影子价格、分数布朗运动和投资组合优化

它允许我们为第2.4条的证明建立间接效用的真实性，但其本身也可能很有趣。设BH=（BHt）t≥0be具有Hurst参数的标准分数布朗运动∈ （0，1）.确定δ>0，并确定δ-衰减时间（τj）j≥通过τ感应BH的0≡ 0和τj+1（ω）：=infT≥ τj（ω）|BHt（ω）- BHτj（ω）|≥ δ. （4.1）截至时间T的δ函数数∈ （0，∞) 是随机变量f（δ）T（ω）：=sup{j≥ 0 |τj（ω）≤ T}。（4.2）本节的目的是证明以下命题。提案4.1。使用上述符号，存在有限的正常数C=C（H），C′=C′（H），仅取决于H s uch thatPF（δ）T≥ N≤ C′exp公司- C-1δT-2Hn1+（2H∧（1）适用于所有n∈ N、 （4.3）本文对命题4.1的兴趣在于以下推论。推论4.2。使用上述表示法，随机变量F（δ）Tdoes具有所有阶数的指数矩，即E经验值aF（δ）T< ∞ 对于所有a∈ R、 （4.4）此外，如果H≥ 1/2，这个随机变量有一个高斯矩，也就是说，存在一个大于0的，使得经验值a（F（δ）T）< ∞. （4.5）推论4.2的证明。对于f（x）=exp（ax）和f（x）=exp（ax），我们有f（f（δ）T）=Z∞f′（x）PF（δ）T≥ 十、dxby Fubini定理。将其与估计值（4.3）结合得出（4.4）。对于（4.5），我们还必须使用平方完成。命题4.1的证明。在整个证明过程中，我们用C表示，C′>0常数仅取决于H，但其精确值可能因外观而异。让n，m∈ N使得m>N。然后我们将[0，T]划分为m个子区间Ik：=[k-1mT，kmT]对于k=1，m并用tk表示其中点：=k-mT。通过Fernique\'sTheorem（参见，例如，[29]中的引理4.2），我们可以估计集合A的概率：=Smk=1|BHt公司- 对于t，BHtk |>δ∈ IkbyP【A】≤ m P公司BHt公司- BHtk公司>t的δ∈ Ik≤ mC’exp公司- C-1δT-2小时∧1m2H∧1..

（4.6）在A的补码A上，我们得到了thatsupt∈IkBHt公司- BHtk公司≤δ对于所有k=1，m、 （4.7）假设F（δ）T（ω）≥ n、 然后必须至少有n+1个“随机指数”0=K（ω）<K（ω）<…<Kn（ω）≤ m使得τj（ω）∈ IKj（ω），对于j=1，n、 因为（4.7）和| BHτj- BHτj-1 |=δ，那么我们必须BHtKj公司- BHtKj公司-1.≥δ对于j=1，n在{F（δ）T上≥ n}∩ Ac.为了估算P{F（δ）T≥ n}∩ 空调, 因此，它只剩下约束事件a的可能性：=n\\j=1|BHtKj公司- BHtKj公司-1 |≥δ.但事件取决于“随机指数”0=K（ω）<K（ω）<…<Kn（ω）≤ m、 为了消除这种依赖性，我们只需估计事件a的可能性：=n\\j=1|BHtkj公司- BHtkj公司-1 |≥δ对于所有人锰可能实现0=k<k<…<千牛≤ “随机指数”0的m=K（ω）<K（ω）<…<Kn（ω）≤ m、 为此，确定指数0=k<k<…<千牛≤ m和集合j： =BHtkj- BHtkj公司-1对于j=1，m、 ThenA=n\\j=1|j |≥δ=n\\j=1签署(j）J≥δPnj=1信号(j）J≥ nδ那么Thatan【j=1【εj】∈{-1，+1}（nXj=1εjJ≥ nδ）。对于固定εj∈ {-1，+1}，其中j=1，n、 我们得到Pnj=1εjjis是方差Varnxj=1εj的中心正态分布随机m变量j=nXj，j′=1εjεj′Cov(Jj′）≤nXj，j′=1 | Cov(Jj′）|。

