成本合作博弈中风险资本的分配

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英文标题：
《Allocation of risk capital in a cost cooperative game induced by a
  modified Expected Shortfall》
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作者：
Bernardi Mauro and Roy Cerqueti and Arsen Palestini
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The standard theory of coherent risk measures fails to consider individual institutions as part of a system which might itself experience instability and spread new sources of risk to the market participants. In compliance with an approach adopted by Shapley and Shubik (1969), this paper proposes a cooperative market game where agents and institutions play the same role can be developed. We take into account a multiple institutions framework where some of them jointly experience distress events in order to evaluate their individual and collective impact on the remaining institutions in the market. To carry out this analysis, we define a new risk measure (SCoES), generalising the Expected Shortfall of Acerbi (2002) and we characterise the riskiness profile as the outcome of a cost cooperative game played by institutions in distress (a similar approach was adopted by Denault 2001). Each institution\'s marginal contribution to the spread of riskiness towards the safe institutions in then evaluated by calculating suitable solution concepts of the game such as the Banzhaf--Coleman and the Shapley--Shubik values.
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中文摘要：
一致性风险度量的标准理论未能将单个机构视为系统的一部分，该系统本身可能会经历不稳定并向市场参与者传播新的风险源。根据Shapley和Shubik（1969）所采用的方法，本文提出了一个合作市场博弈，其中代理人和机构可以扮演相同的角色。我们考虑了一个多机构框架，其中一些机构共同经历了困境事件，以评估其对市场上其余机构的个人和集体影响。为了进行这一分析，我们定义了一个新的风险度量（SCoES），概括了Acerbi（2002）的预期缺口，并将风险状况描述为处于困境的机构进行的成本合作博弈的结果（Denault 2001年采用了类似的方法）。然后，通过计算适当的博弈解概念，如班扎夫-科尔曼值和沙普利-舒比克值，评估每个机构对风险向安全机构扩散的边际贡献。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Allocation_of_risk_capital_in_a_cost_cooperative_game_induced_by_a_modified_Expe.pdf (455.14 KB)

2022-5-25 13:01:40 上传

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关键词：风险资本 合作博弈 Institutions Quantitative Mathematical

由修正的预期空头Mauro Bernardi引起的成本合作博弈中的风险资本分配*, Roy Cerqueti+，Arsen Palestini2018年9月8日摘要连贯风险度量的标准理论未能将单个机构视为系统的一部分，该系统本身可能会经历不稳定并向市场参与者传播新的风险源。根据Shapley和Shubik（1969）采用的方法，本文提出了一个合作市场博弈，其中代理人和机构可以扮演相同的角色。我们考虑了一个多机构框架，其中一些机构共同经历了困境事件，以评估其对市场上其余机构的个人和集体影响。为了进行这一分析，我们定义了一个新的风险度量（SCoES），概括了ERBI（2002）的预期缺口，并将风险性描述为陷入困境的机构进行的成本合作博弈的结果（德诺采用了类似的方法）。然后，通过计算合适的博弈解概念，如Banzhaf-Coleman和Shapley-Shubik值，评估每个机构对风险向安全机构扩散的边际贡献。关键词：合作市场博弈、Shapley价值、风险度量、风险价值、预期缺口、系统性风险。1简介当一些机构受到系统性或非系统性灾难时，在多机构框架下评估金融风险是《金融时报》的主要主题之一，引起了数学金融、统计学、管理学学者的广泛关注，参见Adrian和Brunnermeier（2011、2016）、Billio et al.（2012）、Acharya et al.（2012），Girardi和Ergün（2013），Hautsch et al.（2014），Engle et al.（2014），Lucas et al。

（2014），Bernardi和Catania（2015），Sordo等人（2015），仅引用一些最相关的方法。seeBisias等人（2012年）对系统风险度量进行了广泛而最新的调查，而Benoit等人（2016年）对系统风险的最新文献进行了审查。特别是2008年以来，莱曼兄弟公司倒闭*帕多瓦大学统计科学系，Via Cesare Battisti 241/243，I-35121，Padua，Italy。+意大利马塞拉塔I-62100，克雷西姆贝尼20号，马塞拉塔大学经济与法律系罗马萨皮恩扎大学MEMOTEF，Via del Castro Laurenziano 9，I-00161 Rome，Italy以及随后在欧洲蔓延的债务危机提出了新的宏观经济和金融模型需要解决的关键问题。特别是，此类事件及其相关后果在调查可能适合风险评估的仪器方面引发了广泛的增加，从而针对危难中传染病的发生（见Drehmann和Tar ashev 20 13等，理论方面，以及Huang et al.2012a和Huang et al.2012b等，实证方面）。在本文中，我们将调查一个或多个市场机构发生财务困境的情况，并可能将这种危机蔓延到市场中剩余的安全机构。财务困境有一个直截了当的含义：一个机构严重的财务不稳定，或缺乏充分偿还债权人的能力，甚至破产或清算的限制。

