p） =0和C：={q | q=g}。示例2.3。（平均绝对偏差）其上确界表示已在Ruszczy\'nski和Shapiro（2006）中进行了研究。我们有ρ（~Z）=maxp∈R|Ohm|+∩Cp>~ Z，其中C：={q | qi=gi（1+γ（hi-Pigihi）），| | h||∞≤ 1} 和h∈ R|Ohm|.示例2.4。（平均上半偏差）其上确界表示的推导与前一示例类似（参见Ruszczy'nski和Shapiro（2006））；即，表示式为ρ（~ Z）=maxp∈R|Ohm|+∩Cp>~ Z，其中C：={q | qi=gi（1+γ（hi-Pigihi）），Pigi | hi | t≤ 1，h≥ 0}，h∈ R|Ohm|andt=ss-例2.5。（条件风险值（CVaR））以下CVaR的上确界表示是相当标准的ρ（~ Z）=maxp∈R|Ohm|+∩Cp>~ Z，其中C：={q | qi≤1.-αgi，1>q=1}。在给出以下谱风险度量的上确界表示之前，我们应该注意到，它们代表了一类重要的风险函数，一直被称为表示主观风险规避和更一般风险度量的基础。特别是，它们完全刻画了一类正齐次和共单调的法律不变凸风险测度（Acerbi（2002））。虽然我们认为其中一些属性过于专业化，无法在本文中详细说明，但这里值得注意它们的重要性。我们通过假设概率测度P是一致的来推导它们的上确界表示，这一假设为它们的表示提供了有用的见解，将在第4节中重新讨论。示例2.6。

（谱风险度量）假设ωi的P（{ωi}）=1/N∈ Ohm, 任何光谱风险度量都可以等价地写成ρ（~ Z）：=φ>Д（~ Z），其中Д：RN→ RN表示一个排序运算符，使得Д（~ Z）≤ · · · ≤ Д（~ Z）N和φ∈ rnsatiesφ≥ 0，Piφi=1，φ≤ · · · ≤ φN.不难验证以下上确界表示是否达到与上述一个ρ（~Z）=maxp，σ{p>~Z | p=σ（φ），σ相同的最佳值∈ ∑}，其中σ是一个置换N维向量的算子，∑是所有此类算子的集合。它可以使用凸包算子conv（·）ρ（~Z）=maxp进一步重新表示如下∈注册护士+∩Cp>~ Z，其中C={q | q∈ Conv（{σ（φ），σ∈ ∑}）}。我们应该注意到，众所周知，CVaR是spectralrisk度量的特例，因此上述表示也适用于CVaR。实际上，选择φ=（0，…，0，（1-α） N。。。，（1）-α） N）带（1- α） N多个非零条目，给出CVaR。3凸风险函数的逆优化我们从考虑R：=Rcvx（{（Lk，Uk）}k的情况开始本节∈K） 在反演模型（2）中，提供了一个凸风险函数作为参考风险函数，实际上，让σ：{1，…，N}→ {1，…，N}是一对一映射，使得Z（ωσ（1））≤ Z（ωσ（2））≤· · · ≤ Z（ωσ（N）），对于任何t∈ （j）-1N，jN]，j∈ {1，…，N}，F-1Z（t）=Z（ωσ（j））必须保持不变。这可以通过定义F进行验证-1Z（t）=inf{z:PZ（ωi）≤zP（{ωi}）≥ t} 。也就是说，由于P（{ωi}）=Nwe必须有pz（ωi）≤Z（ωσ（j））P（{ωi}）≥ T*, T*∈ （j）-1N，jN]。不存在z<z（ωσ（j）），使得pz（ωi）≤zP（{ωi}）≥ T*因为这样的z必须是z∈ {Z（ωσ（k））}k=1，。。。，J-1它与pz（ωi）的事实相矛盾≤Z（ωσ（k））P（{ωi}）≤对于任何k∈ {1，…，j- 1} 。因此，我们可以写出ρ（~Z）=PNj=1（RjNj-1NF-1Z（t）φ（t）dt）=PNj=1（RjNj-1Nφ（t）dt）Z（ωσ（j））=PNj=1φjZ（ωσ（j）），其中φj=RjNj-1Nφ（t）dt。i、 e。

