凸风险函数的逆优化

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英文标题：
《Inverse Optimization of Convex Risk Functions》
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作者：
Jonathan Yu-Meng Li
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The theory of convex risk functions has now been well established as the basis for identifying the families of risk functions that should be used in risk averse optimization problems. Despite its theoretical appeal, the implementation of a convex risk function remains difficult, as there is little guidance regarding how a convex risk function should be chosen so that it also well represents one\'s own risk preferences. In this paper, we address this issue through the lens of inverse optimization. Specifically, given solution data from some (forward) risk-averse optimization problems we develop an inverse optimization framework that generates a risk function that renders the solutions optimal for the forward problems. The framework incorporates the well-known properties of convex risk functions, namely, monotonicity, convexity, translation invariance, and law invariance, as the general information about candidate risk functions, and also the feedbacks from individuals, which include an initial estimate of the risk function and pairwise comparisons among random losses, as the more specific information. Our framework is particularly novel in that unlike classical inverse optimization, no parametric assumption is made about the risk function, i.e. it is non-parametric. We show how the resulting inverse optimization problems can be reformulated as convex programs and are polynomially solvable if the corresponding forward problems are polynomially solvable. We illustrate the imputed risk functions in a portfolio selection problem and demonstrate their practical value using real-life data.
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中文摘要：
凸风险函数理论现在已经很好地建立起来，作为识别风险规避优化问题中应使用的风险函数族的基础。尽管凸风险函数在理论上很有吸引力，但它的实现仍然很困难，因为对于如何选择凸风险函数以使其也能很好地代表自己的风险偏好，几乎没有指导。在本文中，我们通过逆优化的视角来解决这个问题。具体而言，给定一些（正向）风险规避优化问题的解数据，我们开发了一个反向优化框架，该框架生成一个风险函数，使正向问题的解达到最优。该框架结合了凸风险函数的众所周知的特性，即单调性、凸性、平移不变性和定律不变性，作为关于候选风险函数的一般信息，以及来自个人的反馈，其中包括风险函数的初始估计和随机损失之间的成对比较，作为更具体的信息。我们的框架特别新颖，因为与经典的逆优化不同，风险函数没有参数假设，即它是非参数的。我们展示了当相应的正问题是多项式可解的时，如何将得到的逆优化问题重新表示为凸规划，并且是多项式可解的。我们举例说明了投资组合选择问题中的插补风险函数，并使用实际数据证明了它们的实用价值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：Optimization Quantitative Applications Mathematical QUANTITATIV

凸风险函数的逆优化*2016年7月26日摘要凸风险函数理论现已被确立为识别风险规避优化问题中应使用的风险函数族的基础。尽管凸风险函数在理论上很有吸引力，但它的实现仍然很困难，因为对于如何选择凸风险函数以使其也能很好地代表自己的风险偏好，几乎没有指导。在本文中，我们通过逆优化的视角来解决这个问题。具体而言，给定一些（正向）风险规避优化问题的解决方案数据，我们开发了反向优化框架，该框架生成风险函数，使正向问题的解决方案达到最优。该框架结合了凸风险函数的众所周知的特性，即单调性、凸性、平移不变性和定律不变性，作为候选风险函数的一般信息，以及个人的反馈，其中包括风险函数的初始估计和随机损失之间的成对比较，作为更具体的信息。我们的框架特别新颖，因为与经典的逆优化不同，风险函数没有参数假设，即它是非参数的。我们展示了当相应的正问题是多项式可解的时，如何将得到的逆优化问题重新表示为凸规划，并且是多项式可解的。我们举例说明了投资组合选择问题中的估算风险函数，并使用实际数据证明了它们的实用价值。1简介自Artzner等人的工作以来建立的凸风险函数理论。

（1999），后来被F¨ollmer和Schied（2002）、Ruszczy'nski和Shapiro（2006）等推广，在现代风险规避优化模型的发展中发挥了核心作用。Ruszczy'nski和Shapiro（2006）的工作尤其揭示了凸风险函数与优化理论之间的密切关系，并为分析涉及凸风险函数的风险规避优化问题的可处理性提供了必要的工具。他们通过凸分析提供的统一方案也解释了几个凸风险函数的成功*加拿大渥太华渥太华大学特尔弗管理学院。联系人：jonathan。li@telfer.uottawa.cathat目前已不断应用于风险最小化，其中已知的最多的是条件风险价值（CVaR）（Rockafellar和Uryasev（2000））。然而，当该理论首次建立时，它并不是为了优化（即风险最小化），至少不仅仅是为了优化。相反，动机在于需要其他风险衡量标准，以更好地描述个人如何感知风险。例如，凸性的性质导致了术语“凸”风险函数，该理论将其假设为风险厌恶者如何感知风险的一个基本和普遍特征，即多元化不应是风险更大的。不幸的是，风险价值（VaR）这一行业标准衡量标准并不能满足该属性的要求，而CVaR作为满足凸性的对应标准，已成为该理论支持的流行替代方法。该理论中的其他属性在证明风险度量选择的合理性时也经常被提及，包括单调性和平移不变性（F¨ollmer and Schied（2002））、定律不变性（Kusuoka（2001））、正同质性（Artzner et al。