虽然“财务困境”和“违约”有时可以互换使用，但可能存在一些差异，通常取决于每个国家的具体破产法或机构的评级等（有关广泛的讨论，请参阅Altman和Hotchkiss 20-10）。当市场发生金融危机时，每家陷入困境的机构都会影响到安全的机构，并各自造成系统性风险。传染框架的一个关键方面是评估每个代理人（即每个机构）对系统性风险的边际影响。为了评估这些贡献，一个自然和直观的工具是Shapley值（见Shapley 19 88）以及Banzhaf值（见Banzhaf III 1965和Owen 1995）。值得注意的是，尽管他举世闻名的理论并不特别关注国内市场，但2012年诺贝尔经济学奖获得者L.S.Shapley在1969年与M.Shubik的一篇论文中提出了市场分析的相关应用（见Shapley和Shubik 1969）。在这篇论文中，Shapley和Shubik定义并调查了直接市场（见Shapley和Shubik（1969），第15-18页），即，由于每个交易者拥有一个个人商品的初始单位，因此交易者可能与共同商品相一致的市场。正如作者字面上所说，“引入了一种规范的市场形式——直接市场，在这种市场中，社区对交易者本身产生影响，是完全可分割的……”（第11页），因此，这是第一次尝试建立一个合作博弈模型，其中代理人有两个特征：交易者和资产同时存在。因此，合作博弈理论中广泛使用的经典解概念，如Shapley值和Banzhaf值，符合我们的评估目的。

最近，合作博弈理论已经被德诺（2001）和最近几年的科斯卡（2009）以及阿巴西（Abbasi）和霍塞尼法德（Hosseinifard）（2013）用于风险资本配置。然而，在上述任何一篇论文中，都并没有考虑到一个特征值，该特征值表示非遇险情况下的期望值和压力情况下的期望值之间的差异。我们将要调查的金融机构涉及一系列可能陷入困境的机构（例如一组银行）和一组安全的机构。我们的目的是评估传染风险，即不安全机构的财务困境对安全机构的影响和破坏程度。为此，ris k度量被广泛地理论化和分析，产生了丰富的文献。其中一些可能为许多不同系统性药物之间的风险分配提供有用的技术。在这方面，Tsanakas和Barnett于2003年（见Tsanakas和Barnett 2003）和Tsanakas于2009年（见Tsanakas）根据Aumann–Shapley值提出了将风险资本分配给组合负债子组合的一致风险meaA机制。担保人一直是风险资本分配的关键工具，无论是因为其公理化结构的房地产技术，还是因为其对几个关键框架的适应性。Artzner等人（1999年）于1999年发表了关于相干ris k测度的基本研究，他们首先提供了一个公理化特征。

随后，2001年，德诺（Denault）（2001）通过考虑合作博弈结构进行了分析，其中参与者是参与风险金融活动的企业，企业净值所引发的风险是博弈特征函数的值，次加性公理自然会引发成本合作博弈。Acerbi和Tasche（2002）在2002年考虑了预期缺口的一致性，而Kalkbrener（2005）在2005年采用了公理化方法来描述投资组合管理或绩效衡量中的相关资本分配程序。近年来，Toica（2006年）（无套利条件下一些一致度量的属性之间的等价性）、Csóka等人（2007年、2009年）（一般均衡设置中度量的匹配、风险分配的稳定性）、Kountza kis和Polyrakis（2013年）（一般均衡模型的应用）取得了进一步的数学结果。Drehmann和Tarashev（2013）以及Csóka和Pintér（2016）提供了风险分配理论的其他相关结果。此外，作为一种略有不同的工具，Cherubini和Mulinacci（2014）将侵权风险度量应用于金融传染框架。我们将要提出的新方法建立在一种替代风险度量的基础上，该度量是ES的延伸，旨在将困境机构的影响纳入一个安全的度量。以SCoESτ|τi | D表示的这一衡量标准，代表了一个非陷入困境的机构i的预期价值，该机构i以一组处于困境的机构D为条件，给出了两个不同的阈值τ，τ∈ （0，1），具体与机构回报相关。

随后，为了评估每个分散机构对整体系统风险的边际贡献，我们将构建一个成本函数。该函数旨在通过评估标准预期短缺与所有非分销机构SCOE值之间差异的平均值来衡量风险成本。该公式将是分布式机构所玩合作游戏的特征值。采用经典方法，我们将检验博弈的性质，并计算每个陷入困境的机构的边际影响，指出博弈的Shapley值和Banzhaf值之间的差异。然后采用引入的风险度量框架，对2008-2014年期间八种欧元区主权信用违约掉期（CDS）SCoES风险度量的演变和相关风险合作博弈的结果进行了实证分析。我们的例子假设德国是“安全”国家，并探讨其余国家债务状况的演变如何影响德国的健康和金融稳定，德国被视为整个欧洲体系的“代理人”。作为拟议风险框架的副产品，对欧洲体系失效的总体影响的演变进行了监测。我们的结果表明，在希腊和葡萄牙纾困期间（2010年11月至2011年5月），欧洲体系的失败风险表现出短暂的高水平，但欧洲央行行长马里奥·德拉吉（MarioDraghi）宣布在随后几个月实施欧特莱特货币交易（OMT）和欧洲稳定机制（ESM），这实际上仍处于较高水平。

