凸风险函数的逆优化

与前一节中的反问题（5）相比，问题（22）可能更为复杂，因为（22）中的约束需要满足所有排列的随机损失，因为定律不变性。即ρ（σ（~ Lk））≤ ρ（σ（~ Uk）），σ、 σ∈ ∑，K∈ K、 ρ（σ（~ W*（d） ））≤ ρ（σ（~W）），σ、 σ∈ ∑，~W∈ W（d），d=1。。。，D、 （24）其中~ W*（d） =~ Z（x*（d） ）和W（d）：={~Z（x）| x∈ X（d）}。集合{σ（~W）|σ的非凸性∈ ∑，~ W∈ W（d）}对于（24）中的任何固定d，可能会导致凸分析的使用困难。在下文中，我们将展示如何继续扩展前一节中的分析，以及如何将反问题（22）简化为有限维凸规划。这里也采取了类似的分析步骤，我们首先证明了最优解的结构，然后展示了如何通过线性和/或凸约束进一步表征该解。在下面的命题中，我们首先证明了最优解可以表示定律不变的对偶C-分段线性风险函数。提案4.7。假设假设假设4.3成立。给定解决方案x*（d）∈ X（d），d=1。。。，D、 和一个律不变的对偶C-分段线性参考风险函数ρFcvx∈由顶点集{σ（~ Yv）}σ支持的RFCVX∈∑，v∈对于次梯度集Cσ，考虑问题infρ| |ρ- §ρFcvx||∞以ρ为准∈ RFcvx（{（Lk，英国）}k∈K） （25）~西*（d）∈ 参数最小值~ W∈W（d）ρ（~ W）d=1。。。，D、 其中~ W*（d） =~ Z（x*（d） ）和W（d）：={~Z（x）| x∈ X（d）}。设{~Xj}j∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪{~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈K、 如果存在最优解，则其形式为alaw不变的对偶C分段线性风险函数ρl，p由顶点集{σ（~Xj）}σ支持∈∑，j∈Jand次梯度集Cσ。证据

我们证明了这一点，如果存在一个律不变的风险函数ρlthat，则对于上述问题，它是最优的，且最优值为u*< ∞, 必须存在一个律不变的对偶C-分段线性风险函数ρl，p采用以下形式并达到相同的最优值ρl，p（~Z）=supp∈Cσp>~ Z- 最大σ∈∑，j∈J{p>σ（~ Xj）- ρl（~ Xj）}。（26）这可以通过遵循命题3.5中完全相同的步骤来证明，因为上述公式是ρp（~Z）的特例，其中集合{~Xj}j∈在Proposition 3.5中的J（resp.C）被{σ（~Xj）}σ集替换∈∑，j∈J（分别为Cσ）和数量ρ（~ Xj）被ρl（σ（~ Xj））代替，由于ρl的法律不变性，可以将ρl进一步简化为ρl（~ Xj）。显然，根据命题3.6，定律不变的对偶C分段线性风险函数集也可以由有限维约束系统完全表征。最重要的是，请注意，给定最优解的结构，无需考虑约束ρ（~ W*（d） （）≤ ρ（~ W），W∈ W（d）覆盖所有随机损失排列。相反，如果给定一个律不变的对偶C分段线性风险函数ρl，则只需考虑约束ρl，p（~ W*（d） （）≤ ρl，p（~ W），~W∈ W（d），whichin turn立即表示不等式ρl，p（σ（~W*（d） ））≤ ρl，p（σ（~W）），~W∈W（d），σ、 σ∈ ∑。这种简化允许我们应用基于次梯度的最优性条件，并将给定解的最优性约束重新表示为凸约束。我们在附录中提供了这些步骤的详细信息，并给出了最终的配方。提案4.8。

命题4.7中给出的问题的最优解包含ρl，p（~Z）=supp∈R|Ohm|+∩Cσp>~ Z- 最大σ∈∑，j∈J{p>σ（~ Xj）-\'-δj}，（27）其中{~Xj}j∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪ {~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈Kand ~ Xd=~ W*（d） ，d=1。。。，D和δjc可通过以下凸规划计算n，δ，yσ，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ Jy>σ，j（σ（~ Xi）- σ（~ Xj））≤ δi- δj，（σ，j）∈ ∑×J，i 6=j，σ∈ ∑yσ，j∈ R|Ohm|+∩ Cσ，（σ，j）∈ ∑×J，（28）y>σ*,d～Xd≤ hd（yσ*,d） ，d=1。。。，Dδi≤ δj，（i，j）∈ B、 其中σ*yσ中*,D与置换相关，使得σ*（~ X）=~ X和u∈ R、 δ∈R | J |，yσ，J∈ RM，集合B：={（i，j）∈ {1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，and hd表示函数hd（y）：=minx{y>~ Z（x）| x∈ X（d）}。到目前为止，我们已经展示了如何将反问题（22）简化为有限维凸规划（27）和（28）。然而，这两个程序相对于~Xj的输入数据呈指数增长。在下一个命题中，我们进一步表明，可以将这两个程序缩减为仅以~Xj的规模进行多项式增长的程序。提案4.9。