（1999）），以及共同知名度（Acerbi（2002）），等等。这些属性中的每一个都代表了在随机变量上如何感知风险的有充分根据的基本原理。有些是相当普遍的适用性，例如单调性和定律不变性，而另一些可以是领域相关的，例如平移不变性。尽管从优化和风险建模的角度来看，凸风险函数具有普遍的吸引人的特点，但迄今为止，关于如何选择也能很好地代表个人主观风险感知的凸风险函数，几乎没有提供指导。在目前的实践中，凸风险函数的选择大多是临时的，很少涉及决策者的真实风险偏好。这就提出了一个问题，即如何观察个人的风险偏好，以及如何生成符合所观察偏好的凸风险函数。Delage和Li（2016）似乎是第一个解决这一问题的人，他们提出了一种方法，通过比较风险随机损失对的决策者提供的评估构建凸风险函数。他们的工作与偏好（或效用）获取领域密切相关，在该领域中，在建立效用函数时，会考虑查询以提取用户的偏好。这项工作面临的主要挑战之一是，由于潜在的时间和认知限制，现实中决策者可能只能提供有限的响应，因此所获得的偏好信息往往是不完整的。Delage和Li（2016）将这种情况表述为偏好稳健优化问题，其中寻求符合决策者得出的有限数量成对偏好关系的最坏情况风险度量。在期待理论的背景下也可以找到类似的观点。

Armburster和Delage（2015）以及Hu和Mehrotra（2015）考虑了基于有限偏好信息的最坏情况预期效用函数的公式，而Boutilier等人（2006）则考虑了最坏情况后悔标准对效用函数的影响。在本文中，我们试图从另一个角度来研究凸风险函数，该函数考虑了决策者的真实风险偏好，即通过逆优化的视角。其动机是，在当今的许多应用程序中，有可能访问个人所做决策的记录，而过去的决策，如果是最佳决策，则会提供有用的偏好信息。此类偏好信息可被视为成对偏好关系的一种特殊形式，其中根据amade决策选择的随机变量被视为优于可通过备选决策选择的随机变量。如果备选决策是确定的，那么成对偏好关系也是确定的，然后可以通过现有的框架来处理，如Delage和Li（2016）。然而，这项工作的重点是，当备选决策可以通过凸集来描述时，这会导致许多现有框架无法处理的成对关系。此外，我们还认识到，在实践中，尽管个人对风险的认知有所不同，但出于沟通目的或其他一些实际原因，通常需要首先建立参考风险函数。在更精确的偏好信息被揭示之前，人们通常会密切关注这种参考函数。

解决上述问题的自然框架是建立逆优化；也就是说，给定一些以凸可行集为特征的正问题的解，逆问题寻求一个风险函数，通过与参考风险函数的最小偏差，使正问题的解达到最优。我们的反问题公式将允许在备选方案的凸集中以成对关系和“最优选”决策的形式合并偏好信息，并且允许合并凸风险函数的重要性质，即单调性、凸性、平移方差和定律不变性。我们展示了如何通过应用共轭对偶理论对由此产生的反问题进行分析，这似乎是从原始和对偶角度识别风险函数的关键。据我们所知，关于凸风险函数的逆优化，文献中几乎没有讨论过。Bertsimas等人（2012年）考虑了涉及使用一致风险度量的金融应用的反向优化，但他们假设该度量是先验的，并侧重于估计随机回报和风险预算的参数。Iyengar和Kang（2005）还应用反向优化来估计金融问题中的预期收益参数。更一般地说，已经为线性规划（Ahuja和Orlin（2001）、Dempe和Lohse（2006））、二次曲线规划（Iyengar和Kang（2005））和凸可分规划（Zhang和Xu（2010））开发了反向优化方法，以估计规划的特征参数。

早期作品还包括Burton andToint（1992）、Zhang和Liu（1996）以及Hochbaum（2003），重点关注网络和组合优化问题（参见Heuberger（2004）的调查），最近的作品包括Schaefer（2009）关于整数规划、Chan等人（2014）关于多目标、Ghate（2015）关于可数有限线性规划和Keshavarzet等人（2011），Bertsimas et al.（2014）、Aswani et al.（2015）和Mohajerin Esfahani et al.（2015）讨论了与解决参数优化问题的代理的多个响应观察相关的各种问题。在上述许多文献中，问题是以参数化的方式构造的，目的是从观察到的决策中估计表征正向问题的参数。然而，参数假设对于确定一个人的真实风险函数来说过于有限，因为它限制了真实风险函数可能属于的函数类别。它也不能保证收敛到真正的风险函数，即使可以获得一些诱导信息，如成对偏好关系。相反，本文提出的逆优化公式是无参数的，并且在凸风险函数的整个空间上搜索真实的风险函数。如果trueone是凸风险函数，则当收集到更多的诱导信息时，其解可以收敛到真实风险函数。从这个意义上说，我们的工作拓宽了逆优化的范围，为通过逆优化进行函数估计的非参数方法打开了大门。我们的贡献总结如下1。

