成本合作博弈中风险资本的分配

正如在典型的合作博弈理论文献中常见的那样，我们将把任何群体命名为联盟。DPSFig。1： 子集D P包含分布中所有可能的机构联盟。考虑到置信水平τ，τ，我们将确定SCoV aRτ|τi | Sof institutioni∈ P适用于所有不属于D的机构，如下所示。我们将假设至少有一家陷入困境的机构出现负回报，即至少有一家xj<0，以确保当δ、τ>0时（2）定义的预期缺口可能为正。呼叫Fi·, -V aRτPjk公司∈SXjk公司机构i的联合累积密度函数取决于处于困境的机构集合。用FS（·）表示机构群S的分布函数，前提是所涉及的随机变量与定义4中机构的所有回报之和一致。设X=（X，…，Xp）是概率为{·}的p机构收益向量。给定一组S 遇险机构的D和τ，τ∈ [0，1]，对于所有i∈ P\\D，SCoV aRτ|τi |是以下值：SCoV aRτ|τi | S=- inf公司L∈ R | Fi | S（长，米）≥ τ、 Xjk公司∈SXjk公司≤ M, （4） 其中m：=- infns公司∈ R | PnPjk∈SXjk公司≤ 所以≥ τo.SCoV aRτ|τi |的另一种定义如下。定义5。设X=（X，…，Xp）是概率为{·}的p机构收益的向量。给定一组S 遇险机构的D和τ，τ∈ [0，1]，对于所有i∈ P\\D，SCoV aRτ|τi |是最大值X*itaken by Xisuch thatPn{Xi≤ 十、*i} TnPjk公司∈SXjk公司≤ -V aRτPjk公司∈SXjk公司ooPnPjk公司∈SXjk公司≤ -VaRτPjk公司∈SXjk公司o≥ τ。（5） 基本上，SCoV aRτ|τi |是一个机构的风险价值，条件是当通常考虑两个不同的置信水平时，处于困境的机构的变现总额不超过其总额的风险价值。

以下两条备注旨在指出SCOV aR与边际V aR一致的两种情况。备注6。在这种情况下，考虑利润和损失，将总额视为风险的综合衡量标准是很自然的。当然，其他定义也是可能的，例如，受困机构的最大损失，见Bernardi等人（2016）及其讨论。备注7。如果W中机构的所有收益独立于D中机构的所有收益，则联合c.D.f.Fi | S（·）变为Fi（·），即机构i的c.D.f∈ W因此，SCoV aRτ|τi | S=- inf{l∈ R | P{Xi≤ l}≥ τ} =V aRτ（Xi）。备注8。当没有机构处于困境时，S=, i、 e.对于所有jk，Xjk=0∈ S、 在这种情况下，（5）也得到了很好的定义，尤其是它崩溃为标准VaR，即PXjk公司∈SXjk公司≤ -V aRτXjk公司∈SXjk公司= 1个==> SCoV aRτ|τi|= V aRτ（Xi）。SCoV aR尤其有助于制定我们将要调查的风险度量。定义9。给定τ，τ∈ [0，1]和一组处于困境的机构，SCoESτ|τi |是机构i的预期值∈ P\\D，前提是其不超过SCoV aRτ|τi |，条件是一组机构处于其联合ESτ水平：SCoESτ|τi | S≡ EXi | Xi≤ SCoV aRτ|τi | S，Xjk∈SXjk公司≤ ESτXjk公司∈SXjk公司. （6） 正如在Remark8中所述，（6）也可以在没有发生灾难的情况下进行评估，接近标准预期短缺：SCoESτ|τi|= E[十一|十一≤ V aRτ（Xi）]=ESτ（Xi）。简短的解释可能有助于澄清（6）的表述：条件pjk∈SXjk公司≤ ESτPjk公司∈SXjk公司当所有Xjk<0时，始终验证。另一方面，只要一个负的制度回报就足以确定δ的开放区间，这样条件就成立了。更确切地说，如果Xj，xjl为负，其中jk∈ 对于k=1。

