通过BSDE管理交易对手信用风险

从这个意义上讲，基于基本BSDE（22）的方法更为通用，该方法只要求利率和股息与F相适应。我们从简化的基本BSDE（24）开始推导Burgard-Kjaer偏微分方程。也就是说，我们做了如下ansatz：^Vt=u（t，St），（27），其中u=u（t，s）是一个光滑函数u:[0，t]×Rn→ R、 应用伊藤引理，我们发现du（t，St）=tu（t，St）+Ltu（t，St）dt+(su（t，St））>σ（t，St）dWt。（28）此处，马尔可夫发生器LTI定义为t=u（t，s）>s+tr（σ（t，s）σ（t，s）>s） ，（29），g是（21）中定义的驱动因素。因此，我们发现^Zt=σ（t，St）>su（t，St），（30），因此满足以下终值问题：tu+Ltu+g（t，s，u，su，θB- u、 θC- u） =0，u（T，s）=N（s）。（31）上述推导是标准的，更多详情请参见示例[31]。注意，显式方程式（31）的形式为tu+tr（σσ>su）- ru=(su）>诊断（γS- qS）s- （rB- r） （θB- u）- （钢筋混凝土- qC）（θC- u） +（rT C+r）IT C- rF CIF Ct- （rX+r）X- rKK+（rF- r） （θB- X+IT C）-,u（T，s）=N（s）。回想一下，θBandθCdepend明确表示投资组合收尾值M，如第2节所述。3、收尾值M的具体情况沿第4节中的参数线获得，并与[9]中得出的偏微分方程一致。特别是，我们从上面的论证中看到，过程^zt本质上是投资组合的增量。一旦建立了（31）的解，基本BSDE的解可以明确地写为^Vt=u（t，St）1t<τ+θτt≥τ、 ^Zt=σ（t，St）>su（t，St）1t≤τ、 UBt=（θBt- u（t，St））1t≤τ、 UCt=（θCt- u（t，St））1t≤τ。（32）管理交易对手信用风险15从实际角度来看，基本BSDE解决方案的这种表示可能会用到。求解高维偏微分方程的数值算法往往性能较差。

我们认为，第6节中讨论的蒙特卡罗模拟提供了一种更有效、更稳健的方法。（28）的另一个结果是（31）的解的Feynman-Kac表示。也就是说，积分（28）并采用给定基础S当前状态的条件期望，我们发现U（t，S）=EhN（ST）-ZTtg（v，Sv，u（v，Sv），su（v，Sv），θBv- u（v，Sv），θCv- u（v，Sv））dvSt=si。（33）实际上，上述表示通常不是对DE（31）解的明确表示。相反，它是（31）的一个替代方程，表示为积分方程。4估值调整我们现在开始确定投资组合价值的估值调整，该投资组合价值考虑了缔约方信用风险。让At表示交易对手信贷风险组合价值V与风险中性组合价值V之间的差额，即At=Vt- Vt.（34）总估值调整ATI由At=Att<τ给出。与之前一样，我们让M表示违约时的投资组合平仓价值。下面我们分别考虑两种常见的考虑关闭惯例，即M=V和M=^V。4.1关闭值M=VWe首先考虑关闭值M等于V的情况，即风险中性投资组合价值。这是业界广泛采用的标准惯例，请参见[9]、[15]。幸运的是，相应的简化基本BSDE是线性的，因此可以用封闭形式求解。为了看到这一点，我们观察到（21）中的驱动器g与（10）一起由g（t，S，^V，^Z，θB）给出-^V，θC-^V）=-^Z>σ（t，S）-1.u（t，S）+诊断（γS- qS）S- （rB+rC- qC）^V+rKK- （rT C+rB）IT C+（rF C+rC- qC）如果C+（rX+rB+rC- qC）X+（rB- r）（五）- X+IT C）++RB（V- X+IT C）-+ （钢筋混凝土- qC）RC（V- 十、- 如果C）++（V- 十、- 如果是C）-+ （右前- r）五、- X+IT C-,（35）是^V和^Z中的线性函数。

