弱模型依赖壁垒产品的定价

解决更好的定价精度需要使用δ模型6=0的随机计算。虽然δ模型的计算需要对波动率表面进行重新校准，并且对模型敏感，但我们在附录C中讨论的市场参数集得出的结论是，可以获得±1%的价格精度，该结果包括与选择替代随机模型相关的差异。四、 分析市场数据a。产品选择为了本研究的目的，我们选择了两种在瑞士市场上市的奖金证书（SIX Swiss Exchange AG）进行定价。它们都是单一的基础产品。第一个产品（ISIN CH0245337099）的基础是标准普尔500指数，而第二个产品（ISIN CH0245336034）则写在欧元STOXX50价格指数上。第一种工具只有在到期时才有障碍观察（EuropeanBonus Certificate），而第二种工具的障碍观察是连续的（American Bonus Certificate）。选择这些特定产品背后的原因与以下事实有关：在本研究中，我们感兴趣的是研究基于指数而非单个股票的结构化产品的行为。这是因为主要指数的期权表现出一些标准化的模式。此外，由于此类期权的巨大需求和流动性，查找和提取高质量和高质量数据的任务变得更加可行。最后，我们选择单一基础产品而非篮子奖金证书，因为此类产品所表现出的额外困难主要是由于有必要对篮子中所含基础之间的相关性进行建模，这一主题超出了本研究的范围。B、 欧洲奖金证书1。

数据选择我们选择对标普500指数上的欧洲奖金证书进行定价，从2015年2月2日起至2015年11月30日止的七个不同的价格（数据集的详细表示见附录）。我们之所以选择这些日期，是因为该产品的成熟期长达三年，这意味着出于定价目的，我们需要对标的资产标准普尔500指数的普通期权进行看跌期权定价。然而，由于我们无法找到到期日超过2年的标准普尔500指数期权报价。5年内，我们有义务将第一个定价日期设定为2015年2月2日。我们选择特定日期的另一个原因与产品在所选日期的定价水平有关。如下文所述，所选日期的市场价格从189.7美元到207美元不等。对于上述选定的每个日期，我们已决定降低标准普尔500指数所有罢工和所有可用到期日（超过两个月）的看涨期权和看跌期权的价格。这些价格使用附录A中描述的三种不同模型进行校准。校准结果将决定我们将使用的模型，以便为我们的产品定价。此外，校准参数对于欧洲奖金证书的定价至关重要，因为它们通过pH输入（17）-如第2章所述，使用现有模型获得的累积密度函数计算。结果我们选择使用静态移位对数对数正态模型（SSLN）和SABR（β=1）对欧洲奖金证书（EBC）进行定价。从我们的校准结果可以看出，SABR（β=1）模型的ρ参数通常等于0.99。在这种情况下，SABR（β=1）模型成为所谓的指数SLN。

我们使用的方法包括以下步骤。首先，我们校准所有可用日期的期权观察市场价格。对于产品到期日之前和之后的两个日期，我们在使用每个日期的最佳校准参数后，插入模型生成的价格。其次，我们在拟合更高阶多项式以获得更高精度后，获得与所需日期相对应的参数。有关多项式拟合和插值结果的更多详细信息，请参见附录A。最后，在为每个定价日期设置了一组最佳和插值参数后，我们将其插入方程（17）中，以获得模型价格。从表一可以看出，两种模型得出的价格都接近市场价格。SLN似乎给出了平均2.07%的定价过高值，而SABR（β=1）平均为1.87%（绝对值）。这一结果似乎与我们的假设一致，即使用SSLN或SABR获得的价格不应表现出显著差异，因为79.5%的壁垒水平附近的市场价格的设置似乎可以忽略不计（见图中的壁垒）。价格日期市场价格SSLN价格SABRβ=1价格2012年2月194.1 199.87（2.97%）195.99（0.98%）2015年3月24日205.2 208.56（1.64%）204.11（0.53%）2015年5月26日206.1 209.28（1.54%）202.51（1.75%）2015年8月24日189.7 189.77（0.04%）185.43（2.25%）2015年9月22日191.5 195.14（1.90%）194.42（1.52%）2015年10月22日202 205.03（1.50%）196.85（-2.55%）2015年11月30日207 208.89（0.92%）199.73（-3.51%）表一：欧洲奖金认证pricingresults。括号中的数字是模型和市场之间的误差。C、 美国奖金证书1。数据选择对于美国奖金证书，我们再次选择了七个不同的定价日期，从2014年7月8日开始，到2015年9月1日结束。