逆问题ρ| |ρ- §ρcvx||∞以ρ为准∈ Rcvx（{（Lk，英国）}k∈K） （5）x*（d）∈ arg minx∈X（d）ρ（~ Z（X）），d=1。。。，D、 式中▄ρcvx∈ Rcvx。由于反问题（5）的维数有限，因此无法通过反优化问题的标准方法来解决。在本节的其余部分中，我们表明，对于可以考虑用作参考风险函数|ρcvxin（5）的范围广泛的风险函数，该问题实际上可以容易地解决。为了展示我们的主要结果，我们首先介绍了对偶C-分段线性风险函数的以下定义。定义3.1。（对偶C-分段线性风险函数）A风险函数ρ：R|Ohm|→如果Ris允许ρ（~Z）=suppp>~Z的上确界表示，则称其为对偶C-分段线性- ρ*（p） （6）带ρ*（p） ：=最大值∈V{p>~ Yv- δv}+δ（p | R|Ohm|+∩ C） ，其中集合V：={1，…，\'V}和集合C R|Ohm|是一个闭凸集。函数δ（p | C）是一个指标函数，如果p∈(R)C和∞ 否则此外，我们称集合{~Yv}v∈V顶点的支持集和C次梯度的支持集。在上述定义中，函数ρ*将一个分段线性函数与一个凸集C配对，使其在一个潜在有界域R上是分段线性的|Ohm|+∩C和其他详细信息。如后文所示，这种表示允许考虑风险函数的原始信息和双重信息。例如，我们可以首先确认，第2.2节中给出的所有风险函数示例都是双C线性风险函数的特例，其中V=1、~ Y=~ 0和δ=0（有关进一步的讨论，请参见第4节）。本节的主要结果如下。定理3.2。

如果参考风险函数ρcvx∈ RCVx是对偶C分段线性的，并且对于每个条目，随机损失Z（x）在x中是凸的，那么逆优化问题（5）总是可以作为一个有限维凸规划来解决。此外，它是多项式可解的if1。minx的正向问题∈X（d）ρ（~ Z（X）），d=1。。。，对于任何y，D都是多项式可解的，其简单风险函数ρ（~Z）：=y>~Z≥ 0和2。配有可用于任何p的预言机的|ρcvxis的次梯度支撑集C∈ R|Ohm|要么确认p∈ 或提供一个在多项式时间内将PFC与C分离的超平面。上述结果相当普遍，因为逆问题的复杂性在很大程度上取决于正问题的复杂性。请注意，此处正向问题的可处理性要求非常低，因为它只要求简单（或最简单）的正向问题是可处理的。关于预言的条件也可能是证明多项式可解性所需的最薄弱的条件。在本节的其余部分，我们将通过提供严格的论据来证明这个定理。共轭对偶理论的使用极大地促进了我们的分析（参见Rockafellar（1974））。回想一下共轭ρ*函数ρ：R的|Ohm|→？Ris定义为ρ*（p） =sup~Z{p>~Z- ρ（~Z）}，和双共轭ρ**ρ的定义为ρ**（~Z）=补充- ρ*（p） }。我们在定理3.3中总结了本文将使用的共轭对偶理论的一些结果。定理3.3。（共轭对偶理论（参见Rockafellar（1974）获得详细证明））给定任何函数ρ：R|Ohm|→R，双共轭满意度ρ**≤ ρ、 如果ρ是proper，下半连续的，凸的，那么下面的公式必须成立1。ρ=ρ**2.

给定任意给定Z*∈ dom（ρ）使得ρ（~Z*) 在~ Z处可细分*, 次级满意度ρ（~ Z）*) = ρ**（~ Z）*) = arg maxp{p>~ Z*- ρ*（p） }。我们的分析中还将使用以下引理，该引理给出了对偶CPieceSewise线性风险函数的共轭表示。引理3.4。给定顶点集{~Xj}j支持的任何对偶C-分段线性风险函数ρ∈J、 其中J：={1，…，\'J}和次梯度集C，其共轭形式为ρ*（y） =（maxj∈J{y>~ Xj- δ*j} ，y∈ R|Ohm|+∩ C∞ , y型/∈ R|Ohm|+∩ C、 其中δ*j=ρ（~ Xj），J∈ J我们现在进入分析的主体部分，一般包括三个主要步骤。首先，我们确定了最优解满足（5）的结构。然后，根据线性（和凸）约束导出了结构存在的必要条件和充分条件。最后，在前几步结果的基础上，考虑了与随机损失成对关系和给定解的最优性相关的约束，并根据凸约束导出了等价条件。我们在以下命题中提出了分析的第一步，其中确定了最优解的结构，该结构也是对偶C分段线性的。提案3.5。给定解决方案x*（d）∈ X（d），d=1。。。，D、 和对偶C-分段线性参考风险函数|ρcvx∈ RCVx由顶点集{~Yv}v支持∈在次梯度集C中，考虑问题infρ| |ρ- §ρcvx||∞以ρ为准∈ Rcvx（{（Lk，英国）}k∈K） ~W*（d）∈ 参数最小值~ W∈W（d）ρ（~ W），d=1。。。，D、 其中~ W*（d） ：=~ Z（x）*（d） ）和W（d）：={~Z（x）| x∈ X（d）}，d=1。。。，D、 设{~Xj}j∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪ {~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈K、 最优解ifexists允许由顶点集{~Xj}j支持的对偶C-分段线性函数ρpsu的形式∈Jand亚梯度集C.Proof。