请注意，V由（8）给出，只是方程式的外部输入。根据A.2，相应的约化基本BSDE（24）可明确求解16 A.Lesniewski和A.Richtere。为了简化符号，我们首先设置gt=rKtKt- （rT Ct+rBt）IT Ct+（rF Ct+rCt- qCt）如果Ct+（rXt+rBt+rCt- qCt）Xt+（rBt- rt）（Vt- Xt+IT Ct）++RB（Vt- Xt+IT Ct）-+ （rCt- qCt）RC（Vt- Xt公司- 如果Ct）++（Vt- Xt公司- 如果是Ct）-+ （rFt- rt）（Vt- Xt+IT Ct）-.（36）我们还定义了随机指数^Γt，s=E-Zst公司σ（u，Su）-1.u（u，Su）+（γSu- qSu）Su>dWu公司-Zst（rBu+rCu- qCu）du,对于s≥ t、 观察（9）的结果，以下因式分解属性成立：^Γt，s=Γt，sexp-Zst（rBu+rCu- qCu）du.（37）这表明，交易对手风险对基本BSP的时间演变的影响与额外贴现无关。因此，使用附录A.2中的公式（91），简化基本BSDE的解可以写成^Vt=Eth^Γt，TN（ST）+ZTt^t，sGsdsi=Ethe-RTt（rBu+rCu-qCu）duΓt，TN（ST）+ZTte-Rst（rBu+rCu-qCu）duΓt，sGsdsi。（38）注意，上述公式是（8）的自然延伸。现在，使用x++x-= x、 经过一些代数运算，我们发现（34）中定义的估值调整可以明确表示为at=EthDrB+rC-qC（t，t）- Dr（t，t）Γt，TN（ST）i- （1）-RC）EthZTtDrB+RC-qC（t，s）Γt，s（rCs- qCs）（Vs- Xs型- 如果Cs）+dsi- （1）-RB）EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s（rBs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi+EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，SRKSDSI+EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s射频CsIF Cs- （rT Cs+rs）IT Cs+（rXs+rs）Xsdsi+EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s（rFs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi，（39），其中Dk（t，u）=e-Rutk（v）dv是使用利率k计算的时间间隔[t，u]内的贴现系数。（39）右侧的系数反映了经典Black Scholes模型和上文讨论的交易对手信用风险贴现中的贴现差异。

右侧的其余术语可识别如下：CVAt=-（1）- RC）EthZTtDrB+RC-qC（t，s）Γt，s（rCs- qCs）（Vs- Xs型- 如果Cs）+dsi，（40）管理交易对手信用风险17代表信用估值调整（CVA），DVAt=-（1）- RB）EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s（rBs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi，（41）表示债务估值调整（DVA），KVAt=EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，srKsKsdsi，（42）表示资本估值调整（KVA），MVAt=EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s射频CsIF Cs- （rT Cs+rs）IT Cs+（rXs+rs）Xsdsi，（43）表示保证金估值调整（MVA），最终增值税=EthZTtDrB+rC-qC（t，s）Γt，s（rFs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi（44）是资金估值调整（FVA）。现在，我们将简化基本BSDE（38）的解连接到基本BSDE（22）的解。明确地说，我们在这两个解之间有以下关系：^Vt=^Vtt<τ+θτt≥τ、 ^Zt=^Zt≤τ、 UBt公司=Xt+如果Ct+RC（Vt- Xt公司- 如果Ct）++（Vt- Xt公司- 如果是Ct）--^VtT≤τ、 UCt公司=Xt公司- IT Ct+（Vt- Xt+IT Ct）++RB（Vt- Xt+IT Ct）--^VtT≤τ。（45）上述表达式扩展了文献[9]中相应的显式公式。4.2收尾值M=bV选择调整后的投资组合值M=bV作为收尾值，我们注意到约化基本BSDE的生成器具有以下形式：g（t，S，^V，^Z，θB-^V，θC-^V）=-^Z>σ（t，S）-1.u（t，S）+诊断（γS- qS）S+ rKK公司- （rT C+rB）IT C+（rF C+rC- qC）如果C+（rX+rB+rC- qC）X- （rB+rC- qC）^V+（rB- r）（^V- X+IT C）++RB（^V- X+IT C）-+ （钢筋混凝土- qC）RC（^V- 十、- 如果C）++（^V- 十、- 如果是C）-+ （右前- r）^V- X+IT C-.（46）与M=V的情况相反，由此产生的简化基本BSDE在^V中是非线性的，其解的明确表示不可用。18 A.Lesniewski和A.RichterInstead，我们可以构造一个近似解，假设交易对手信用风险调整A相对于V很小。