，l，条件归结为：δ≥ -τPjk∈SXjkPlk=1Xjk。每当联盟中所有机构的收益均为负值时，这种估计就非常正确。分析SCoV aR和SCOE之间可能的关系，我们可以得到一些结果。提案10。给定两个联盟S，S′∈ 2D，如果以下假设得到验证：1。SCoV aRτ|τi | S′>SCoV aRτ|τi | S；2、Pjk∈S′Xjk≤ ESτPjk公司∈S′Xjk;3、Pjk∈SXjk公司≤ ESτPjk公司∈SXjk公司,然后SCoESτ|τi | S′≥ SCoESτ|τi | S.证明。如果S，S′∈ 2D，第一个假设确保了EHXI | Xi≤ SCoV aRτ|τi | S′i≥ 鄂西| Xi≤ SCoV aRτ|τi | Si，而第二个和第三个假设保证了SCOEτ|τi | S′和SCOEτ|τi | S′得到了很好的定义，因此是COESτ|τi | S′≥ SCoESτ|τi | S。在本文的其余部分，如果没有误解，我们将暗示用ES、SCoES、V aR和SCoV aR表示上述数量，以简化符号。4由C OES引发的风险分配合作博弈Denault（2001）引入了风险分配问题，其中考虑了给定企业的风险分配问题，该风险分配问题通过一致的风险度量在各组成部分之间进行衡量，与典型的合作博弈论方法密切相关。InDenault（2001）利用成本合作博弈对风险分配问题进行建模，选择的解决方案概念为Shapleyvalue和Aumann-Shapley值。随后，inCsóka et al.（2009）采用并改进了这种方法，其中风险分配博弈和完全平衡博弈也注意到δ的估计值是尽可能多的联盟，除了空集，即2 | D|- 1，因此最多有2 | D|- 1必须超过δ的水平。

由于（2）定义中δ的选择是任意的，因此在这些值中取最大值意味着（6）中的此类条件总是满足的，因此定义τ|τi | S≡ 鄂西| Xi≤ SCoV aRτ|τi | Sifor alli∈ 比较P\\D，以确保存在稳定的风险分配。在第r节中，他们定义了一个以一组投资组合、一组自然状态、状态实现的离散可能性密度、实现向量矩阵和一致风险度量为特征的风险环境，并据此构建和分析了风险分配博弈。在这两种方法中，企业的投资组合都被视为一种合作博弈的参与者。在我们的环境中，我们准备将第n3节中定义的措施应用于发生困境时的制度环境，尤其是我们将依赖从合作博弈论中借用的典型工具。更详细地说，我们将把任何可能的困境机构集合视为合作博弈（或TU博弈，见Owen 1995）的合力。将通过成本函数评估与传染风险相对应的困境对其余机构的影响。将W称为不属于D的机构集合，即W=P\\D。我们可以评估任何联盟引起的风险成本 D通过对W中所有机构的无条件ESτ和SCOE之间的所有差异取加权算术平均值，即cW（S）=Pi∈WαihESτ（Xi）- SCoESτ|τi | Si | W |，（7）其中αi≥ 0表示所有i=1。

，W |，P | W | i=1αi=| W |，对于所有S D、 在风险分配的框架下，我们引入了一个合作博弈Γ=（cW，D），其中D代表相关投资组合的集合，c:2D-→ R如（7）所示，并将SA成本分配给每个联盟S D、 合作博弈方法似乎非常合适，因为在不确定的财务框架中，它允许考虑所有可能的正处于困境的机构组合。此外，这对夫妇（cW，D）实际上定义了一个合作博弈。事实上，当D中没有机构处于困境时，那么cW() = 0是因为（7）分子中的所有差异都消失了。从本质上讲，这一假设对于定义D上的合作名称是必要的，它可能有一个明确的财务解释：所有安全机构都收集在W中，这意味着所有这些机构都是在r e asonabledoubt之外的安全机构。它们可以被视为发行ZF债券或由优质抵押品担保的证券的国家或公司，即不涉及任何风险因素的所有类型的公司。还要注意积极的签到（7）：在标准的Payoff合作博弈中，这种签到是反向的。但由于我们假设在置信水平τ以下，一些实现值xjk为负，因此ESτ（·）的正性得到了保证，因此由困境引发的风险水平可以为正。然而，对于一些联盟来说，cW（S）可能是非正面的，但这意味着这种传染病从这样一组机构传播到非困境机构的可能性更小。公式（7）需要一些进一步的解释，以说明NES和SCOE之间的差异实际衡量的是什么。每种差异都提供了标准风险和与联盟困境相关的风险之间的利差，联盟至少由一个机构组成。