（4.8）为了估计（4.8），我们区分以下两种情况：（i）H≥.（ii）H<。如果H≥ 1/2，协方差Cov(Jj′）总是非负的，因此nxj，j′=1 | Cov(Jj′）|=VarnXj=1i！=Var（BHtkn- BHtk）=tkn- tk | 2H≤ T2H。如果H<1/2，协方差Cov(Jj′）是非正的，只要a s j 6=j′，那么n-1Xj′=0 | Cov（Jj′）|=Var(j）- Cov公司j、 Xj′<jj′- Cov公司j、 Xj′>jj′= 风险值(j）- Cov公司(j、 BHtkj公司-1.- BHtk）- Cov公司(j、 BHtkn公司- BHtkj）。对于0≤ T≤ U≤ 五、≤ T，从分数布朗运动的定义可以看出- Cov（Bt- Bu，Bu- Bv）=（| t- u | 2H+| u- v | 2H- |T- v | 2H）≤|T- u | 2H。因此，我们得到了nxj′=1 | Cov（Jj′）|≤ |tkj公司- tkj公司-1 | 2H+| tkj- tkj公司-1 | 2H+| tkj- tkj公司-1 | 2H=2 | tkj- tkj公司-1 | 2手动thusVarnXj=1εjJ≤ 2nXj=1 | tkj- tkj公司-1 | 2H。（4.9）但是，由于H<1/2，函数x 7→ x2是凹面，因此（4.9）的右侧以2n为界Pnj=1 | tkj- tkj公司-1 | n2H=2n（| tkn- tk |/n）2H≤ 2 n（T/n）2H=2n1-2HT2H。因此，在这种情况下，我们可以估计VaRnXj=1εjJ≤ 2 T2Hn（1-2H）+。（4.10）因此，使用经典界，P[Z≥ x]≤ E-x/2对于任何标准正态分布随机变量Z~ N（0，1），我们得到p“nXj=1εjJ≥ nδ#≤ 经验值-T-2Hδn1+（2H∧1） /16对于所有可能的2no fεj∈ {-1，+1}，其中j=1，n、 因此A.≤ 第2次扩展-T-2Hδn1+（2H∧1） /16.将该估计值与（4.6）相结合，并使用锰≤ mn/n！，我们终于明白了F（δ）T≥ N≤ P【A】+PF（δ）T≥ N∩ 空调≤ C′m扩展- C-1吨-2Hδm2H∧1.+nmnn！经验值- T-2Hδn1+（2H∧1） /16.现在，只剩下选择m作为最小整数，这样m≥ nHto获得F（δ）T≥ N≤ C′exp公司-C-1δT-2Hn1+（2H∧（1）,这就完成了证明。5主要结果的证明定理2.3的证明。与文献[13]中定理3.2的证明一样，我们通过对偶证明了ashadow价格的存在性。

为此，我们观察到，对于连续价格过程，S=（St）0≤T≤T、 “双向交叉”的条件（T W C）意味着局部没有明显的立即通行条件（NOIA）。定理3.3第（iv）部分指出，对于每个u，S存在一个u一致的局部鞅定义∈ （0，1）。因此，满足了定理3.1的假设，并且存在一个最优的阅读策略bД=（bДt，bДt）-≤T≤t达到（2.7）中的最高值，并且通过=（bYt，bYt）0≤T≤t这解决了双重问题（3.1）。要获取影子价格的存在，请执行以下操作：b s=（bSt）0≤T≤t对于上述问题（2.7）（在定义2.1的意义上），根据[12]中的第3.7条，有足够的证据表明双优化系数为=（bYt，bYt）0≤T≤这是一个局部鞅。根据【13】中的第3.3条规定，一旦我们得到清算价值liqt（bД）：=bДt+（bДt）+（1- λ） St公司- （bхt）-几乎可以肯定的是，所有t∈ [0，T]，即inf0≤T≤TVliqt（bД）>0，a.s.（5.1）为了显示（5.1），我们通过矛盾进行论证。定义σε：=影响∈ [0，T]Vliqt（bД）≤ εo，（5.2），设σ：=limε0σε。我们必须证明σ=∞, 几乎可以肯定。假设p[σ<∞] > 让我们朝着一个矛盾的方向努力。首先观察{σ<∞}. 事实上Vliqt（bД）0≤T≤这是c\'adl\'ag，我们有0个≤ Vliqσ（bД）≤ limε0Vliqσε（bД）≤ 0在集合{σ<∞}.因此，在集合{σ<∞} 带P[σ<∞] > 我们可以并且确实假设S“紧接着σ移动”，即σ=inf{t>σ| St6=Sσ}。实际上，我们可以在{σ<∞} 停车时间σ+=σ-. 当VliqT（bД）>0 a.s时，我们在{σ<∞}.我们将重复使用定理3.1中建立的事实，即过程bv=bхtbYt+bхtbYt0≤T≤这是一个几乎肯定满足bvt＞0的一致可积P鞅。这意味着bДσ6=0 a。s、 关于{σ<∞}.