由于该产品的到期时间为两年，因此我们可以在启动（首次上市日期）开始对其进行定价，因为我们可以获得两年以上到期的EUROSTOXX500价格指数的卖出和买入价格。同样，与欧洲奖金证书一样，日期选择的方式反映了产品生命周期中的不同级别。在这种情况下，定价范围从90.2%到108.3%。我们遵循与欧洲产品完全相同的步骤，在EUROSTOXX 500上获得所有可用罢工和到期的通知和定价，然后使用上一节中提到的模型对其进行校准。2、结果对于美国奖金证书，我们使用与欧洲相同的程序，但我们进一步使用蒙特卡罗方法，这是计算进入方程（1.2）的δ参数所必需的。我们使用两种不同的模型（静态q SLN和动态q SLN）进行蒙特卡罗（MC）模拟。对于动态q情况，我们选择在假设q遵循幂律后运行MC模拟（见附录）。然而，如表二所示，值得注意的是，假设δ参数等于0后，SLN可以获得最准确的价格。更具体地说，对于SLN加δ=0、SSLN MC和DynamicSLN MC，模型和市场价格之间的平均绝对差异分别为1.08%、2.26%和2.37%。五、 结论Bonus Certificates和Barrier Reverse Convertiblecontracts是受欢迎的屏障结构产品。可以根据欧洲壁垒条件对这些产品进行定价，前提是提供与所选结构化产品到期日匹配的期权价格数据。如果是这样，可以采用基于内插期权价格的标准定价方法。

本文讨论了一种基于SABR公式外推的插值方法。我们最终得出结论，对于广泛的市场参数，这种插值可以限制在最基本的水平，包括使用基于转移对数正态分布的定价。美国红利证书（ABC）和美国障碍反向可转换（ABRC）合同是路径敏感产品。他们的定价通常被视为需要完全随机建模，需要校准整个波动率表面，通常需要进行蒙特卡罗计算以找到正确的定价。本文提供的数据分析表明，ABC和ABRC产品的价格都可以描述为一个大幅度下降的总和。令人惊讶的是，对于相当广泛的市场和产品参数，主要条款为结转价格日期市场价格SLN（加δ=0）SLN静态MC SLN动态MC08/07/2014 97.6 94.82（-2.85%）94.37（-3.30%）94.12（-3.56%）08/2014 90.2 89.93（-0.30%）91.77（1.74%）91.66（1.62%）19/09/2014 96.8 97.20（0.42%）96.16（-0.66%）96.01（-0.81%）28/11/2014 97 96.26（-0.75%）95.36（-1.69%）95.29 1.76%）2015年2月3日102.1 99.81（-2.24%）98.54（-3.48%）98.32（-3.70%）2015年6月1日108.3 108.77（0.44%）106.57（1.59%）106.48（1.68%）2015年9月1日96.65 97.20（0.57%）99.90（3.37%）99.96（3.43%）。表二：美国奖金认证定价结果。括号中的数字是模型和市场之间的误差。不少于产品价值的96%-97%，与路径无关，例如。