为了全面评估任何联盟造成的风险影响，这些差异的总和将覆盖整个安全机构。安全机构之间可能会出现一些结构性差异，包括保险合同、对冲策略的实施等。这种异质性可以通过权重αiin（7）来捕捉，也可以解释为根据其规模或系统相关性直接依赖于每个单一机构。为了简化符号，我们将假设一个简化的场景，其中所有机构的权重相等，然后我们将假设α=···=α·····=W·=1。关于博弈（7）的性质的问题有些复杂，因为一个遭受外部困境的机构的SCOE是一种相关性度量，或者也是一种衡量困境如何将其传染给非困境机构的度量。因此，很难证明与coher风险度量相关的标准公理。我们将概述cW（·）的一些特征，而不是雄化，这些特征列在nex t命题中。其中一些性质类似于Denault（2001）提出的公理。提案11。给定两个联盟S，S′∈ 2D，如果以下假设得到验证：1。SCoV aRτ|τi | S′>SCoV aRτ|τi | S；2、Pjk∈S′Xjk≤ ESτPjk公司∈S′Xjk;3、Pjk∈SXjk公司≤ ESτPjk公司∈SXjk公司,然后cW（S′）≤ cW（S）。证据它紧跟着命题10中的不等式。在下面的命题中，表达式λS意味着所有机构返回S乘以λ，即λXjk，对于所有jk∈ s D、 提案12。对于每个λ∈ R+，cW（λS）=cW（S）。证据

将定义5应用于λS，对于所有λ>0，意味着SCoV aRτ|τi |λ为最大X*isuch thatPn{Xi≤ 十、*i} TnPjk公司∈SλXjk≤ -V aRτPjk公司∈SλXjkooPnPjk公司∈SλXjk≤ -V aRτPjk公司∈SλXjko≥ τ。根据V aR的正均一性（见eitherArtzner et al.1999或McNeil et al.，p.74），该表达式与（5）一致，因此，对于所有S，SCoV aRτ|τi |λS=SCoV aRτ|τi | S∈ 2D，ES的线性可用于SCoESτ|τi |λS的表达式：SCoESτ|τi |λS≡ EXi | Xi≤ SCoV aRτ|τi |λS，Xjk∈SλXjk≤ ESτXjk公司∈SλXjk= EXi | Xi≤ SCoV aRτ|τi | S，Xjk∈SXjk公司≤ ESτXjk公司∈SXjk公司= SCoESτ|τi | S。最后，cW（λS）可以写为：cW（λS）=Pi∈WhESτ（Xi）- SCoESτ|τi |λSi | W |=π∈WhESτ（Xi）- SCoESτ|τi | Si | W |=cW（S）。（8） 提案1 3。对于所有S D这样所有的返回Xi，在那里我∈ 与所有返回值Xjk无关，其中jk∈ S、 cW（S）=cW() = 0.证明。对于所有机构，返回xi，其中re独立于所有Xjk（见备注7），其中i∈ W和jk∈ s D，我们得到SCoESτ|τi | S=SCoESτ|τi|= ESτ【Xi】。如果这一切都成立，我∈ 证明是完整的。次可加性是成本分配博弈的一个重要特征。回想一下，当Γ的成本函数为次加性时，即对于所有S，T∈ 2这样S∩ T=,cW（S）∪ T）≤ cW（S）+cW（T）（如Anily和Haviv 2014）。如下一个建议所示，游戏（cW，D）并不总是次可加的。特别是，相关ES和SCOE的一些假设应该成立。提案14。如果 我∈ W，ESτ（Xi）>0，SCoES是超加的，即SCoESτ|τi | S∪T≥ SCoESτ|τi | S+SCoESτ|τi | T，则（cW，D）是次可加的。证据

通过次可加性的定义，我们注意到，对于所有S，T∈ 2D，其中S∩T=:cW（S）∪ T）- cW（S）- cW（T）==Pi∈WhSCoESτ|τi | S+SCoESτ|τi | T- SCoESτ|τi | S∪T- ESτ（Xi）i | W |，则如果 我∈ W，ESτ（Xi）>0，SCoES是超加的，即SCoESτ|τi | S∪T≥ SCoESτ|τi | S+SCoESτ|τi | T，则cW（·）是次可加的。然而，强加这种条件是困难和限制性的，因为ESτ的定义允许其可能的积极性和消极性，这取决于最坏结果的发生水平。4.1风险分配合作博弈的一个典型且众所周知的应用是确定获得总金额份额的参与者之间的适当分配，这是当他们玩支付博弈（通常是超加性的）和成本博弈（通常是次加性的）时的一个利益。在这种情况下，命题14不考虑次可加性，但博弈代表的特征函数表示一些机构的困境所引发的传染风险，因此其作为成本博弈的解释听起来直观而自然。在inOwen（1995）中可以找到合作博弈中几个解决方案概念和分配规则的完整表示。我们将要应用于我们的设置的两个主要值是Shapley Shubik（1953年首次引入，见Shapley）和Banzhaf Coleman（1965年制定，见Banzhaf III 1965年）值。下面是使用特征函数cW（·）时这些分配原则的表达。博弈的Shapley值（cW，D）由D维向量Φ（cW）=（φ（cW），φd（cW）），使得：φjk（cW）=Xjk∈S、 SD（D- |S |）！（| S |- 1） 哦！DPi∈WhSCoESτ|τi | S \\{jk}- SCoESτ|τi | Si | W|,（9） 对于所有jk∈ D、 另一方面，（cW，D）的Banzhaf值是D维向量β（cW）=（β（cW）。

