凸风险函数的逆优化

我们生成以下返回sr，R：Ohm → 根据0.1的标准正态分布，两项资产的RR（ω）R（ω）=0.0325-0.0755,R（ω）R（ω）=0.1370-0.1712.利用这些回报，我们首先基于谱风险度量ρspec解决正向问题，然后基于OCE风险度量ρsOCE解决正向问题。在前者中，最优解是xSpec=, 而在后者中，关于参数s的各种选择的最优解如下所示。s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xsOCE=十、*十、*      0.34220.6578.然后，我们通过假设xsOCEand的最优性，使用ρspec作为参考风险函数，计算上述每种情况下的估算风险函数ρsic。为了阐明将最优解xSocein纳入估算风险函数的效果，我们在图1（分别图2）中给出了计算风险函数ρSic和光谱风险度量ρSpec的3D曲面图（分别为等高线图）。请注意，虽然绘制这些度量的接受集也有助于进行比较，但我们在这里提供了更详细的图形，希望为读者提供更好的直觉。从三维图中可以看出，虽然光谱风险度量具有圆锥体形状，它遵循其相干特性，但计算的风险函数往往会“弯曲”圆锥体的中心区域，从而降低与上述最优解xsOCE对应的值。

这种“弯曲”是以不对称的方式进行的，因此由此产生的插补风险函数保持法律不变。同时，估算的风险函数类似于光谱风险度量，其斜率以类似的方式延伸到侧面-R（ω1）0.50-0.5ρSpec-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=0.01）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=0.1）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=1）-0.5-0.500.50-0.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=10）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=50）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）-R（ω1）0.50ρIC（s=100）-0.5-0.500.50-0.50.5-R（ω2）图1：光谱风险的三维表面图测量ρspec和基于ρspec的计算风险函数ρsic，并计算s.5.2输入数据和结果的不同值。我们在本节中介绍了基于模拟和历史数据的实验。前者用于研究收益率分布平稳的情况，而后者可能涉及非平稳情况。采取以下步骤模拟管理者如何使用估算风险函数。首先，为了模拟过去的投资，我们基于OCE风险度量ρsoce和不同的参数选择来解决正向问题。然后，我们将获得的Portfolioxsocetother与预先指定的光谱风险度量ρspec一起输入到Proposition 4.9中的模型中，以生成估算的凸风险度量ρsIC。

最后我们求解ρSpec-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=0.01）-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=0.1）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=1）-R（ω1）-0.2 0 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=10）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2ρIC（s=50）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.2ρIC（s=100）-R（ω1）-0.2 0.2-R（ω2）-0.3-0.2-0.100.10.2图2：轮廓谱风险度量ρspec和基于ρspec的插补风险函数ρsic的图表，以及不同s值的XSoce。再次基于插补风险度量ρsic的远期风险最小化问题，获得投资组合xsIC。我们根据OCE风险度量ρsOCE、谱风险度量ρSpec和估算的凸风险度量ρsICin，分别比较了组合xsOCE、xSpec和XSicoptimized的样本内和样本外性能。在建立成果空间方面Ohm 以及相关的分配在任何这些风险度量中，假设客户和管理者都可以使用基于过去三十天的联合回报构建的统一分配。5.2.1结果基于模拟数据我们使用模拟数据进行了k=5000个实验。在每个实验中，一对平均uk∈ 兰德协方差∑k∈ R5×5是第一个分别由标度为0.1的标准正态分布和具有均匀分布系数的相关矩阵随机生成的。所有∑kare中的标准偏差均等于0.1。Wethen从正态分布n（uk，∑k）中随机生成5项资产的60天回报。前30天的回报用于样本内目的，后一半用于评估样本外绩效。所有投资组合xSpec、xsOCE和XSica均基于真实风险度量（即ρsocean）和参考风险函数（即ρSpec）进行评估。表2和表3给出了评估结果。

在读取表格时，当一个条目对应于组合xsICor xsOCEand/或由s参数化的度量ρsOCEparameterized时，s-每列顶部的值是指定参数的值。表中的所有值都是通过对5000次实验的性能进行平均计算得出的。（s）s）s）s（s）s（s）s（s）s）s（s）s（s）s（s）s）s（s）s）s）s（7）s）s）s（7）s）s（s）s）s）s（s）s）s）s（s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s（s）s）s）10.7.7.7.7.7.7）s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s）s（s）s）s）s）s）s）s）s）s）s）3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3）3）3.3.3）3.3.3.36-3.42xsOCE0。27 0.08-1.00-2.74-3.19-3.22表2:xSpec、xsIC、，根据参数s和参考风险函数ρSpec的不同选择，根据真实风险度量ρsoce对x进行评估。在表2中，不足为奇的是，就样本绩效而言，表现最好的投资组合是根据用于绩效评估的度量进行优化的投资组合。然而，我们应该注意到，如果根据真实风险度量ρsOCE对基于参考风险函数（即xSpec）优化的投资组合进行评估，则可以认为这些投资组合不令人满意。对于一些s值而言，它们的表现低于最佳投资组合XSoce近300个基点，即3个基点，这很难证明它们与客户期望的表现一致。另一方面，基于估算风险度量优化的投资组合，即xsIC，表现更接近最优投资组合XSoce，差异小于100个基点。