实际上，在{σ<∞}. AsbV是一个严格正终值bvt＞0的一致可积鞅，我们得到了期望的矛盾。这里我们只考虑{σ<∞} 几乎可以肯定。在{σ<∞} 可以用类似的方式处理。接下来，我们证明我们不能有bσ=（1-λ） 具有严格正概率{σ<∞}. 事实上，这再次意味着BVσ=由σVliqσ（bД）=0，这与上一段中的情况相矛盾。因此，我们假设tbSσ>（1- λ） Sσ在{σ<∞}. 这意味着，根据第3.1条第4）部分的规定，bД定义的公用事业优化代理不能在时间σ以及σ之后的一段时间内出售股票，因为S是连续的，而BS c\'adl\'ag。然而，请注意，优化代理很可能会购买股票。但是，我们会看到这对她不利。确定停车时间nasσ之后的第一次，当下列事件之一发生时（i）bSt- （1）- λ） St公司<bSσ- （1）- λ） Sσ或（ii）St<Sσ-n、 通过“双向交叉”的（T W C）假设，我们得出结论，a.s.{σ<∞},我们有n减少到σ，我们有n=Sσ-n、 对于足够大的n。选择足够大的，以便n=Sσ-非{σ<∞} o积极措施。ThenVliq公司n（bИ）在该集合上严格为负，这将给出所需的控制。事实上，假设bДσ>0意味着代理人将承受该头寸的严格损失n<Sσ。条件（i）确保代理人不能在σ和n、 代理人可能在间隔Jσ期间购买了额外的股票，nK。

然而，这不会对后续计算产生积极影响，因为后续计算保持不变n=Sσ-n} ，revealsVliqn（bх）=bхn+（1- λ） b^1nS系列N≤ bИσ-ZnσSudbД1，↑u+（1- λ）bИσ+ZnσdbД1，↑Usn=Vliqσ（bД）+bДσ（1- λ） （S）N- Sσ）|{z}=-N-Znσ苏- （1）- λ） SN|{z}≥苏-sN≥0db^11，↑u<0。这个矛盾完成了定理的证明。为了将定理2.3应用于分数Black-Scholes模型（2.6），仍然需要证明条件（2.7）是满足的，条件要求间接效用是有限的。这在下面的引理中通过使用命题4.1中对fr actionalBrownian运动的影响的估计来建立。固定H∈ （0，1），u∈ R、 σ>0，分数Black-Scholes模型（2.6），即St=exput+σBHt, 0≤ T≤ T、 设Xt：=对数（St）=uT+σBHt。对于δ>0，定义δ-衰减时间（σj）j≥x的0乘以σ≡ 0和σj+1（ω）：=infT≥ σj|Xt公司- Xσj |≥ δ. （5.3）然后由随机变量f（δ）T（ω）：=sup{j给出X到时间T的δ函数数≥ 0 |σj（ω）≤ T}。（5.4）引理5.1。固定H∈ （0，1），u∈ R、 σ>0，框架Black-Scholes模型（2.6），即St=经验ut+σBHt, 0≤ T≤ T、 因为λ>0，δ>0，所以（1- λ） e2δ<1。然后，存在一个常数K>0，仅取决于o nδ和λ，因此，对于ea chДT∈ C（x），我们有νT≤ xKnonnF（δ）T=编号（5.5），尤其是{E[U（νT）]：ДT∈ 对于任何凹函数U：（0，∞) 7.→ R∪ {-∞}.证据