具体而言，我们使用近似值：^V+=（V+A）+≈ V++A1V≥0，^V-= （V+A）-≈ 五、-+ A1V<0。（47）该近似值在A中为一阶精度。将^V=V+A代入（24），其中V满足无风险方程（7），并使用上述近似值，我们获得以下调整A的线性b，-dAt=（ht- rtAt+ζ>tht）dt- ζ> tdWt，AT=0。（48）这里，h=G+rV，其中G在（36）中定义，r是以下有效贴现率：r=rB+rC- 质量控制部- （rB- r） （（1- RB）1V-X+IT C≥0+RB）- （钢筋混凝土- qC）（（1- RC）1V-十、-如果C<0+RC）- （右前- r） 1伏-X+IT C<0，h=σ（t，S）-1.u（t，S）+诊断（γS- qS）S.利用附录A.2中总结的结果，我们可以显式求解该线性BSDE。即，我们定义了以下随机指数：ΓAt，s=E-Zst公司σ（u，Su）-1（u（u，Su）+诊断（γSu- qSu）Su）>dWu公司-Zstrudu公司= Dr（t，s）Γt，s。然后是附录A.2中的公式（91），yieldsAt=EthZTtΓAt，shsdsi=EthZTtDr（t，s）Γt，sGs+RSVdsi。（49）管理交易对手信用风险19明确地说，上面的表达式可以写成at=EthZTtDr（t，s）Γt，srsVsdsi- （1）-RC）EthZTtDr（t，s）Γt，s（rCs- qCs）（Vs- Xs型- 如果Cs）+dsi- （1）-RB）EthZTtDr（t，s）Γt，s（rBs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi+EthZTtDr（t，s）Γt，srKsKsdsi+EthZTtDr（t，s）Γt，s射频CsIF Cs- （rT Cs+rs）IT Cs+（rXs+rs）Xsdsi+EthZTtDr（t，s）Γt，s（rFs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi。（50）本表达式中的各个术语可以类似于类似术语in（39）的方式进行解释。请注意，与（39）相比，贴现率rB+rC- QCI替换为r。（50）右侧的第一项是经典Black-Scholes模型和交易对手信用风险贴现中贴现差异的产物。

