弱模型依赖壁垒产品的定价

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英文标题：
《Pricing Weakly Model Dependent Barrier Products》
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作者：
Jan Kuklinski and Panagiotis Papaioannou and Kevin Tyloo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We discuss the pricing methodology for Bonus Certificates and Barrier Reverse-Convertible Structured Products. Pricing for a European barrier condition is straightforward for products of both types and depends on an efficient interpolation of observed market option pricing. Pricing products We discuss the pricing methodology for Bonus Certificates and Barrier Reverse-Convertible Structured Products. Pricing for a European barrier condition is straightforward for products of both types and depends on an efficient interpolation of observed market option pricing. Pricing products with an American barrier condition requires stochastic modelling. We show that for typical market parameters, this stochastic pricing problem can be systematically reduced to evaluating only one fairly simple stochastic parameter being the asymmetry of hitting the barrier. Eventually, pricing Bonus Certificates and Barrier Reverse Convertibles with an American barrier condition, shows to be dependent on stochastic modelling only within a range of $\\pm\\frac{2}{3}$ of accuracy - e.g. within this accuracy limitation we can price these products without stochastic modelling. We show that the remaining price component is weakly dependent on the stochastic models. Combining these together, we prove to have established an almost model independent pricing procedure for Bonus Certificates and Barrier Reverse-Convertible Structured Products with American barrier conditions.
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中文摘要：
我们讨论了红利证书和障碍反向可转换结构性产品的定价方法。欧洲壁垒条件下的定价对于这两种类型的产品都很简单，并且取决于观察到的市场期权定价的有效插值。定价产品我们讨论了红利证书和障碍反向可转换结构化产品的定价方法。欧洲壁垒条件下的定价对于这两种类型的产品都很简单，并且取决于观察到的市场期权定价的有效插值。美国壁垒条件下的产品定价需要随机建模。我们表明，对于典型的市场参数，这个随机定价问题可以系统地简化为只评估一个相当简单的随机参数，即击中障碍的不对称性。最终，在美国障碍条件下，奖金证书和障碍反向可转换债券的定价取决于随机建模，仅在$\\pm\\frac{2}{3}美元的精度范围内-例如，在该精度限制范围内，我们可以在不进行随机建模的情况下对这些产品进行定价。我们证明了剩余价格分量对随机模型的弱依赖性。将这些结合在一起，我们证明已经建立了一个几乎模型的独立定价程序，用于美国壁垒条件下的红利证书和壁垒反向可转换结构性产品。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-25 12:09:17 上传

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关键词：certificates Mathematical Quantitative Convertible Certificate

弱模型依赖壁垒产品定价Jan Kuklinski，*Panagiotis Papaioannou和Kevin Tyloofault\'e des HEC，Universit\'e de Lausane，CH-1015 Lausane，Switzerland（日期：2018年8月22日），我们讨论了红利证书和障碍反向可转换结构化产品的定价方法。欧洲壁垒条件下的定价对于两种类型的产品都很简单，并且取决于观察到的市场期权定价的有效插值。美国壁垒条件下的产品定价需要随机建模。我们表明，对于典型的市场参数，这个随机定价问题可以系统地简化为只评估一个相当简单的随机参数，即击中障碍的不对称性。最终，pricingBonus Certificates and Barrier Reverse Convertibles with a American Barrier condition表明，其依赖于随机建模，仅在±精度范围内-例如，在此精度限制范围内，我们可以在无需随机建模的情况下对这些产品进行定价。我们证明了剩余价格分量对随机模型的弱依赖性。将这些结合起来，我们证明已经建立了一个几乎模型的独立定价程序，用于红利证书和具有美国壁垒条件的壁垒反向可转换结构化产品。一、 简介结构化产品构成了现代金融世界的很大一部分。这些产品的结构方式为投资者提供了机会，让他们能够获得各种基础资产的复杂衍生品。由于它们是预包装投资，因此它们的创建方式可以满足不同的风险/回报偏好。为了使产品对投资者更有吸引力，发行人通常会引入一些额外的特征，这些特征的存在会改变工具的收益。