可以在没有随机建模的情况下进行计算。产品和的值的表达式具有以下形式：∏modelABC=K- （K）- B） （2+δ模型）pH-+ 呼叫（K，S）BC（46）∏modelABRC=K- （K）- B） （2+δ模型）pH-+ RC（47）在两种价格中，贡献构成修正条款(不列颠哥伦比亚省，RC）影响价格低于±0.5%。pH值的数量-并调用（K，S- 0）根据到期价格的插值期权计算。与δ模型成比例的线性项是唯一反映价格（46）和（47）路径敏感方面的项。该参数的简单含义是，突破屏障并在其上方结束的概率与突破屏障并在其下方结束的概率成比例。这意味着随机计算可以简化为仅计算。随机计算需要选择一个随机模型，将其校准到波动率表面，然后计算路径依赖值。所有这些步骤都容易出现错误，并且在选择正确的随机模型方面存在额外的模糊性。然而，这些潜在的错误和差异被进一步“压缩”，因为它们构成了一个不超过总价的组成部分。最终，对于AND产品的典型参数，我们可以确定其价格，精确度不低于±1%，包括使用替代随机模型计算所造成的差异。我们得出结论，在与市场波动性和单一基础产品参数相关的典型情景中，以下不等式适用：K- 黑色≥ M1年σ√T（48）例如。

屏障等级如下：B≤ K1.-M1年σ√T（49）在上述等式（48）中，M1年的σ是相关标的1年期期权的波动率，以及T是产品开始时的持续时间。假设（48）成立，我们可以做一个近似值，忽略从开始、在某个阶段到达障碍并最终在走向上方结束的轨迹密度。如果这一假设正确，美国红利证书和美国障碍反向可转换合同的定价将大大简化，我们以表达式（46）和（47）结束。δ表达式给出的结果深入了解了波动性表面的倾斜和微笑对产品价格的影响，即所有都只反映在δ模型参数中，选择δ模型=0对应于使用对称扩散模型。综上所述，我们已经表明，与波塔米亚和欧洲壁垒条件下的红利证书和壁垒反向可转换合同的定价精度非常相似，而美国产品的定价具有相对较小的路径依赖成分。[1] 布鲁诺·杜皮尔。微笑定价。1994年【2】吉姆·盖瑟拉尔。波动表面：从业者的指南。2006年【3】P.Hagan、D.Kumar和A.Lesniewski。管理smilerisk。Wilmott杂志，2002年。[4] R.Korn和S.Tan。正态SABR模型的精确解析解。Wilmott杂志，2014年。[5] J.Kuklinski、D.Negrou和P.Pliszka。使用移位对数正态和SABR随机模型对spx和dax指数期权的倾斜和微笑进行建模。arXiv:1404.46592014。[6] 扬·拉斐尔·库克林斯基。2015年9月《金融工程理解波动性和商品》课堂讲稿。[7] R.洛德。SABR模拟的50个阴影。在BacelierFinance Society，第八届世界大会上。[8] Martin F.Meier和Daniel Sandmaier。模具焊接Destructurierten Produkte。

2012年【9】J.Obloj。微调你的微笑，纠正哈根等人的错误。威尔莫特杂志，2008年第35期。附录A：普通产品定价和内部市场期权价格Vanilla看涨期权和看跌期权在到期时的概率分布（例如概率密度ρ（φ））上起作用：看涨期权（K，S，t，t）=V Dt，TZ∞Kdφ（φ- K） ρ（φ）（A1）P ut（K，S，t，t）=V Dt，TZK-∞dφ（K- φ） ρ（φ）（A2），其中Dt，是贴现系数，V是体积系数。上述表达式可以推广到具有任意payoff函数f（φ）∏V anillaSP（S，t，t）=V Dt，TZ的一般结构产品（SP）∞-∞dφf（φ）ρ（φ）（A3）欧洲红利证书和EuropeanBarrier反向可转换产品属于EQ规定的类别。（A3）底层的分布具有一般形式ρ（Ft，T，T，T；φ），其平均值称为正向Ft，T=R∞-∞dφφρ（φ）。通常假设概率分布ρ（Ft，T，T，T；φ）的演化遵循鞅随机运动。远期曲线Ft和贴现函数Dt、tca的形状可以根据市场数据确定，并很容易叠加到我们使用的随机模型上。为了简单起见，本文中给出的所有公式都将使用近似值ft，T=S≡ F和Dt，T=1和V=1是假设，而在计算中，我们使用V=1，同时远期和贴现曲线的形状根据市场数据进行调整。我们首先对att=T到期的香草产品进行定价，假设在同一日期或非常接近该日期到期的期权的市场价格可用。在这种情况下，基于选定的随机推断模型，我们找到了普通期权的插值价格。

