影子价格、分数布朗运动和投资组合优化

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英文标题：
《Shadow prices, fractional Brownian motion, and portfolio optimisation
  under transaction costs》
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作者：
Christoph Czichowsky, R\\\'emi Peyre, Walter Schachermayer and Junjian
  Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We continue the analysis of our previous paper (Czichowsky/Schachermayer/Yang 2014) pertaining to the existence of a shadow price process for portfolio optimisation under proportional transaction costs. There, we established a positive answer for a continuous price process $S=(S_t)_{0\\leq t\\leq T}$ satisfying the condition $(NUPBR)$ of \"no unbounded profit with bounded risk\". This condition requires that $S$ is a semimartingale and therefore is too restrictive for applications to models driven by fractional Brownian motion. In the present paper, we derive the same conclusion under the weaker condition $(TWC)$ of \"two way crossing\", which does not require $S$ to be a semimartingale. Using a recent result of R.~Peyre, this allows us to show the existence of a shadow price for exponential fractional Brownian motion and $all$ utility functions defined on the positive half-line having reasonable asymptotic elasticity. Prime examples of such utilities are logarithmic or power utility.
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中文摘要：
我们继续分析我们之前的论文（Czichowsky/Schachermayer/Yang 2014），该论文涉及在比例交易成本下投资组合优化的影子价格过程的存在。在这里，我们为连续价格过程$S=（S\\u t）{0\\leq t\\leq t}$建立了一个肯定的答案，满足条件$（NUPBR）$的“无无限利润，有界风险”。这个条件要求$S$是半鞅，因此对分数布朗运动驱动的模型的应用限制太大。在本文中，我们在较弱的条件$（TWC）$“双向交叉”下得出了相同的结论，该条件不要求$S$是半鞅。利用R.~ Peyre最近的一个结果，我们可以证明指数分数布朗运动和定义在具有合理渐近弹性的正半线上的$all$效用函数的影子价格的存在性。此类实用程序的主要示例是对数或幂实用程序。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Shadow_prices,_fractional_Brownian_motion,_and_portfolio_optimisation_under_tran.pdf (284.59 KB)

2022-5-25 12:39:09 上传

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关键词：分数布朗运动 投资组合优化 影子价格 投资组合 布朗运动

交易成本下的影子价格、分数布朗运动和投资组合优化*R’emi Peyre+Walter SchachermayerJunjian Yang§2016年8月5日摘要我们继续分析我们之前的论文【13】中关于在比例交易成本下投资组合优化影子价格过程的存在性。在这里，我们建立了一个连续价格过程的肯定答案S=（St）0≤T≤t满足“无无无界风险无无界收益”的条件（N U P BR）。这个条件要求S是半鞅，因此对分数布朗运动驱动的模型的应用限制太大。在本文中，我们在“双向交叉”的较弱条件（T W C）下得出了相同的结论，该条件不要求S是半鞅。利用R.Peyre的最新结果，我们可以证明指数分数布朗运动的影子价格的存在性，以及在具有合理渐近弹性的正半线上定义的所有效用函数。此类实用程序的主要示例是对数或幂实用程序。MSC 2010主题分类：91G10、93E20、60G48JEL分类代码：G11、C61关键词：效用最大化、比例交易成本、非半马丁格尔价格过程、分数布朗运动、影子价格、简单套利、双向交叉、凸对偶、对数效用。*英国伦敦WC2A 2AE Houghton Street，Columbia House，London School of Economics and Political Science，数学系。czichowsky@lse.ac.uk.+CNRS&Institut\'Elie Cartan de Lorraine，Aiguillettes校区，54506 Vandoeuvre-l\'es Nancy cedex，法国，remi。peyre@univ-洛林。沃尔特奥地利维恩市奥斯卡·摩根斯特恩广场1号维恩大学法库特分校。schachermayer@univie.ac.at苏黎世ETH理论研究所。

部分由奥地利科学基金（FWF）和MA09-003资助的维也纳科学与技术基金（WWTF）以及马科斯·罗斯勒博士、沃尔特·海夫纳基金会和苏黎世基金会提供支持。§Fakult–at f–ur Mathematik，Universit–at Wien，Oskar Morg enstern Platz 1，A-1090 Wien，Austria，junjian。yang@univie.ac.at.感谢奥地利科学基金会（FWF）在25815赠款下提供的财政支持。1简介在数学金融中，一种典型的方法适用于所谓的无摩擦金融市场，在这种金融市场中，每次都可以在同一个价格点买卖任意数量的股票。在这里，效用最大化的数学结构本质上意味着，只有当贴现价格过程S=（St）0时，才存在最优交易策略≤T≤基本金融工具是所谓的半鞅，即“良好积分器”的随机过程（见[1，27，25]）。后者还与无摩擦市场中无套利机会的存在有关，无论是以“无免费午餐且风险消失”（NF LV R）（见[15]中的定理7.2）的形式，还是以其本地版本的“有无风险的有限制利润”（NUP BR）（见[25]中的定理2.3）的形式，并解释了为什么大多数文献假设贴现价格是半鞅。虽然半鞅性质允许在无摩擦的金融市场中利用它的强大运算来获得最优交易策略，但它排除了基于分数布朗运动的非半鞅模型。这些模型大约在十五年前由Mandelbrot提出。