命题4.8中给出的两个优化问题可以简化为ρl.p（~Z）=supp，t，vi，wip>~Z- t服从~>vi+~>wi≤ t+(R)δi，i∈ J（29）~ Xip>- vi ~>-~1w>i≤ 0，i∈ 日本∈ R|Ohm|+∩ Cσ，其中p∈ RM，t∈ R、 六∈ RM，wi∈ RM和δ可以通过以下优化问题来计算：minu，δ，yj，vi，j，wi，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ J（30）～>vi，J+～>wi，J≤ δi- δj+y>j ~ Xjj∈ Ji 6=j ~ Xiyj- vi，j ~>-~1w>i，j≤ 0 j∈ Ji 6=jyj∈ R|Ohm|+∩ Cσ，J∈ Jy>d ~ Xd≤ hd（yd），d=1。。。，D、 δi≤ δj（i，j）∈ B、 （31）其中yj∈ RM，u∈ R、 δ∈ R | J |，vi，J∈ RM、wi、j∈ RM，集合B：={（i，j）∈{1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，hd表示函数hd（y）：=minx{y>~ Z（x）| x∈X（d）}。基于上述简化程序和前一节中关于应用椭球方法的相同论点，我们还可以确定，如果满足定理4.4中所述的条件，则逆问题（22）可以在多项式时间内求解。这就完成了定理4.4的证明。对于情况R：=RFcvxm（{（Lk，Uk）}k∈K） 只包含定律不变的凸风险度量，逆问题（2）具有参考风险函数|ρ∈ RFCVxM也可以简化为类似的凸规划。由于步骤相似，我们仅给出最终结果。注意，凸规划也可以通过推论3.9中给出的相同条件进一步表示为子囊规划。我们跳过了它的演示。定理4.10。

定理4.4的结果可以推广到法律不变性凸风险测度的情况，即R：=Rcvxm（{（Lk，Uk）}k∈K） 和|ρ∈ Rcvxmin（2），考虑命题4.9中相同的凸规划，附加约束~>p=1 in（29）和~>yj=1，j∈ J英寸（30）。证明了当结果空间考虑一致概率测度时，反问题是多项式可解的Ohm, 我们将在下文中讨论，当仅作出以下温和假设时，如何普遍应用结果。假设4.11。所有随机损失的概率分布都采用有理数作为概率值。在这种情况下，给定任何离散概率分布FZ=Pτo=1'poDirac（zo），其中Dirac是Dirac度量，其所有权重均在zo上，人们总是可以等效地表示概率值'po，o=1。。。，τ乘以比率no/M，no∈ {1，…，M}对于someM∈ Z+。随机损失Z~ 因此，FZ可以等效地定义为结果空间的映射Ohm 对于满足z（ω）的R，M个均匀分布的结果∈ {z，…，zτ}和{ω∈ Ohm | Z（ω）=zo}|=(R)poM，o=1。。。，τ。然而，由于常数M可能需要更大，从而显著增加了优化问题（29）和（30）的规模，因此实施这样一个过程可能会有成本。在下面的命题中，我们表明，优化问题总是可以进一步简化为程序，其大小（几乎）仅取决于分布支持的大小，即| supp（FZ）|=τ，而不是结果空间的大小，即M。请注意，虽然下面的结果是基于定律不变的凸风险函数的情况给出的，通过增加定理4.10中给出的约束，它同样适用于法律不变凸风险度量的情况。提案4.12。考虑在Proposition 4.7中制定的逆优化问题（25）。