只有在实施OMT和ESM之后，德国的系统性风险才会更持久地稳定在比危机期间低60%的水平上。本文其余部分的结构如下所示。在第2节中，将回顾基本的一致性风险度量，以及一致性度量的一些公理化细节。第3节介绍了对我们的分析至关重要的指标，其中第4节介绍并讨论了风险的合作博弈及其解决方案概念。第5节介绍了实证应用，第6节给出了结论和未来可能的发展。2投资组合管理中的风险度量在最近的文献中，我们将概述风险度量的标准符号，主要借鉴ArtznerArtzner等人（1999）和Kalkbrener（2005）的开创性论文。考虑一组特定的自然状态Ohm, 谁的名字是|Ohm| = m、 称X（ωj）为一个随机变量，表示处于ωj状态的头寸的最终净值∈ Ohm 在一定的时间间隔后，即投资组合在ωj状态下可能实现的收益和损失。我们可以确定Ohm 作为Rm，其元素类型为X=（X（ω），X（ωm））。在Inatzner等人（1999）提出的严格构造中，风险的度量是ρ：Rm-→ 因此，ρ（X）对应于代理人必须添加到其风险投资组合中的最低金额，以确保在使用合适的参考工具时，该投资仍然为监管机构所接受。基本要求涉及资产的价格：1是资产的初始价格，r>0是在所有可能的自然状态下，在最终日期T参考工具的总回报。Inatzner等人。

（1999）然后，基于轴结构提供了一致性度量的定义。定义1。A函数ρ：RS-→ 如果R满足以下公理，则称为风险的一致度量：-单调性（M）：对于所有X，Y∈ RMY使Y≥ X（即Y（ωj）≥ 几乎所有ωj的X（ωj）∈ Ohm), ρ（Y）≤ ρ（X）。-次可加性：对于所有X，Y∈ Rm，ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。-正均一性（PH）：适用于所有X∈ Rmandλ∈ R+，ρ（λX）=λρ（X）。-平移不变性（TI）：适用于所有X∈ Rmand h∈ R、 ρ（X+hr）=ρ（X）- h、 我们必须指出，风险价值（V aR）满足除次加性之外的所有条件，正如Tzner等人（1999）所揭示的那样，以及V aR的标准定义，此处回顾：定义2。给定τ∈ [0，1]参考工具的收益率r>0，最终净值X的V aRat水平τ与概率P{·}是X/r的数量水平τ的负值，即V ARTτ=- inf{x | P{x≤ r·x}≥ τ}。该属性依赖于接受集，接受集是Inatzner等人（1999）公理化的。特性TI有时表示为无风险条件（RFC）。在不损失一般性的情况下，在本文的主要部分，r将标准化为1。回到一致性度量，当结果是等概率的，即当自然状态ωjoccurs的概率pjand p=····=pm=1/m时，可以处理一个特殊和相关的情况，正如Acerbi（2002）所调查的那样。特别地，我们考虑了由m元组X（ω）的有序值给出的有序统计量，X（ωm），即neX，eXmo，按递增顺序重新排列：eX≤ · · · ≤eXm。我们将要提出的风险的光谱测量的定义是由于toCsóka et al.（2007），他通过采用正贴现因子δ略微修改了Acerbi的原始定义，而不必像Inarbi（2002）那样等于1。定义3。

如果结果是等概率的，给定一个向量Φ∈ Rmand a贴现因子δ>0，风险度量MΦ：Rm-→ 定义如下：MΦ（X）=-δmXj=1ΦjeXj，（1）如果Φ满足以下公理，则称为风险的光谱度量：-非负性（N1）：Φj≥ 0表示所有j=1，m、 -归一化（N2）：Φ+···+Φm=1。-单调性（M）：Φjis不增加，即对于所有u，v∈ {1，…，m}，u<波数Φu≥ Φv.A著名的风险谱度量是表示最差τ结果的贴现平均值，即τ-所有τ的预期短缺X∈ {1，…，m}，由τ（X）=-ΔττXj=1eXj。（2） 当X是连续随机变量时，其公式如下所示：ES1-λ（X）=-δ1- λZeX≤V aR（eX）=τexf（eX）dx，（3），其中f（·）是x定律，1- λ是相关置信水平。ES1相干性的证明-λ（·）在连续随机变量设置中可以在埃尔比和塔什（2002）中找到。3 SC oES作为一种风险度量，我们提出了Adrian和Brunnermeier（2016）的CoV aR和CoES的推广，即系统-CoV aR（SCoV aR）和系统-CoES（SCoES）。拟议的风险措施旨在捕捉多个相互关联的市场参与者之间的相互联系，这在金融市场危机期间尤其相关，而在金融市场危机期间，多个机构可能会同时遭遇困境。设P={1，…，P}是一组P机构，并假设条件事件是P的子集的苦恼。调用D={j，…，jd} P潜在处于困境的d机构的集合，其基数为0<d<P，因此意味着至少有一个机构没有处于困境，并且至少有一个处于困境。如果我们考虑 在陷入困境的机构中，这种集合代表了从可能处于困境的机构中挑选出来的一组机构。