请注意，尽管通过构造估算风险度量ρsic保证了投资组合xsOCE的最优性，但最小化正向问题中的ρsICin并不一定会得到相同的最优解，即xsIC6=xsOCE。即便如此，当考虑到计算风险度量ρs相对于参考风险函数ρspec在各自投资组合绩效方面的改进时，将解决方案XSoce纳入估算风险度量的好处仍然很明显。同样，从我们对逆问题的表述中可以预期，估算的风险度量ρSic与谱风险度量ρSpec之间的差异不会太大。我们可以看到基于ρSpec的评估结果提供了证据，即在这种情况下，组合XSIC的表现也更接近最优组合，即X谱比组合xsOCE。这也证实了估算风险度量ρsic的有效性，以考虑参考风险函数ρSpec中包含的信息。表3中的样本外结果通常与表2的观察结果密切相关。有些例外情况是，投资组合xsICoutperform xsOCEin的ρsOCE（当s=50时）和优于xSpecin的ρSpec（当s=10、50、100时）。

虽然我们无法提供一个明确的答案来解释为什么ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-9.56-9.47-8.77-5.88-2.02-0.87xsIC-11.48-11.30-10.12-6.24-2.08-0.87xsOCE-12.14-11.99-10.66-6.30-2.06-1.05ρSpec（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=1 s=1 10 s=50 s=100xSpec-1.87-1.87-1.87-1.87-1.87-1.87xsIC-0.82-0.95-1.26-1.93-1.94-1.88xsOCE0。89 0.64-0.32-1.90-1.78-1.70表3：组合xSpec、xsIC和XSoce的平均样本外绩效（以百分比为单位）的比较，基于真实风险度量ρsocew，对参数s的不同选择进行评估，参考风险函数ρSpec为so，我们推测，估算风险度量ρsic的建立不仅基于度量ρsOCEorρSpec，而是基于两者中包含的偏好信息，即ρsocean的最优选风险文件和ρSpec的其他一般结构，提供了一定程度的保护以防止过度拟合。5.2.2结果基于历史数据根据历史数据集，我们考虑了1997年1月至2013年11月期间标普500指数中335家公司的每日历史回报。共进行了5000个实验，每个实验包括从335家公司中随机选择60天的时间窗口和5只股票。与基于模拟数据的实验一样，前30天的数据用于样本内计算，而后30天用于样本外评估。表4中给出的样本内性能比较与基于模拟数据的性能比较非常相似。对于任何s-价值，投资组合XSIC的绩效始终介于投资组合xsOCEand xSpec之间。

如果根据真实风险度量ρsOCE进行评估，那么在大多数情况下，组合XSpec的绩效仍然非常不令人满意，而组合xsICsigni显著改善了绩效。这表明，利用观察到的解决方案估算的风险度量的有效性对数据的生成方式并不特别敏感。然而，就组合XSpec和xsOCE之间的比较而言，表5所示的样本外绩效似乎不太一致。当基于ρsOCE进行评估时，portfolioxsOCEno在所有情况下都优于XSpec，并且对于基于ρSpec进行评估的每个情况，XSpec也没有优于XSoce。。尽管样本外错误导致了这种不一致性，但总体而言，XSICstill的性能始终介于XSpec和xsOCE之间，这可以作为估算风险函数的一个重要特征得出结论。ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-0.19-0.19-0.16 0.00 0.19 0.20xsIC-0.63-0.61-0.47-0.17 0.12 0.16xSoC-0.71-0.68-0.51-0.18 0.11ρSpec（p.p.）s=0.01 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec0。77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77xsIC2。04 2.03 1.73 1.25 0.90 0.80xsOCE2。68 2.64 2.09 1.34 0.94 0.80表4:xSpec、xsIC、，基于真实风险测度ρSocew，对参数s的不同选择和参考风险函数ρSpec.6的结论进行了评估。本文提出了一个涉及凸风险函数的风险规避优化问题的非参数逆优化框架。我们的重点是确保搜索可以在一组有意义的候选风险函数上执行，这很好地描述了一个人在风险方面的偏好系统。

Weat通过利用凸风险函数理论实现了这一点，凸风险函数为勾勒候选风险函数的一般属性提供了合理的基础，偏好诱导方案通过观察到的偏好关系缩小了候选风险函数集。我们确定了最终解的（lawinvariant）对偶C分段线性风险函数的表示形式，这有助于解释已知的初始风险函数（假设它也是（lawinvariant）对偶C分段线性）、凸可行集给定解的最优性以及表征候选风险函数集的条件。共轭对偶理论极大地促进了我们的分析，它将反问题转化为有限维凸规划。我们还通过数值实验证明，包含最优解信息的插补风险函数确实可以生成明显更接近真实风险水平的风险估计值。参考Acerbi，约2002年。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》26（7）1505–1518。ρsOCE（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=1 s=10 s=50 s=100xSpec-0.04-0.03 0.02 0.24 0.70 0.99xsIC-0.07-0.06 0.06 0.34 0.69 0.89xsOCE-0.08-0.06 0.10 0.37 0.69 0.85ρSpec（p.p.）s=0.01 s=0.1 s=10 s=50 s=100xSpec1。61 1.61 1.61 1.61 1.61 1.61 1.61xsIC2。59 2.55 2.34 1.89 1.59 1.52xsOCE3。18 3.15 2.68 1.97 1.61 1.49表5：组合xSpec、xsIC和XSoce的平均样本外绩效（以百分比为单位）的比较基于真实风险度量ρsocew，根据参数s的不同选择和参考风险函数ρSpec Ahuja，R.K.，J.B.Orlin进行评估。逆优化。

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