一个非常流行的特性是引入了屏障级别。根据每种产品的结构，屏障的作用可能不同。在任何情况下，屏障的引入都会使此类产品的定价更具挑战性。在本研究中，我们重点关注BonuCerti ficate和Barrier反向可转换产品的定价。奖金证明吸引了投资者，因为它可以无限参与标的资产的上行，并根据标的资产达到临界水平的事件提供某种保护。只要不超过障碍物水平，障碍物倒车敞篷车将提供更高的性能。这种提高收益率的资产非常有趣，尤其是在当前传统投资工具回报率非常低的环境下。对于这两种仪器，突破屏障水平会对性能产生不利影响。对于欧洲工具，违约事件发生在生命周期结束时，可以使用内插期权价格得出的概率分布来计算违约概率。此外，对*1月。kuklinski@unil.chEuropean产品在这样的概率分布上起作用，不需要路径依赖的随机计算来执行估值。对于美国票据，只要价格在产品生命周期内超过壁垒水平，就会发生违约事件。计算这种破坏的概率需要路径相关的随机演算。乍一看，红利证书和BarrierReverse可转换债券具有很强的路径依赖性，这意味着需要进行深入的随机计算才能正确评估这些产品的价值。

这种强大的路径依赖性计算会导致两个潜在的困难问题：（a）随机模型的选择并非没有歧义，最终的选择可能会强烈影响结果，这是一个非期望的特征。（b） 假设选择了一个随机模型，则需要根据期权市场数据进行校准，并通过蒙特卡罗计算进行求解，这两个过程都可能复杂且容易出错。本文的中心结果是，我们表明，对于与市场波动性水平和障碍水平相关的典型市场配置，随机建模可以大大简化，美国红利证书（ABC）和美国障碍反向可转换债券（ABRC）的估值仅取决于一个路径相关参数，即击中障碍并越过障碍的轨迹数量与击中障碍并低于障碍如本文所示，屏障和走向之间非常典型的分离条件描述为B S<K允许在良好近似的情况下，对ABC合同∏模型ABC定价~=K-（K）-B） （pmodelH++pH-) + 调用（K，S）（1）在上面的等式（1）中，只有pmodelH+（击中屏障并结束于以上的概率和pH-isthe same but ending below）取决于随机模型，例如路径依赖。其余参数（pH-, 看涨期权（K，S）将根据期权价格数据的插值计算。我们将此结果重写为∏modelABC~=K-（K）-B） （2+δ模型）pH-+用δ模型=pmodelH调用（K，S）（2）+-pH值-pH值-. 取δmodel=0为基本的“无模型”近似值。实例表明，这给出了正确的市场价格，准确率为±%。考虑δ模型的“正确”值需要使用根据观察到的波动率表面校准的特定随机模型。

正如本文所讨论的，使用两个逻辑完全不同的模型，得出的差异不超过±0.5%。这使我们得出结论，美国奖金证书goesvia的定价是一种非常有效且弱模型依赖的建模。如单独所示，相同的逻辑适用于American Barrier Reverse Convertible产品。二、具有单一基础红利证书合同（BC合同）的红利证书产品基于下图所述的障碍支付规则：损失基础红利证书（B）罢工（K）图1：红利证书支付。我们将重点关注基于单一基础的C合同。在这种情况下，支付机制通常由两个参数描述；障碍带K。对于具有欧洲障碍条件（EBC）的合同，根据到期时标的物的价值，合同的支付如下：（a）如果≥ B然后合同最后支付C=max（ST，K）。（b） 如果ST<b，则合同在C=ST结束时支付。从上面可以看出，只要最后没有突破障碍，合同支付的金额就高于其初始价值。对于美国奖金认证产品（ABC），其机制是不同的。如果在合同期限内未违反屏障，例如S0<t<t>B，则合同在结束时支付以下金额：C=最大值（ST，K）（3），如果屏障已被违反，例如，对于一些twehad ST≤ B、 支付是成比例的，不再受到障碍的保护：C=ST（4）市场上有针对各种基础的此类合同。典型的参数是，障碍和罢工水平约为初始现货价格的70%和105%。A.

