影子价格、分数布朗运动和投资组合优化

也就是说，bS可积（在It^o的意义上），可预测过程θ=（θt）0≤T≤Tsuch thatXt=x+英国夏令时≥ 0表示所有0≤ T≤ T.3）最优交易策略bθ=（bθT）0≤T≤t无摩擦问题（2.5）与库存bД中的Holdings（左极限）有关-= （bхt-)0≤T≤对于效用最大化问题（2.3）的最优交易策略，交易成本为x+bθobST=VliqT（bθ）=bg（x）。在[13]的定理3.2中，我们证明了连续价格过程S=（St）0的影子价格的存在性≤T≤t满足“无无无边界风险的无边界利润”（无交易成本）的条件（NUP BR）。（NUP-BR）的假设意味着S必须是半鞅。因此，我们的结果还不适用于分数布朗运动驱动的价格过程BH=（BHt）0≤T≤Tsch作为分数Black-Scholes模型st=exput+σBHt, 0≤ T≤ T、 （2.6）其中u∈ R、 σ>0和H∈ （0，1）\\{}表示分馏布朗运动BH的赫斯特参数。在本文中，我们将Peyre[29]的最新结果与[13]的定理3.2中的存在性结果相结合，以填补这一空白。为此，我们需要一个弱于（NUP-BR）的无套利型条件，但在某种意义上，它比粘性强。结果表明，“双向交叉”的条件（T W C）是合适的。定义2.2。设X=（Xt）0≤T≤t为实值连续随机过程，σa有限停止时间。设置σ+：=inf{t>σ| Xt- Xσ>0}，σ-:= inf{t>σ| Xt- Xσ<0}。然后，如果σ+=σ，我们说X满足“双向交叉”的条件（T W C）-任何固定停车时间σ的P-a.s。Bender在[3]的“无简单套利”（无交易成本）条件分析中引入了双向交叉条件，即买入和持有策略的线性组合无套利。

在交易成本下的PortfolioOptimization上下文中使用它可以让我们得出以下结果。为了更好的可读性，他们的文档推迟到第5节。定理2.3。固定交易成本λ∈ （0，1）和严格正连续过程=（St）0≤T≤T正在满足（T W C）。让U：（0，∞) → R是一个严格凹、递增、连续可微的效用函数，满足INDA条件s（2.4），具有合理的渐近弹性AE（U）：=lim supx→∞xU′（x）U（x）<1，并假设U（x）：=sup∈A（x）EUVliqT（Д）< ∞ （2.7）对于某些x>0。然后，存在一个最佳交易策略bД=（bДt，bДt）-≤T≤Tfor（2.3）和ashadow价格BS=（bSt）0≤T≤T、 上述结果中条件（T W C）的意义在于，它适用于分数Black-Scholes模型（2.6），并且不要求S是半鞅。它允许我们得出分数BlackScholes模型和效用函数的影子价格过程的存在性，这些效用函数是有界的，比如幂效用u（x）=xα，风险规避参数α<0。对于效用函数U：（0，∞) → Rthat不受上面的限制，如对数效用U（x）=log（x）或功率效用U（x）=xα，带有风险规避参数α∈ （0，1），仍需证明间接效用（2.7）是有限的，以便应用定理2.3。下面我们通过控制大小δ>0的分数布朗运动的波动数来实现这一点，这允许获得以下问题的完整答案，即分数Black-Scholes模型是否存在影子价格。定理2.4。让U：（0，∞) → R是一个严格凹的、递增的、连续可微的效用函数，满足INDA条件（2.4），并具有合理的渐近弹性AE（U）：=lim supx→∞xU′（x）U（x）<1。

固定事务cos tsλ∈ （0，1）和分数Black-Scholes模型（2.6）。那么，u（x）=sup^1∈A（x）EUVliqT（Д）< ∞ （2.8）对于所有x>0。特别是，存在一个最佳交易策略bД=（bДt，bДt）-≤T≤Tfor（2.3）和a shad ow pricebS=（bSt）0≤T≤T、 如【11】第5节所述，存在过滤概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）支持布朗运动W=（Wt）0≤T≤t具有以F为条件的可预测代表性。与无摩擦金融市场的联系允许我们建立以下结果。定理2.5。允许Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P是支持布朗运动的过滤概率空间W=（Wt）0≤T≤t h作为F.F i x交易成本λ的可预测表示属性条件∈ （0，1）和分数Black-Scholes模型（2.6）。然后，存在一个最优交易策略bД=（bДt，bДt）-≤T≤Tand a影子价格B=（bSt）0≤T≤t对数效用最大化问题日志VliqT（Д）→ 最大值！，^1∈ A（x），（2.9）表示所有x>0。s hadow价格B=（bSt）0≤T≤由It^o过程sdbSt=bSt（butdt+bσtdWt），0≤ T≤ T、 （2.10）其中bu=（buT）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤皮重可预测的过程，以便（2.10）的解决方案在It^o集成的意义上得到很好的定义。系数bu=（but）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤It^o流程（2.10）和最佳交易策略b^=（b^t，b^t）-≤T≤Tfor（2.9）与bπt=butbσt=bДt相关-bStb^1t-+ bхt-bSt，0≤ T≤ T、 （2.11）众所周知，影子价格与原始问题（2.3）的适当对偶问题的解有关；例如，见【12】中的第3.9条。在当前设置中，我们将在下一节中解释如何设置此双重问题。3对偶理论在本节中，我们讨论效用最大化问题（2.3）的对偶问题的表达式。