设{Fj}Jj=1是顶点{~Xj}j的支撑集中随机损失的分布∈J： ={~W*（d） }Dd=1∪ {~Yv}v∈五、∪ {~Lk}k∈K∪ {~英国}k∈K、 每个分布FJI由一对（~ Sj，(R)pj）指定∈ Rτj×Rτjsuch，即Fj=Pτjo=1'pjoDirac（（~Sj）o）。假设4.1和4.11成立，反问题（25）的最优解（如果存在）允许以下优化表示supp，t，vj，wjPτo=1'poZ（x，ξo）- t服从~>vj+~>wj≤ t+(R)δj，j∈ J ~ Sjp>- ∧jo （vj ~>）-~1w>j≤ 0，j∈ 日本∈ C Rτ+，其中p∈ Rτ，vj∈ Rτj，wj∈ Rτ，t∈ R、 以及o 是阿达玛产品。由（λj）m计算的系数∧jis，n=\'pξn/\'pjm，n=1。。。，τ、 m=1。。。，τj。可通过求解以下优化问题来计算参数δminu，δ，yj，vi，j，wi，ju-U≤ δj- §ρFcvx（~ Xj）≤ u j∈ J ~>vi，J+~>wi，J≤ δi- δj+y>j ~ Sjj∈ Ji 6=j（32）~ Siyj- ∧i，jo （六、j ~>）-~1w>i，j≤ 0 j∈ Ji 6=j（33）yj∈ Cj公司 Rτj+，j∈ Jy>d ~ Sd≤ hd（yd），d=1。。。，D、 （34）δi≤ δj（i，j）∈ B、 其中vi，j∈ Rτi，wi，j∈ Rτj，u∈ R、 yj公司∈ Rτj，~ Sd：=（Z（x*（d） ，ξ）。。。，Z（x*（d） ，ξτ））>，d=1。。。，D、 集合B：={（i，j）∈ {1，2，…，J}|（~ Xi，~ Xj）∈ {（~ Lk，~英国）}k∈K} ，hd表示函数hd（y）：=minx{Pτo=1yoZ（x，ξo）| x∈ X（d）}。系数∧i，jis由（∧i，j）m，n=’pjn/’pim，n=1。。。，τj，m=1。。。，τi.最后，上述设置Cj，j∈ {0}∪ J可以从cj中导出：={y | LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ}，（35），其中y∈ Rτj，λFj=（(R)pj|Ohm|, ..., (R)pjτj|Ohm|)>和（λFj）-1.o λFj=~ 1，且LFj:Rτj→ R|Ohm|表示与FJT关联的运算符，FJT在R中生成向量|Ohm|从尺寸为| supp（Fj）|的向量。具体而言，它复制给定向量的每个条目▄yo（▄y，▄yτj）>∈ Rτjby？pjo|Ohm| 很多时候，我们用~ yo表示复制，并生成一个向量（Y（ω）。。。，Y（ω|Ohm|)) 在R中|Ohm|通过串联复制向量，即。

（~y>，…，~y>τj）：=（▄y，▄y，▄y，▄y，▄y，▄y，▄yτj，▄yτj）。上述命题表明，通常反问题（22）可以通过具有中等维数的优化问题来解决。集合CJ的复杂性似乎仍然取决于结果空间的大小|Ohm|.如以下示例所示，在许多情况下，集合CJ允许不再取决于大小的公式|Ohm|, 因此，整个问题实际上可以独立于样本空间的精确构造来表述。特别是，我们考虑第2节中所述风险功能的实施。2作为反问题中的参考风险函数ρfcvx。根据我们的分析，我们首先推导出它们的顶点支持集{σ（Yv）}σ∈∑，v∈Vand次梯度Cσ通过应用统一概率测度，即P（{ωi}）=|Ohm|, ωi∈ Ohm 对于第2.3节中给出的SUPREUM表示。它们有相同的顶点支持集，即{~0}，相应的分布很简单，F=狄拉克（0）。我们在其次梯度支撑集Cσ和相应的约化集Cj下给出Cj：={y | LFj（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ}，其中Fjis通常由Fj=Pτjo=1'poDirac（（~S）o）表示。对于最大损失、期望值、平均上半偏差（平均绝对偏差）、条件风险值等情况的推导非常简单，我们给出了它们，以便本文能够自足。示例4.1。（最大损失）集合Cσ：={q | q>~ 1=1}，因此集合C={q | q>~ 1=1}。示例4.2。（期望）集合Cσ：={q | q=（1/M）~ 1}，因此集合C={q | q=(R)p}。示例4.3。（平均上半偏差）集合Cσ：={q | qi=M（1+γ（hi-Mh>~ 1）），MPi | hi | t≤ 1，h≥ 0}。