定价欧洲奖金证书我们将使用附录A中所述的内插概率对EBC合同进行定价。对于EBC，到期时基础的概率分布决定产品的价值。最终，EBC合同的预期收益为：∏interpolatedbc=πaBN+πbBN+πBH（5）∏aBN=KZKBdφρinterpolatedT（φ）（6）∏bBN=K+Z∞Kdφ（φ- K） ρ插值t（φ）（7）∏BH=ZB-∞如我们所见，价格由三项组成：（a）对于B≤ ST公司≤ K对于ST>K，支付系数为C=K（b），对于ST<b，我们得到∏bBN（C），对于ST<b，我们得到∏BH。我们可以将EBC合同的支付改写为∏interpolatedbc=∏αBN+∏βBN+∏αBH- ∏βBH（9）∏αBN=KZ∞Bdφρ插值t（φ）（10）∏βBN=Z∞Kdφ（φ- K） ρ插值t（φ）（11）∏αBH=BZB-∞dφρ插值t（φ）（12）∏βBH=ZB-∞dφ（B- φ） ρinterpolatedT（φ）（13）上述公式使用：Call（K，S）=Z∞Kdφ（φ- K） ρ插值t（φ）（14）P ut（B，S）=ZB-∞dφ（B- φ） ρ插值（φ）（15）pH-=ZB公司-∞dφφρ内插t（φ）（16）最终，EBC合同的付款为：∏内插dbc=K-（K）-B） pH值-+呼叫（K，S）-P ut（B，S）（17）上述所有量都需要计算概率密度ρ插值t（φ）。后者使用公式：ρinterpolatedT（φ≤ S）=φP utinterpolatedT（φ≤ S） （18）ρ插值（φ>S）=φCallinterpolatedT（φ>S）（19）附录A中描述了根据观察到的市场数据调整的插值期权价格的表达式以及拟合程序。插值基于两步调整：（a）根据SABR随机模型将市场价格拟合为期权价格的扩展公式（b）对尾部价格进行调整。第5章讨论了市场数据和拟合价格之间的对应关系分析。B

美国奖金认证产品的定价根据附录B中规定的条件概率，ABC合同的预期收益为：∏模型ABC=aBN+bBN+BH（20）∏aaBN=KZ∞Bdφρ模型BN（φ）（21）∏bbBN=Z∞Kdφ（φ- K） ρmodelBN（φ）（22）∏BH=Z∞-∞dφφρmodelBH（φ）（23）在上述中，我们使用未击中势垒的概率密度条件（ρmodelBN（φ））和击中势垒的条件（ρmodelBH（φ））。我们可以立即解决：ρinterpolatedBH（φ<B）=φP utinterpolatedT（φ≤ B） （24）上述情况源于这样一个事实，即如果ST<Bt，则必须击中屏障，因此ρBH（φ<B）=ρ插值（φ≤ B） 。

另外，如果障碍在到期之前已经存在，则随机模型的鞅性质会导致：Z∞-∞dφφρmodelBH（φ）=B（25）我们进一步对（22）中给出的部分使用近似值（近似值包括忽略撞击屏障并最终在走向上方结束的轨迹的贡献-见附录B：∏bbBN=Z∞Kdφ（φ- K） ρmodelBN（φ）（26）~=Z∞Kdφ（φ- K）ρmodelBN（φ）+ρmodelBH（φ）（27）=Z∞Kdφ（φ- K） ρmodelT（φ）=调用（K，S）（28）我们定义了与模型无关的pH值-（破裂和下降）以及依赖于模型的pmodelH+（破裂和上升）概率：pH-=ZB公司-∞dφρ插值t（φ）（29）pinterpolatedH+=Z∞BdφρmodelBH（φ）（30）概率pH-对应于突破屏障St<B和终止时在屏障下方（St<B）的是路径独立的，并根据到期时下垫ρ内插t（φ）的概率分布进行计算。对应于突破势垒St<B并在终止时终止于势垒之上（St>B）的概率pmodelH+是路径依赖的，不能单独从分布ρ插值（φ）中推断出来。最终，我们将二者结合起来，得出美国奖金证书价格的表达式：∏modelABC~=K-（K）-B） （2+δ模型）pH-+使用δmodel参数调用（K，S）（31）：δmodel=pmodelH+- pH值-pH值-（32）对于δ模型=0，获得零级结果，该模型对应于使用无偏斜的波动率面。参数（pH-, 调用（K，S））将从插值期权数据中计算出来，这是一个与模型无关的过程。如第5章所示，分析市场数据表明，这一粗略近似值的准确率为±%。