我们首先观察到，映射t 7→ ut最多可以有2uTδ + 1时间T前尺寸δ的变化，其中十、 表示小于than或等于x的最大整数∈ R、 因为δ=| Xσj+1- Xσj |≤ |u（σj+1- σj）|+σ| BHσj+1- BHσj |，因此我们有thatF（δ）T≤ 2uTδ + 1+F（δ2σ）T，其中F（δ2σ）T表示（4.2）中定义的截至时间T的BHδ2σ函数数。将前面的估计与推论4.2相结合，得出随机变量f（δ）为所有阶的指数矩，即Eexp（aF（δ）T）< ∞ 对于所有a∈ R、 （5.6）关于引理的最后一句，它来自（5.5）和（5.6）t hate[Дt]≤ EhxKF（δ）Ti=xEhexp对数（K）F（δ）Ti<∞因此{E[ДT]：ДT∈ C（x）}保持有界。这意味着最终的估值，因为任何凹函数U都由一个函数控制。仍需显示（5.5）。确定可接受的交易策略-= （1，0）并在ДT=（ДT，0）处结束。确定“乐观值”过程（Vopt（Дt））0≤T≤TbyVopt（Дt）=Дt+（Дt）+St- （^1t）-（1）- λ） St.与（2.2）中定义的清算价值Vliqas的不同之处在于，我们互换了S和（1）的ro-les- λ） S.明显Vopt≥ Vliq。固定轨迹（Xt（ω））0≤T≤Tof X和j∈ N使得σj（ω）<T。我们认为存在常数K=K（λ，δ），因此，对于每个σj（ω）≤ T≤ σj+1（ω）∧ T、 Vopt（νT（ω））≤ KVopt（Дσj（ω））。（5.7）为了证明这一说法，我们必须做一些粗略的估计。如上所述固定t。注意，STI在间隔[e-δSσj（ω），eδSσj（ω）]为σj（ω）≤ T≤ σj+1（ω）∧ T、 假设St（ω）=eδSσj（ω）。我们试图确定轨道（νu）σj（ω）≤U≤t对于给定的V，左侧的最大值：=右侧的Vopt（Дσj（ω））。

由于我们只对上界感兴趣，我们可以假设代理是千里眼，并且知道整个轨迹（Su（ω））0≤U≤T、 在目前的情况下，假设St（ω）位于区间[e]的上端-δSσj（ω），eδSσj（ω）]试图最大化Vopt（Дt（ω））的代理希望通过尽可能多地投资股票S来利用这种上升趋势。但她做不到你∈ R+任意拉格，因为她受到可受理条件Vliq的限制≥ 0这意味着Дu+Дu（1- λ） Su（ω）≥ 0，对于所有σj（ω）≤ U≤ t、 对于这些u，我们有Su（ω）≤ eδSσj（ω）这意味着不等式Дu+Дu（1- λ） eδSσj（ω）≥ 0，σj（ω）≤ U≤ t、 （5.8）根据起始条件Vopt（Дσj（ω）），我们可以假设，对于某些数字V>0，则νσj（ω）=（V，0）。实际上，通过在时间σj（ω）以Sσj（ω）的价格购买股票或以（1）的价格出售股票，可以从（V，0）中获得带有VOPT（Дσj（ω））=V的任何其他值-λ） Sσj（ω）。因此，我们面临着确定轨迹（Дu，Дu）σj（ω）的元素确定性优化问题≤U≤t从Дσj（ω）=（V，0）开始，并尊重自我融资条件（2.1）和不等式（5.8），从而使Vopt（Дt）最大化。记住（1- λ） <e-2δ，瞬间反射表明最佳（透视）策略是等到σj（ω）时刻≤\'\'t≤ t当S't（ω）在区间[σj（ω），t]内最小时，则在时间't购买不等式（5.8）允许的尽可能多的股票，然后在时间t前保持债券和股票的头寸不变。假设最有利（限制）的情况S't（ω）=e-δSσj（ω），对于σj（ω），简单代数给出νu=（V，0）≤ u<t a和Дu=五、- v、 veδSσj（ω）,\'\'t≤ U≤ t、 其中V=V1- （1）- λ） e2δ。因此，使用St（ω）=eδSσj（ω），我们可以估算（5.7）Vopt（νt（ω））≤ Vh公司1.-1.- （1）- λ） e2δ+e2δ1- （1）- λ） e2δi。