利用这些价格，我们计算了累积（cdf）概率分布：DinterpolatedT（φ≤ S）=φP utinterpolatedT（φ≤ S） （A4）DinterpolatedT（φ>S）=1-φCallinterpolatedT（φ>S）（A5）我们将使用几个模型来插值观测期权市场价格。对于所有这些，我们使用最小二乘原理调整模型参数，并将以下数量最小化：E=nXj=1P utmarketT（φj≤ S）- P utmodelT（φj）P utmarketT（φj≤ S） +P utmodelT（φj）+nXi=1Callmarket（φi>S）- CallmodelT（φi）callmarket（φi>S）+CallmodelT（φi）（A6）在此基础上，我们根据公式（18）和（19）计算ρ插值（φ）。对于插值市场数据期权价格，我们交替使用三种模型：（A）移位对数正态模型SLN模型如下：DSLN（K）=N(-d） （A7）呼叫Ln=DV×（F）- K） N（d）+FqN（d）- N（d）（A8）P utSLN=DV×（K）- F）N(-d） +FqN个(-d）- N个(-d）（A9）式中'σ=σq√T- t、 d1,2=-q'σln1+qK-FF公司±q’σ。转移对数正态模型有两个参数可根据市场进行调整：\'σ和s=q\'σ。第一个参数几乎与货币期权的价格成正比：∏SLNAT M=F DV'σs2N（s）- 1.~=F DV'σ√2π（A10）第二个参数s与看涨期权和看跌期权价格的货币不对称性有关。对于s=0，我们有“无偏差”，例如，期权价格服从对称的Bachelier定价。SLN模型通常能很好地描述近在咫尺的期权，但它往往无法重现远距离罢工的价格。本文讨论的分析结果表明，在分析倾斜市场上壁垒产品的特征时，SLN模型提供的市场插值通常令人满意。（B） SABR定价SABR随机模型在期权定价中被广泛使用。

期权价格的近似但通常准确的表达式通过与履约相关的隐含波动率σSABRN（x），（x=K）给出-FF）。看跌期权和看涨期权的价格遵循经过调整的波动率的单一价格。我们得到的卖出价为：Phgansabr（F，K，’σ）~=F×（A11）xNx'σSABRN（x）+(R)σSABRN（x）√2πe-x'σSABRN（x）!累积概率没有已知的解析表达式，但我们很容易使用：DHaganSABR（K）=KPHaganSABR（F，K，’σ）（A12）=Nx'σSABRN（A13）+K'σSABRN（x）E-x'σSABRN（x）√2π在我们的分析中，我们使用哈根价格作为插值工具，因此我们不将解的参数调整为萨布斯托卡斯蒂克方程的参数，但我们使用与观测价格直接相关的参数：(R)σSABRN（K）=σξH（ξ）（A14）ξ=ν√t’σ1- β1.- （1）- x） 1个-β（A15）H（ξ）=lnp1- 2ξρ+ρ+ξ- ρ1- ρ！（A16）对于β=0，我们得到ξ=xν√当β=1时，我们得到ξ=ln（1+x）ν√T/(R)σ。SABR参数化涉及4个参数（(R)σ，ρ，ν，β），其中-1.≤ ρ≤ 1和0≤ β≤ 1、同样，第一个参数与ATM价格成比例，而其他三个参数描述的是期权价格曲线的形状。通常情况下，可以选择β=0或β=1，但在我们的方法中，我们将所有参数视为插值工具。（C） 外推SABR/SLN-HEX定价SABR定价通常很有效，但仍需要进行调整，以改进建模实际市场价格。我们使用了一个进一步的推断，该推断基于本书作者之一不久前介绍的所谓十六进制价格[6]。