它们的分数标度和相关的统计特性将它们区分为超越传统半鞅设置的一类自然价格过程。对于无摩擦交易，罗杰斯（R ogers）[30]和切里迪托（Cheridito）[7]展示了如何利用分数模型的非半导性，如分数Black-Scholes模型st=exp（ut+σBHt），其中u∈ R、 σ>0且BH=（BHt）是带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0，1）\\，显式构造“套利机会”。一般来说，这一论断源于这样一个事实，即对于局部有界的c\'adl\'ag，经过调整的过程“简单交易策略带来的风险为零的无免费午餐”暗示了半鞅性质（见[15]的定理7.2]）。虽然分数模型为无摩擦交易提供了套利机会，但Guasoni[18]证明，考虑到比例交易成本，分数模型是无套利的。从概念上讲，这允许我们使用这些模型作为交易成本下投资组合优化的价格过程，如G uasoni所示【17】。他指出，如果无套利且间接效用有限，则交易成本下的非半鞅模型存在最优交易策略。在本文中，我们给出了分数Black-Scholesmodel中交易成本下投资组合优化的影子价格存在性的一个非常满意的答案。这是一个半鞅价格过程bs=（bSt）0≤T≤投标报价中的价值分配使得该价格过程的无摩擦交易与交易成本下的原始问题中的最优交易策略和效用相同。

我们证明了任意效用函数U：（0，∞) → R在满足合理渐近弹性条件的正半直线上。对于效用函数U：（0，∞) → R、 我们在[13]中建立了影子价格的存在性，假设S是连续的，并且满足无交易成本的条件（NUBP R）。（NUBP R）的假设要求价格过程必须是半鞅。因此，它排除了应用于分数布朗运动驱动的模型的可能性。此外，在[13]的命题4.1中，我们构建了一个非递减、连续、粘性价格过程的例子，使得交易成本下对数效用最大化问题的最优交易策略存在，但不存在影子价格。而粘性条件足以保证连续价格过程和效用函数U:R的影子价格的存在→ 对于上面有界的整条实数线，如指数效用（见[11]），该假设不适用于效用函数U：（0，∞) → R在正半直线上。仔细观察这个例子可以发现，阿沙多价格不存在的原因是最优交易策略拥有最大的可容许杠杆。这种行为只能是最优的，因为连续的价格过程只能沿着向上的方向跨越任何水平。为了确保影子价格的存在，有必要排除最优交易策略产生最大杠杆的可能性。

这是在我们的第一个主要结果（定理2.3）中通过施加“双向交叉”（T W C）（定义2.2）的条件实现的。粗略地说，这一条件要求，每当价格过程在向上方向越过某一给定水平时，它也会立即在向下方向穿过它，反之亦然。条件（T W C）特别是由连续鞅满足。Bender[3]在分析“无简单套利”（无交易成本）时引入了这一概念，即不存在买入和持有策略线性组合的套利。定理2.3中条件（T W C）的意义在于，它在分数Black-Scholes模型中成立，因为分数布朗运动在Peyre最近的结果中满足了停止时间的迭代对数定律[29]。这就给出了函数Black-Scholes模型和效用函数的影子价格的存在性。为了将其扩展到从上面看是无界的效用函数，如对数效用U（x）=log（x），我们需要确保问题是适定的，因此我们必须确定间接效用是有限的。由于分形布朗运动既不是马尔可夫过程，也不是半鞅过程，因此我们需要不同于无摩擦环境的工具来实现这一结果。在这里，我们使用的是，在存在交易成本的情况下，任何交易都只能是有利的，前提是存在充分的价格变动。利用高斯过程的估计，我们可以通过建立δ>0的分数布朗运动函数的指数和高斯矩来限制交易的预期收益，从而获得任何效用函数U的间接效用的一致性：（0，∞) → R

这使得我们可以得出分数Black-Scholes模型和任意效用函数U：（0，∞) → R满足合理渐近弹性的条件，这是我们的第二个贡献（定理2.4），也是对这个问题的一个相当完整的答案。由于与无摩擦金融市场的联系，我们可以利用IT^o演算工具和交易成本下无摩擦市场投资组合优化的已知结果，将其应用于影子价格B=（bSt）0≤T≤T、 由此，我们得出分数Black-Scholes模型的影子价格b由It^oprocessbst=bSt（butdt+bσtdWt）给出，0≤ T≤ T、 （1.1）其中bu=（buT）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤皮重可预测的过程，以便在It^o集成的意义上很好地定义（1.1）的解决方案。对数效用存在影子价格的重要性在于，解决无风险问题的最佳交易策略是短视的。也就是说，它包括在风险资产中持有一部分财富，该部分财富由回报率的局部平均方差tradeo ff bπt=butbσt，0给出≤ T≤ T、 通过影子价格的定义，无摩擦问题的最优交易策略与交易成本下原始价格过程的最优交易策略一致。这意味着t hatbπt=butbσt=bДt-bStb^1t-+ bхt-bSt，0≤ T≤ T、 对于最优交易策略，bД=（bДT，bДT）-≤T≤Tunder交易成本（不适用于【13】，将在稍后收回）。因此，交易成本下的最佳交易策略与系数bu=（but）0直接相关≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤影子价格过程（1.1）。