这一结果与通常的看法相反，即需要一个详细的随机演算（通常基于蒙特卡罗计算）来计算美国奖金证书的估值（同样的结果适用于美国障碍逆转）。为了进一步了解，需要使用随机模型计算参数δ模型。它对在成熟之前达到障碍并在障碍之上结束的轨迹的数量起作用。在附录B中，我们使用两个不同的随机模型计算了两个市场数据集校准的δ模型。结论是δ模型的变化对ABC产品估值的影响小于±1%。这些结论不是一般性的，但它们反映了市场波动水平与壁垒水平之间的典型关系。三、 单障碍反向可转换产品的定价障碍反向可转换合同（RC合同）基于下图所述的障碍付款规则（我们再次考虑单/单基础产品：我们将重点关注基于单一基础的BRC合同，息票（C=S+R）和障碍水平（B）之间的关系如下：B≤C、 LossPro fit0 UnderlyngCapBarrier（B）Strike（K）图2：Barrier Reverse Convertible Payoff。A、 欧洲单一障碍反向可转换合同（EBRC）的定价欧洲障碍反向可转换合同（EBRC）支付的收益率增加了，如果合同到期日基础高于障碍水平（ST≥ B） 。

在相反的情况下（ST<B），合同在到期时支付C=ST，这意味着损失可能是无限的。欧洲障碍反向可转换合同的定价与EBC合同的定价路线相同-我们将从插值期权价格中获得的概率分布整合到合同支付中：π插值DBRC=πBN+πaBH- ∏bBH（33）∏BN=（S+R）Z∞Bdφρ内插t（φ）（34）∏aBH=BZB-∞dφρ内插t（φ）（35）∏bBH=ZB-∞dφ（B- φ） ρinterpolatedT（φ）（36）最终，欧洲复兴开发银行的价格有一个简单的形式：∏interpolatedbrc=S+R- （S+R- B） pH值-- P ut（B，S）（37）B.美国单障碍反向转换定价美国障碍反向转换合同（ABRC）在合同期限内的任何时间t，如果未违反障碍水平，则支付收益增加的支付f f C=S+R，例如S（0<t≤ T）≥ B在相反的情况下，ST<B，合同到期支付C=ST，这再次意味着损失可能是无限的。美国障碍反向可转换债券的定价需要使用条件概率∏modelABRC=∏BN+∏aBH+∏aBH（38）∏BN=（S+R）Z∞Bdφρ模型BN（φ）（39）∏aBH=ZS+R-∞dφφρ模型BH（φ）（40）∏bBH=（S+R）Z∞S+RdφρmodelBH（φ）（41）我们再次计算破裂概率和下降概率-以及破裂概率和上升概率pmodelH+。我们还根据推导公式（22）所涉及的假设使用近似值（见附录B）∏aBH=ZS+R-∞dφρbh（φ）（42）型~=Z∞-∞dφφρ模型BH（φ）=B（43）Z∞S+RdφρmodelBH（φ）~=0-→ ∏bBH~=0（44）最终ABRC价格的形式为∏modelABRC~=S+R- （S+R- B） （2+δ模型）pH-（45）正如所料，ABRC价格的形式与ABC价格非常相似。同样，对于市场波动率水平的典型值和对应于基础水平60%-70%的障碍，我们可以使用δ模型=0计算∏模型的值，这将导致精度不低于±3%。