（5.9）由于假设（1- λ） e2δ<1括号中的术语是一个有限常数K，仅取决于λ和δ。我们假设最大上移St（ω）=eδSσj（ω）。最大下移St（ω）=e的情况-δSσj（ω）以及任何中间酶，后跟相同的标记，再次得出估计值（5.7），其常数与（5.9）相同。观察Vopt≥ Vliqand VliqT（bх）=bхTwe通过感应（5.5）获得，从而完成证明。定理2.4的证明。分数Black-Scholes模型通过[29]定理1.1中分数布朗运动在停止时间的重对数定律满足（T W C）。间接效用函数u（x）<∞ 引理5.1。因此，定理2.3的假设得到满足，我们得到了非最优交易策略bД=（bДt，bДt）的存在-≤T≤Tfor（2.3）和影子价格BS=（bSt）0≤T≤定义2.1的意义。定理2.5的证明。我们从定理2.4中得到了最优交易策略和ashadow价格的存在性。BS=（bSt）0的断言≤T≤t如[11]中的引理5.1所示，通过组合双重优化因子isbY=（bYt，bYt）0≤T≤这是一个局部鞅，由定理2.3证明，其可预测表示性质为W=（Wt）0≤T≤t关于F的条件。由于影子价格定义2.1的第3）部分，对于（2.10）的无摩擦对数效用最大化问题，财富的最佳分数由bπt=butbσt，0给出≤ T≤ T、 表示系数bu=（buT）0之间的关系（2.11）≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤托福It^o流程（2.10）和最佳交易策略b^=（b^t，b^t）-≤T≤Tfor（2.9）。参考文献【1】S.Ankirchner和P.Imkeller。具有不对称信息和价格动态结构特性的金融市场上的有限效用。

《概率与统计年鉴》，41（3）：479–5032005。[2] E.Bayraktar和X.Yu。比例交易成本下的市场生存能力。预印本，2013年。[3] C.折弯机。简单套利。《应用概率年鉴》，22（5）：2067–20852012。[4] B.布沙尔。比例交易成本下实线效用最大化。财务Stoch。，6（4）：495–5162002年。[5] B.Bouchard和L.Mazliak。L（Rd；Ohm, F、 P）。随机过程。应用程序。，107（2）：213–2312003年。[6] L.坎皮和M.P.欧文。具有适当交易成本的多元效用最大化。财务Stoch。，15（3）：461–4992011年。[7] 切里迪托。分数布朗运动模型中的套利。《金融与统计》，7（4）：5 33–5532003年。[8] J.Cvitani\'c和I.Karatzas。交易成本下的套期保值和港口对账单优化：马丁格尔方法。数学鳍6（2）：113–165，1996年。[9] J.Cvitani\'c和H.Wang。交易费用下的最优终端财富。J、 数学。经济体。，35（2）：223–2312001年。[10] C.Czichowsky、J.Muhle Karbe和W.Schachermayer。交易成本、影子价格和离散时间的二元性。《暹罗金融数学杂志》，5（1）：258–2772014。[11] C.Czichowsky和W.Schachermayer。投资组合优化b eyond半鞅：影子价格和分数l布朗运动。预印本，2015年。应用概率的一种形式。[12] C.Czichowsky和W.Schachermayer。交易成本下投资组合优化的对偶理论。《应用概率年鉴》，26（3）：1888–19412016。[13] C.Czichowsky、W.Schachermayer和J.Yang。连续价格过程的影子价格。预印本，2014年。出现在数学金融领域。[14] G.Deelstra、H.Pham和N.Touzi。交易费用下效用最大化问题的对偶形式。安。应用程序。