右侧的其余术语有以下解释：CVAt=-（1）- RC）EthZTtDr（t，s）Γt，s（rCs- qCs）（Vs- Xs型- 如果Cs）+dsi，（51）表示信用估值调整（CVA），DVAt=-（1）- RB）EthZTtDr（t，s）Γt，s（rBs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi，（52）表示债务估值调整（DVA），KVAt=EthZTtDr（t，s）Γt，SRKSDSI，（53）表示资本估值调整（KVA），MVAt=EthZTtDr（t，s）Γt，s射频CsIF Cs- （rT Cs+rs）IT Cs+（rXs+rs）Xsdsi，（54）表示保证金估值调整（MVA），最终增值税=EthZTtDr（t，s）Γt，s（rFs- rs）（Vs- Xs+IT Cs）-dsi（55）是融资估值调整（FVA）。20 A.Lesniewski和A.Richter最后，我们注意到基本BSDE（22）的解决方案通过以下近似值与无风险投资组合价值V相关：^Vt≈ （Vt+At）1t<τ+θτt≥τ、 ^Zt=^Z1t≤τ≈ （Zt+ζt）1t≤τ、 UBt公司≈Xt+如果Ct+RC（Vt- Xt公司- 如果Ct）++（Vt- Xt公司- 如果是Ct）-+ Vt+AtT≤τ、 UCt公司≈Xt公司- IT Ct+（Vt- Xt+IT Ct）++RB（Vt- Xt+IT Ct）-+ Vt+AtT≤τ、 （56）其中A是上述计算的总调整数。我们强调，与（45）不同，上述关系将基本BSDE的解与约化基本BSDE的解联系起来。5定价措施的选择和风险因素的降低迄今为止，我们尚未解决选择定价措施P的问题。该银行的投资组合可能由大量资产组成。在实践中，每种资产类别都是根据其自身的鞅测度进行估值的，而鞅测度又取决于正确选择的基准。例如，掉期期权按照远期掉期计量进行定价，而股票期权按照滚动银行账户计量进行定价。从定价角度来看，这种方法是完全一致的，数字的选择不会影响模型估值。然而，从企业风险管理的角度来看，定价措施的选择至关重要。

由各种资产组成的投资组合的风险不是其组成部分的风险之和，因为资产之间的依赖关系可能会降低或增加总风险。因此，重要的是，蒙特卡罗模拟是在一个共同的定价措施下进行的。对于整个投资组合，没有自然的方法将不同的鞅测度聚合到一个定价测度中。我们在这里不详细讨论这个问题。在我们的模型规范中，我们简单地假设定价度量P不是鞅度量，而是表现为历史（聚合）度量。P的选择取决于银行的风险偏好、监管要求和其他因素，参见[24]、[33]。一旦选择了聚合定价度量P，下一个问题就是模型校准。进入模型的变量有两类：（i）直接可观察的变量，如资产价格、利率、回收率等；（ii）不可直接观察的变量，必须根据市场数据进行估计，如波动率、相关性、违约强度等。。通常，对于间接可观测模型输入，从横截面市场价格推断出的参数与各种鞅测度相关，而从历史时间序列推断出的参数与物理测度相关。请注意，波动率等参数可以从这两种类型的计算中推导出来。它们的数值将有所不同，这取决于它们是作为市场模板计算还是通过最大似然估计计算。然而，通常唯一实用的计算相关性的方法是从历史时间序列。对于违约强度，CDS市场在不可用时会产生风险中性违约概率。

对于流动性较低的名称，在没有流动性CDS市场的情况下，可以使用历史违约数据，如穆迪星展银行或各种信用评级模型（参见示例[30]）。另一个实际问题是风险因素的选择。一家金融机构可能在一个净额结算集中包含数千个头寸，每个头寸都受到市场和交易对手风险的影响。从实践的角度来看，分析一个有如此多风险因素的系统是不可行的。管理交易对手信用风险21为了使问题的维度达到可管理的规模，需要一种减少风险因素数量的方法。在数学方面，我们面临着将解近似为以下高维FBSDE的问题：dSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWt，S=S，-dYt=f（t，St，Yt，Zt）dt- Z> tdWt，YT=ξ（ST）。（57）在系数的通常Lipschitz条件下，标准结果保证了该系统的解（St、Yt、Zt）的存在性和唯一性（见例[31]）。实践中常用的方法是主成分分析（PCA）。具体而言，价格过程的内在协方差具有谱分解：σ（t，St）>σ（t，St）=X1≤我≤nλi，tPi，t，（58），其中λi，t≥ 0是按大小排序的特征值，Pi是光谱投影。一般来说，每个特征值都是非退化的，每个谱投影定义了一个一维子空间。一般来说，特征值和谱投影是随机的，并且取决于工艺停机时间t的实现。如上所述，根据合适的市场数据估计（58）的左侧。如果只有少量F，降低风险因素是可行的 特征值的n解释了方差矩阵，即σ（t，St）>σ（t，St）≈X1≤我≤Fλi，tPi，t，（59），其中xi>F |λi，t |<ε，其中ε是给定的公差水平。