为此，我们回顾以下概念。λ-一致价格系统是随机过程Z=（Zt，Zt）0的一种形式≤T≤t密度过程的考虑Z=（Zt）0≤T≤等效局部马氏体测度~ P f或a价格过程=（eSt）0≤T≤t涉及买卖价差[（1- λ） S，S]和乘积Z=ZeS。要求ES在Q下是局部鞅，等于产品Z=ZeS在P下是局部鞅。在交易成本下，λ-一致价格体系确保“无风险消失的无重新启动”（NF LV R）意义上的“无套利”，类似于无摩擦情况下的等效局部鞅度量。在港口对开优化的背景下，通常不需要条件的充分强度（NF LV R），这就足够了。对于交易成本下的投资组合优化，这可以通过λ-一致的局部鞅定义来实现。λ-一致局部鞅定义为一对严格正局部鞅Z=（Zt，Zt）0≤T≤Tsuch thateS：=ZZisevolving in the bid-ask价差[（1- λ） S，S]和E[Z]=1。我们用Z表示所有λ-一致局部鞅的集合。注意，如果（τn）∞n=1是停止时间的局部序列，因此停止的过程（Z）τn=（Zτn∧t） 0个≤T≤这是真鞅，那么Zτn=（Zτn∧t、 Zτn∧t） 0个≤T≤这是一个λ-停止过程的一致价格体系Sτn=（Sτn∧t） 0个≤T≤T、 从这个意义上说，S允许λ一致的局部鞅解的条件实际上是S允许λ一致价格体系的条件的局部版本。

所有λ一致的超鞅微分器的集合B（y）由所有对非负的c\'adl\'ag超鞅y=（Yt，Yt）0组成≤T≤t对于某些[（1- λ） S，S]-值进程=（eSt）0≤T≤Tand Y（Д+ДeS）=YД+YД是一个无n负的c\'adl\'ag supermartinga le for allД∈ A（1）。注意yZ 根据[13]的命题2.6，B（y）fory>0。我们设置D（y）：={YT | y=（y，y）∈ B（y）}。根据[13]中的命题2.9，我们得到D（y）与D（y）={yZT | Z=（Z，Z）的闭合、凸、实心壳相一致∈ Z} 。以下结果显示了效用最大化问题（2.3）的解决方案如何与合适的对偶问题的解决方案相关联。对于连续价格过程，S=（St）0≤T≤T、 它已在[13]的定理2.10中建立。定理3.1。设S=（St）0≤T≤Tbe是一个严格积极、持续的过程。假设S adm为llu的u一致局部鞅定义∈ （0，λ），U的渐近弹性严格小于1，即AE（U）：=lim supx→∞xU′（x）U（x）<1，且最大预期效用有限，U（x）：=supg∈C（x）E[U（g）]<∞,对于某些x∈ （0，∞). 然后：1）p ri mal value function u和d al value function v（y）：=infh∈D（y）E[V（h）]，其中V（y）=supx>0{U（x）- y>0的xy}表示-U型(-x） ，是共轭的，即u（x）=infy>0{v（y）+xy}，v（y）=supx>0{u（x）- xy}，并且在（0，∞). 函数u和-v是严格凹的，严格递增的，并且满足条件slimx→0u′（x）=∞, 石灰→∞v′（y）=0，limx→∞u′（x）=0，石灰→0v′（y）=-∞.2） 对于所有x，y>0，解决方案bg（x）∈ C（x）和BH（y）∈ D（y）到原始问题[U（g）]→ 最大值！，G∈ C（x）和对偶问题[V（h）]→ 最小值！，H∈ D（y），（3.1）存在，是唯一的，并且bД（x），bД（x）∈ A（x）和bY（y），bY（y）∈ B（y）使得Vliqt（BД）=BДT（x）=bg（x），byt（y）=bh（y）。