我们预计分析系数bu=（but）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤t还应允许在分数Black-Scholes模型中更明确地描述交易成本下的最优交易行为，如经典Black-Scholes模型的[16]所示。对此的彻底调查将留待将来的研究。众所周知，影子价格的存在与一个合适的对偶问题的解有关；参见【21、10、12、13、11】。在交易成本下，这种二重性可以追溯到Cvitani\'c和Karatzas的开创性工作[8]，并随后扩展到正半直线上效用函数的动态二重性结果[8、9、12、13、11]，以及（可能）多变量效用函数的静态二重性结果[14、4、5、6、2]。为了在我们的设置中应用这种二元性，我们需要确保所谓的λ一致局部m artingale滤波器的存在。这些过程被用作对偶变量，类似于无摩擦理论中的等价鞅测度[23、20、24、26]和局部鞅定义[22]。为此，我们提供了小交易成本下连续过程资产定价基本定理的局部版本【19】。它证明，对于连续的价格过程，对于任何规模的交易成本λ，都存在λ-一致的局部鞅函数∈ （0，1）相当于本地具有“无明显即时套利”（见定义3.2）的条件（NOIA）。本文的其余部分组织如下。我们在第2节中阐述了这个问题并陈述了我们的主要结果。第5节给出了他们的证明。

第3节重述了资产定价基本定理的结果并提供了本地版本。在第4节中，我们建立了分数布朗运动函数的指数矩和高斯矩。2主要结果我们考虑由一种无风险债券和一种风险股票组成的金融市场。假设无风险资产正常化为1。交易风险资产会产生一定比例的交易成本λ∈ （0，1）。这意味着，当购买高风险股票时，必须支付（更高的）要价，但只会收到较低的出价（1- λ） 销售时。这里，S=（St）0≤T≤Tdenotes一个严格正的、自适应的、连续的随机过程，定义在一些潜在的过滤概率空间上Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P具有固定的时间范围T∈ （0，∞) 满足钻机连续性和完整性的通常假设。通常情况下，随机变量之间的等式和不等式可保持到P-nullset，随机过程之间的等式和不等式可保持到P-eva-nescent集。交易策略由R值、c ` adl ` ag和适应的流程（νt，Дt）建模-≤T≤以[0]为索引的时间限定变量-, T]：={0-} ∪ [0，T]，式中，在时间T重新平衡投资组合后，分别用[0]和[13]详细说明无风险资产和风险资产的持有情况-, T]而不是[0，T]作为指数集，允许我们使用c\'adl\'ag交易策略。

对于任何过程ψ=（ψt）-≤T≤为了确定变量，我们用ψ=ψ表示-+ ψ↑- ψ↓其Jordan-Hahn分解为两个非递减过程ψ↑和ψ↓从零开始。阅读策略Д=（Дt，Дt）-≤T≤这被称为自我融资，ifZtsdДu≤ -ZtsSudД1，↑u+Zts（1- λ） SudД1，↓u、 0个-≤ s≤ T≤ T、 （2.1）其中，积分可按路径定义为黎曼-斯蒂尔杰斯积分。如果其清算价值满足Vliqt（Д）：=Дt+（Дt）+（1），则自我融资策略Д=（Д，Д）被称为可接受的- λ） St公司- （^1t）-St公司≥ 0, 0≤ T≤ T、 （2.2）对于x>0，我们用A（x）表示交易成本λ下自初始捐赠开始的所有自融资和可接受交易策略的集合-, ^1-) = （x，0）和C（x）：=VliqT（Д）Д=（Д，Д）∈ A（x）.我们考虑一个经济主体，其目标是从终端财富中最大化其预期效用【U（g）】→ 最大值！，G∈ C（x）。（2.3）这里，U：（0，∞) → R表示满足INDA条件su′（0）：=limx0U′（x）=∞ 和U′(∞) := limx∞U′（x）=0。（2.4）在本文中，我们使用阿沙多价格的概念继续分析问题（2.3）。定义2.1。半鞅价格过程B=（bSt）0≤T≤这被称为影子价格过程，如果1）bS在投标报价表d[（1）中估价- λ） S，S]2）S o l utionbθ=（bθt）0≤T≤t无摩擦效用最大化问题U英国夏令时→ 最大值！，θ∈ A（x；bS），（2.5）存在（在[26]的意义上），其中A（x；bS）表示所有自我融资和允许交易策略的集合θ=（t）0≤T≤t无交易成本。