我们首次开发了凸风险函数的逆优化框架，该框架生成了包含以下信息的风险函数：1）定义凸风险测度的单调性、凸性和平移不变性，2）定律不变性，3）正问题的可观测最优解，4）参考风险函数和5）观察到的成对偏好关系。2、我们以非参数的方式描述了逆优化问题，并展示了如何基于共轭对偶理论分析这些问题。我们证明了在很多情况下，逆问题的计算可处理性很大程度上取决于正问题；也就是说，前者是多项式可解的，如果后者是多项式可解的，则可以作为二次曲线程序求解。3、我们引入了对偶C分段线性风险函数的概念，它表征了反问题的解，并作为许多著名风险函数的自然推广。4、我们展示了我们的框架在投资组合选择问题中的应用，并提供了计算证据，证明估算风险函数很好地利用了可观测解和参考风险函数中包含的偏好信息，这导致了一个解决方案，该解决方案可以根据真实风险函数和参考风险函数评估的bothits性能进行很好的调整。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了一个反问题的通用模型，其中使用凸风险函数理论的结果以非参数方式制定了四组不同的候选风险函数。

我们还简要回顾了凸风险函数的表示定理。在第3节中，我们研究了凸风险函数（测度）的一般情况下提出的逆模型，并提供了证明模型可跟踪性的步骤。在第4节中，我们将前一节中开发的分析扩展到了法律不变性风险函数的情况，并解决了由此设置引起的额外复杂性。最后，我们在第5节中展示了在投资组合选择问题中使用插补风险函数的优势。2风险函数的逆优化我们首先将风险最小化正问题的符号形式化，然后继续逆问题的一般公式。在逆问题的整个表述过程中，将提供关于凸风险函数的必要背景。2.1风险最小化正向问题考虑样本空间Ohm 让Z表示一个随机变量Ohm, i、 e.Z：Ohm →R、 在不丧失一般性的情况下，本文假设任何随机变量Zr都存在某种形式的损失，这意味着它具有对任何ω的解释∈ Ohm Z（ω）越大，情况越糟。这有助于定义本文后面介绍的风险函数。让x∈ Rnbe是在实现结果ω和X之前必须实现的决策变量 RN表示可用解决方案集。我们用Z（x）表示：Ohm → R决策x产生的随机损失。确定解x的最优性*∈ 我们需要首先建立一个偏好关系系统 过随机损失Z：={Z（x）}x∈十、 其中任意Z，Z∈ Z、 Z Z代表Zis优先于Z。

对于系统，最佳解决方案x*满足Z（x*)  Z（x），十、∈ X，或等效的lyz（X*)  ZZ∈ Z、 风险函数ρ是捕捉偏好关系的数值表示 就随机损失的风险而言，即如果认为风险较小，则随机损失Z更可取。在本文的其余部分中，我们关注的是风险函数ρ在随机损失上定义的情况，该损失基于一个具有确切人数的样本空间Ohm := {ωi}Ni=1。在此设置中，任何随机损失Z也可以用向量Z表示∈ R|Ohm|, 式中（~Z）i=Z（ωi），决策x产生的随机损失可由~Z（x）：=（Z（x，ω）。。。，Z（x，ωN））>∈ R|Ohm|. 如果随机损失Z被认为至少与Z一样危险，即Z Z、 风险函数ρ：R|Ohm|→\'R，其中\'R：=R∪ {-∞, +∞} 应满足ρ（~ Z）≤ ρ（~ Z）。因此，解决方案x*等时充要条件是满足ρ（~Z（x*)) ≤ ρ（~ Z（x）），十、∈ 风险最小化问题可以用最小值来表示∈Xρ（~ Z（X）），（1），其中X RN表示可行解的凸集。在上述正向问题中，假设风险函数ρ给定（相当于偏好系统 可用）和最佳解决方案x*∈ X是问题的根源。2.2逆优化问题的模型在逆优化问题中，我们假设如下：1）一系列解x*（d）∈ Rn，d=1。。。，D、 可以从分别由可行集X（D）表征的正向优化问题（1）中观察到 Rn，d=1。。。，D、 2）包含真实风险函数ρ的一组风险函数R*可以识别，3）可以提供参考风险函数ρ，作为真实风险函数ρ的初始估计值*.