（3.2）3）对于所有x>0，设为（x）=u′（x）>0，这是v（y）+xy的唯一解→ 最小值！，y>0。然后，bg（x）和bhby（x）由（U′）给出-1.伯克希尔哈撒韦by（x）和U′bg（x）, 分别，我们有Ebg（x）bhby（x）= xby（x）。尤其是processbYby（x）bД（x）+由by（x）b^1（x）=比亚迪by（x）bхt（x）+bYtby（x）bхt（x）0≤T≤这是所有人的鞅bД（x），bД（x）∈ A（x）和d通过by（x）,通过by（x）∈ Bby（x）满足（3.2）y=x。4）更多，因为b=b，我们有by（x）bД（x）+由by（x）bД（x）=乘以by（x）x+bД-（x） obS.这特别意味着{d bД1，c>0} {bS=S}，{d bД1，c<0} {bS=（1- λ） S}{b^1>0} {bS=S}{bД<0} {bS=（1- λ） 最后，我们有v（y）=inf（Z，Z）∈ZE[V（yZT）]。证据参见【13】中的定理2.10和【13】中的备注2.13。同时比较[1 2]的定理3.2和定理3.5。为了应用上述定理来证明定理2.3，我们需要证明“双向交叉”的条件（T W C）意味着所有u的u一致局部鞅定义的存在∈ （0，1）。这源于小交易成本下连续流程资产定价基础理论的本地版本。为此，我们使用了随后的无套利概念；比较[19]。定义3.2。设S=（St）0≤T≤Tbe是一个严格积极、持续的过程。如果α>0和[0，T]，我们说这允许“明显的套利”∪ {∞}-值停止时间σ≤ τ与P[σ<∞] = P[τ<∞] > 0使得（a）Sτ≥ （1+α）Sσ，a.S.{σ<i}，或（b）Sτ≤1+αSσ，a.S.{σ<i}。在（b）的情况下，我们还假设（St）σ≤T≤τ一致有界。我们说S允许“明显的即时套利”，如果我们有（a）St≥ Sσ，对于σ≤ T≤ τ、 a.s.{σ<i}，或（b）St≤ Sσ，对于σ≤ T≤ τ、 a.s。

关于{σ<i}。我们认为，如果不存在此类机会，则满足“无明显的中间套利”（分别为“无明显的中间套利”）的条件（NOA）（相应的，（NOIA））。如果（NOA）失败，如果交易成本0<λ<1小于tα，那么如何进行套利是显而易见的。例如，假设条件（a），在时间σ时，资产S中有一个goeslong，并在时间τ时关闭该头寸。在明显的即时套利情况下，还可以确保在这种操作期间，股票价格永远不会低于初始值Sσ。特别是，这给出了交易成本λ下具有有界风险的无界利润。在条件（b）的情况下，通过做空资产进行类似操作。（NOA）的（b）情况下的有界性条件确保了该策略是允许的。然后，除了使用（NOA）外，使用（NOIA）可以获得小交易成本下连续过程资产定价基本定理的以下局部版本，这是对[19]中定理1的略微加强。定理3.3。设S=（St）0≤T≤Tbe是一个严格积极、持续的过程。下列论断是对等的。（i） 总之，没有明显的即时套利（NOIA）。（ii）本地无明显套利（NOA）。（iii）在当地，每0<u<1，就存在u一致的价格体系。（iv）对于每一个0<u<1，存在一个u一致的局部m a r Ting ale偏差。证据显然，我们有（ii）=> （i） 。等价物（ii）<=> （iii）直接遵循[19]的定理1。如上所述，（iv）意味着（iii）。反之（三）=> （iv）接着利用（iii）本地评估每个0<u<1的u一致价格体系的存在性。实际上，fix 0<u<1和局部化序列（τn）∞n=1个停止时间。

设Z=（Zτn∧t、 Zτn∧t） 0个≤T≤t对于Sτn=（Sτn）的u-一致价格体系∧t） 0个≤T≤t 0<u<u。然后我们可以将Z扩展到一个eu-一致价格系统eZ=（eZτn+1∧t、 eZτn+1∧t） 0个≤T≤t对于Sτn+1=（Sτn+1∧t） 0个≤T≤设置为0<u<eu<u=Zt：0≤ t<τn，71zτn+1∧tZτnˉZτn：τn≤ T≤ T、 eZt公司=（1）- ˇu）Zt:0≤ t<τn，（1- 71u）_Zτn+1∧tZτnˉZτn：τn≤ T≤ T、 其中，ˇZ=（ˇZτn+1∧t、 ˇZτn+1∧t） 0个≤T≤Tis aˇu-Sτn+1=（Sτn+1）的一致价格体系∧t） 0个≤T≤两次0<ˇu<eu-u。重复这个扩展，我们可以确定u一致局部鞅的存在性。（一）=> （iii）：由于（iii）是当地财产，我们可以假设S Satifies（NOIA）。为了证明（iii），我们做了一个类似于[19]中命题1的证明的构造。我们假设在续集中，读者熟悉上述证据。确定停车时间’由‘:= inf（t>0StS公司≥ 1+uorStS≤1+u）。定义集合A+、A-安达萨+：=\'\'< ∞, S’= （1+u）S,A.-:=\'\'< ∞, S’=S（1+u）,答：=\'\'= ∞.在【19】中观察到，假设（NOA）排除了案例PA+= 1和PA.-= 但在目前较弱的假设（NOIA）下，我们不能排除上述可能性。为了重新定义[19]中的论点，以适用于当前设置，我们区分了两种情况。要么我们有PA+< 1和PA.-< 1，或概率P中的一个A+或PA.-等于1。在第一种情况下，我们让:= \'\'并严格按照[19]中命题1的证明进行，以完成第一个归纳步骤。对于第二种情况，我们假设w.l.o.g.PA+= 1，另一种情况可以用类似的方法处理。确定实数β≤ 1作为随机变量0的基本参数≤T≤\'\'StS。我们必须使β<1，否则对（0，“”) 将立即确定明显的套利。