约束LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ 对于满足（LFj（（λFj））的任何i，j，Cσ导致hi=hj-1.o y） ）i=（LFj（（λFj）-1.o y） 因此，C={q | qo=(R)po（1+γ（ho-Pτjo=1'poho）），Pτjo=1'po'ho't≤ 1，h≥ 0}。示例4.4。（条件风险值）集合Cσ：={q | qi≤（1）-α） M，1>q=1}容易导致C：={q | qo≤1.-α′po，1>q=1}。而上面的例子导致了与样本空间无关的约化集COhm, 光谱风险度量在其全部通用性方面并非如此。这是因为人们总是可以通过增加样本空间的大小来寻求更“详细”的光谱φ。即便如此，出于实际目的，“逐步”频谱通常是有效的，可以将任何一般频谱近似到任何预定精度。我们给出了逐步谱的定义，并表明相应的约化集C不再依赖于Ohm.示例4.5。光谱φ-如果允许φ的表示，则称为逐步-（p） =KXk=1？φk（pk-1，pk]（p），对于一些0<φ<··············································································································································。在这里，PKI是一个理性的数字。基于表示式Cσ：=Conv（{σ（φ），σ∈ ∑}）从示例2.6中，我们在附录中显示LFj（（λFj）-1.o y）∈ R|Ohm|+∩ Cσ可以等效地表示为asy∈ C、 其中C：={q | q=\'q\'φ，\'q~1=\'p，\'q>约1=pφ，\'q≥ 0.}，其中\'Q∈ Rτj×Kand（pφ）k=（pk- 主键-1） ，k=1。。。，K、 5数值研究在本节中，我们将说明反向优化在投资组合选择问题上的应用。我们模拟了这样一种情况，即基金经理需要构建符合客户个人偏好的投资组合，但评估客户风险偏好的机会相当有限。快速且相对直观的评估方法是首先了解客户愿意在平均回报和下行风险之间进行的权衡。

我们假设客户同意经理的意见，即CVaR-90%为下行风险提供了一个合理的代理，他/她对以平均回报和下行风险的百分比形式提供相对权重表示可接受的交易效果感到满意。基于这些百分比，管理者可以将平均回报和下行风险结合起来，构建一个光谱风险度量，作为代表客户风险函数的初始代理。具体而言，百分比为0≤ λ≤ 1由客户给出，以指定以下光谱风险度量作为参考风险函数ρFcvx：ρSpec（~Z）=λE[~Z]+（1- λ） ρCV aR-90%（~ Z），在本节的其余部分中，我们假设客户选择λ=0.2。当然，鉴于该措施的特殊性质，客户和经理都不会也不会完全信任该措施。或者，客户可以进一步提供他/她过去的投资记录，以表明过去他/她认为什么样的投资机会更可取，并期望管理者构建的投资组合能够分担类似的风险。经理可以通过首先与客户确认他/她是否同意单调性、凸性和平移不变性条件来实现这一点。我们假设客户同意法律不变性条件，因为光谱风险度量是法律不变性的。最后，经理可以假设客户过去的投资x*根据以下远期风险最小化问题得出：minx{ρ(-Xixi ~ Ri）| ~>x=1，x≥ 0}，其中~ Ri∈ R|Ohm|表示资产i的随机回报，xistands表示投资于资产i的总财富的比例。

非负性约束x≥ 0假设客户只考虑多头头寸。我们假设在整个实验过程中，客户的真实风险偏好可以通过以下具有指数二效用函数的OCE风险度量（Ben tal和Teboulle（2007））：ρsOCE（~Z）：=inft{t+E[u（~Z- t） ]}，其中u（x）：=s（esx- 1） s是一个控制风险厌恶程度的参数。值得注意的是，选择这种风险度量的部分原因是其对偶形式ρsOCE（~Z）=supp{p>~Z的数量- sXiqiln（piqi）}，这是在分布稳健优化（DRO）领域进行研究的结果，显示了在面对不确定性分布时可能寻求最小化的最坏情况数量（Gotoh et al.（2015））。由于在我们的实验中，假设测量值是先验未知的，因此也有兴趣将实验视为一种尝试，以解决DRO的确切规格不确定且只能观察到相应的最优解的情况。在第5.1节中，我们首先提供一个小示例，直观地说明通过求解命题4.9中的逆模型获得的插补风险函数。第5.2节将提供基于模拟和历史数据的实验。所有计算均在Matlab 2014a中进行，使用GUROBI 5.0作为优化解算器。YALMIP（Lofberg（2004））用于在Matlab中实现我们的模型。5.1估算风险函数的说明请让我们首先考虑一个只有两种资产和两种可能结果的简单示例，即：。Ohm := {ω，ω}，这同样可能发生。