，βd（cW）），例如：βjk（cW）=d-1Xjk∈S、 SDPi∈WhSCoESτ|τi | S \\{jk}- SCoESτ|τi | Si | W|, （10） 对于所有jk∈ D、 他们的相应公理化指出了（9）和（10）之间的关键区别：Shapley值满足效率公理，即Pdk=1φjk（cW）=cW（D），其中Banzahf值不满足，除非D=2。一方面，这一公理传达了这样一种理念，即在处于困境的机构中，有一笔总的风险资本需要分摊。另一方面，考虑到风险的特殊性，避免将其视为一个需要划分的独特对象可能会有所帮助。粗略地说，韦斯特强调，这两种价值观都可以基于良好的动机来使用。很明显，我们可以说JK是一个虚拟机构，当且仅当 我∈ Ws D、 SCoESτ|τi | S \\{jk}=SCoESτ|τi | S。虚拟机构的经济含义很简单：其对整体传染的边际贡献始终为零。应专门讨论所谓的无咬边特性（seeDenault（2001），Def。3） ，可按如下公式计算：给定游戏（cW，D）的分配（Kj，…，Kjd），对于所有s D、 不等式xjk∈SKjk公司≤ cW（S），（11）必须保持。条件（11）具有双重含义。第一种是技术性的：任何分配（Kj，…，Kjd）都是合作博弈的核心，文献中存在大量关于价值公理化的贡献，参见Feltkamp（1995）和van den Brink and van der Laan（1998）。尽管如此，最近的一些贡献已经发表在Shapley value without e-efficiency axiom、seeEiny和Haimanko（2011）的简单投票游戏和Casajus（2014）的不同级别游戏上。因此，如果至少存在一种此类分配，则核心是非空的。

第二个含义与金融方面密切相关（见Denault（2001））：当por tfolio分配超过整个机构集团将面临的风险资本时，就会出现不足。根据之前的结果，我们可以为Φ（cW）a和β（cW）的正性建立一些有效条件，即确保它们的所有坐标都是非负的，这意味着每个陷入困境的机构都会为系统性风险带来正的边际贡献。提案1 5。如果适用于所有S∈ 2D \\ 对于所有jk∈ 验证了以下假设：1。SCoV aRτ|τi | S \\{jk}>SCoV aRτ|τi | S；2、Pjk∈S \\{jk}Xjk≤ ESτPjk公司∈S \\{j}Xjk;3、Pjk∈SXjk公司≤ ESτPjk公司∈SXjk公司,然后φjk（cW）≥ 0和βjk（cW）表示所有jk∈ S、 证明。考虑到陷入困境的机构联盟，S 6= 和任何元素jk∈ S、 通过重新构建命题的三个假设，我们可以将命题10应用于两个联盟S和S \\{jk}。因为通过命题10，我们得到了SCoESτ|τi | S \\{jk}≥ SCoESτ|τi | S，则（9）和（10）中总和中的所有项均为正。5应用程序为了说明SCoES风险度量在实践中的表现，我们研究了欧洲主权信用利差（CDS）在包括2012年欧债危机在内的一段时期内的演变。具体而言，如前几节所述，当德国作为唯一的“安全”国家时，我们研究了合作博弈导致的Shapley价值观随时间的演变。可能陷入困境的国家有：比利时、法国、希腊、意大利、荷兰、葡萄牙和西班牙。我们考虑2008年7月21日至2014年12月30日期间的每日CDS利差，但希腊除外，该国的da ta仅在2012年3月8日之前可用。我们使用从Datastre am获得的数据，为每个国家使用以美国命名的sove reign CD。