我们还有明显的不等式β≥1+u。我们确定1>γ≥ β停止时间’γ： =inf（t>0StS公司≥ 1+uorStS≤ γ） 。定义γ，+：=S’γ=（1+u）SandAγ，-:=S’γ=γS,我们几乎可以肯定地发现，在集合Aγ、+和Aγ中，有一部分是A+，-. 显然P[Aγ，-] > 0，表示1>γ>β。我们声称LimγβPAγ，-= 事实上，假设该限值为正，我们可以再次找到明显的即时折旧率，在这种情况下，我们有PAβ，-> 因此，一对停止时间σ=“”βS’β=βS+ ∞S’β=（1+u）Sτ=“”S’β=βS+ ∞S’β=（1+u）S将定义明显的即时套利，这与我们的假设相反。因此，我们可以发现1>γ>β，使得0<PAγ，-<. （3.3）找到γ值后，我们可以确定停止时间最终形式为:= \'\'γ。接下来，我们定义setsA+：={< i，S= （1+u）S}=Aγ，+A-:= {< i，S= γS}=Aγ，-（3.4）获得Ohm 分为两组正测度。正如在[19]中对属性1的证明中，我们定义了概率度量Qon F通过在这两个集合上设定dqd Pbe常数，其中常数的选择应确保q[A+]=1- γ1+u- γ和Q[A-] =u1+u- γ。然后我们可以定义Q-鞅（eSt）0≤T≤byeSt：=等式|英尺]，0≤ T≤ ,获得间隔[γS，（1+u）S]内的剩余过程。上述q的权重是通过这样一种方式得到的：EQ=S] = S、 这就完成了第一个归纳步骤，类似于[19]中命题1的证明。综上所述，我们获得, Qand（eSt）0≤T≤正如在[19]中命题1的证明中，有以下一种附加可能性：它可能发生当第一次命中（1+u）或1+u时不会停止，但当第一次命中（1+u）或γS时会停止，对于某些1+u<γ<1。

在P[A]=0的情况下，我们确保P[A-] <, i、 我们可以控制{S= γS}。现在，我们按照[1 9]中Pro位置1的证明进行归纳构造n、 QnandeSt公司0≤T≤n、 新的成分是我们必须再次小心（有条件地以F为准N-1） 附加可能性P[A+n]=1或P[A-n] =1。假设GAIN w.l.o.g.我们有第一种情况，我们精确地按照上述n=1来处理这种可能性，但现在我们确保P[A-n] <2-N代替P【A】-] = PAγ，-<如上文（3.3）和（3.4）所述。这就完成了归纳步骤，我们得到，对于每个n∈ N、 一个等价概率测度Qnon Fnand a Qn鞅eSt公司0≤T≤n买卖价差中的值（[1+uSt，（1+u）St]）0≤T≤n、 我们顺便说一句，选择这种买卖价差的标准化而不是通常的标准化，并没有失去普遍性[（1- u′）S′，S′，通过将f从S传递到S′=（1+u）S，并从u传递到u′=1-（1+u）。还有一件事需要检查以完成（iii）的证明：我们必须证明停车时间(n）∞n=1几乎肯定会增加到单位。这可以通过以下方式进行验证：假设(n）∞n=1在一组正概率上有界的Remains。在这个场景中，我们必须有n+1秒nequals（1+u）o r1+u，除了可能的完整manyn’s。事实上，上述要求P【A】-n] <2-N确保a.s.以不同于（1+u）或1+u的值移动的新可能性只能发生多次。因此，正如在[19]中的命题1之前一样，我们可以从S在[0，t]上的t系数的一致连续性和严格正性得出结论：9增加a.s.以完成（iii）的证明。4分数布朗运动的波动在本节中，我们建立了分数布朗运动波动数的控制。