因此，我们考虑投影运算符pt=X1≤我≤FPi，tonto对应于前F个特征值的特征向量所跨越的子空间。确保因子缩减法实用性的关键假设是，无论市场条件如何，PTI都是稳定的，soits范围保持不变。我们可以启发式地将此需求表述为asPt≈ P： =TZTE【Pt】dt，（60），即Ptis大约等于其随时间T的平均P。我们将该投影定义的正交基作为主要因素。P的存在是一个强有力的假设，它是一种替代性的风险模型，如BARRA等，这在股票市场中很常见。22 A.Lesniewski和A.Richternot在一般数学设置中成立。相反，这是一个经验事实，表明金融市场由相对较少的持续经济因素驱动。我们确定了以下数量：（t）=中兴通讯tr公司（英寸- P）σ（u，Su）>σ（u，Su）杜邦1/2=中兴通讯tr公司σ（u，Su）>σ（u，Su）- Pσ（u，Su）>σ（u，Su）P杜邦1/2。（61）大写：，（t） 衡量资产真实协方差与主因子投影得出的运行协方差之间的平均差异。下面确定的关键事实是，N的价格过程S可以在很大程度上准确地根据主要风险因素进行解释。具体而言，我们将布朗运动的投影视为主要因素。一般来说，WTP不是布朗运动。然而，我们可以选择一个标准的F维维纳过程fwtsch，P Wt=UfWt，（62），其中U是一个常数n×F-矩阵，其性质为P=U U，U>U=IF。我们现在考虑一个由主要风险因素驱动的系统，更精确地说，dest=u（t，eSt）dt+σ（t，eSt）UdfWt，eS=s，（63），其中漂移和扩散系数与（1）中的相同。

由于该方程可以理解为具有新扩散系数σ（t，St）U的SDE，因此该解的存在性和唯一性是显而易见的。我们期望此SDE的解近似等于真实过程St。我们将这些直觉转化为如下数学陈述。对于自适应的矩阵值过程XT，我们引入以下半范数：kXtk=Etr（X>tXt）1/2，（64）和normkXk2，∞= sup0≤T≤TXTK。（65）那么我们有以下定理。定理5.1假设u和σ是Lipschitz连续的：ku（t，s）- u（t，~s）k≤ Luks- sk，kσ（t，s）- σ（t，~s）k≤ Lσks- sk，（66）具有恒定的Lu和Lσ，并满足标准生长条件：ku（t，s）k+kσ（t，s）k≤ G（1+ksk），（67），G常数。然后（63）有一个独特的强解，andkeS-Sk2，∞≤√ZT公司（u） 杜邦1/2exp（γT），（68），其中γ为常数。管理交易对手信用风险23附录A.3给出了该定理的证明。上述定理表明，被截断的风险因素驱动的价格过程St确实近似于真实的价格过程St。近似值的权重由QRT给出（u） du，并且它可能在时间范围T内以指数速度衰减。我们现在考虑由主要风险因素驱动的方程组（57）的落后部分：-deYt=f（t，eSt，eYt，eZt）dt-eZ>tUdfWt，eYT=ξ（eST）。（69）注意，与（57）不同，（69）中的驱动过程不再是标准的布朗运动，而是摩尔分数UfWt。在使用该方程时，需要考虑几个理论和实践方面，我们将在【28】中讨论。例如，可以显示上述方程的解（eY，eZ）的存在性，但该解不是唯一的。要了解这一点，请回忆一下ProcessEZ代表的是delta对冲策略，也可以进行比较（20）。降低风险因素会导致市场不完整，因为人们无法再完全对冲自己的头寸。