通过BSDE管理交易对手信用风险

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英文标题：
《Managing counterparty credit risk via BSDEs》
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作者：
Andrew Lesniewski and Anja Richter
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We discuss a general dynamic replication approach to counterparty credit risk modeling. This leads to a fundamental jump-process backward stochastic differential equation (BSDE) for the credit risk adjusted portfolio value. We then reduce the fundamental BSDE to a continuous BSDE. Depending on the close out value convention, the reduced fundamental BSDE\'s solution can be represented explicitly or through an accurate approximate expression. Furthermore, we discuss practical aspects of the approach, important for the its industry applications: (i) efficient numerical methodology for solving a BSDE driven by a moderate number of Brownian motions, and (ii) factor reduction methodology that allows one to approximately replace a portfolio driven by a large number of risk factors with a portfolio driven by a moderate number of risk factors.
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中文摘要：
我们讨论了交易对手信用风险建模的一般动态复制方法。这导致了信用风险调整后的投资组合价值的基本跳跃过程倒向随机微分方程（BSDE）。然后，我们将基本BSDE简化为连续BSDE。根据收尾值惯例，简化基本BSDE的解可以显式表示或通过精确的近似表达式表示。此外，我们还讨论了该方法的实际方面，这对其工业应用非常重要：（i）求解由中等数量布朗运动驱动的BSDE的有效数值方法，以及（ii）因子缩减方法，该方法允许将由大量风险因素驱动的投资组合近似替换为由中等数量风险因素驱动的投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Managing_counterparty_credit_risk_via_BSDEs.pdf (511.76 KB)

2022-5-25 13:44:10 上传

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关键词：信用风险 BSDE SDE Applications Differential

通过BSDesandrewLesniewski和Anja RichterDepartment of MathematicsBaruch CollegeOne Bernard Baruch Way管理交易对手信用风险，纽约州纽约市，邮编10010USA2016年8月18日，Andrew。lesniewski@baruch.cuny.edu，anja。richter@baruch.cuny.eduAbstractWe讨论交易对手信用风险建模的一般动态复制方法。这导致了信贷风险调整后的投资组合价值的一个基本跳跃过程倒向随机微分方程（BSDE）。然后，我们将基本BSDE简化为连续BSDE。根据收尾值惯例，简化的基本BSDE解可以用指数表示或通过精确的近似表达式表示。此外，我们还讨论了该方法的实际方面，这对行业应用非常重要：（i）解决由中等数量布朗运动驱动的BSDE的有效数值方法，以及（ii）因子约简方法，该方法允许人们用由中等数量风险因素驱动的投资组合近似替换由大量风险因素驱动的投资组合。2 A.Lesniewski和A.RichterContents1简介32基本方程42.1模型。42.2交易对手信用无风险价值。72.3结算净额。82.4交易对手信用风险的动态投资组合复制。92.5基本BSDE。123 Burgard Kjaer PDE和Feynman Kac代表144估价调整154.1收尾值M=V。154.2收尾值M=bV。

175定价措施选择和风险因素减少206数值结果246.1离散化FBSDE。246.2通过Longstaff-Schwartz回归的条件期望。256.3^V的数值解。276.4数字插图。27A技术成果和证明28A。1将跳跃BSDE转换为布朗BSDE。29A。2个线性BSDE。30A。3因子折减。30管理交易对手信用风险31简介交易对手信用风险最近已成为金融业和ZF监管机构关注的焦点。2007年之前，金融机构通常根据特殊假设和专有指标为可能的交易对手违约提供准备金。由于2007-2008年的金融危机以及随后更严格的监管要求，交易对手信用风险的仔细分析和更严格的建模方法已成为审慎风险管理实践的核心。特别是，这些发展导致在金融机构内设立了专门的业务部门，其唯一目的是监控和缓解交易对手信用风险。交易对手信用风险建模的各种方法总结见【11】、【15】、【18】。在交易对手信用风险模型中，考虑两方，即交易商（“银行”）和客户（“交易对手”），如资产管理人、对冲基金或公司，它们之间有场外交易组合（OTC）。

在交易的时间范围内，银行或交易对手可能发生违约。该模型的目标是对这种违约风险进行评估，并制定相应的策略来缓解它。交易组合的结构通常是净额结算集的集合。从风险管理的角度来看，同一净额集中的现金流可以部分相互抵消。通常，通过保持适当的现金储备和优质金融资产来管理交易对手信用风险。在信用支持附件（CSA）[21]交易的情况下，双方交换和管理抵押品。此外，全面浮动的交易对手信用风险模型考虑了保证金和融资成本的影响。在本文中，我们关注交易对手信用风险建模的一般方法。我们在讨论中采用的交易对手信用风险的自然建模框架是由倒向随机微分方程（BSDE）提供的。特别是，这种方法可以有效且完全一致地描述交易对手违约估值及其合规策略，并且可以轻松地在数字上实现。自20世纪90年代以来，金融背景下的BSDE已在文献中进行了研究，见[23]，最近已应用于交易对手信用风险建模，见[11]、[6]。我们的方法扩展了Burgard和Kjaer早期开发的偏微分方程（PDE）框架[9]，另见[16]、[17]、[24]。他们的方法基于涉及标的资产以及双方的信用敏感零息票债券的动态复制策略，最终得出交易对手信用敏感工具价值的基本PDE。它们还为许多相关情况下的基本PDE提供了封闭式解决方案。

在这里，我们将他们的方法扩展到更一般的多元扩散设置，包括随机利率和违约强度。遵循类似的策略，我们以纯粹的概率术语制定了交易对手信用风险模型。动态复制方法导致具有随机时间范围的跳扩散BSDE。BSDE可能出现跳跃的原因是，交易对手或银行本身的可能违约（以及投资组合价值的相关变化）可能会随机发生。这类方程通常很难用数值方法求解[13]。受【25】中提出的方法的启发，我们将基本跳跃扩散BSDE简化为具有固定终端时间的连续BSDE。请注意，交易有集中清算的趋势，但大部分交易仍在场外完成。4 A.Lesniewski和A.RichterIn在交易对手或银行违约的情况下，其资产被清算，其债权人的债权得到解决。在违约情况下，使用不同的结算约定来确定双方之间的portfolioof交易的价值。在这里，我们详细讨论了两个显式关闭约定。相应基本BSDE的解决方案根据常用的估值调整（“XVAs”）进行解释。在其中一种情况下，解的闭合形式表示可用，而在另一种情况下，我们推导出解的精确近似。一个重要的实际方面是基本BSDE解决方案的计算可行性。实际上，交易商和交易对手之间的交易组合可能包括数百（或数千）个不同的头寸。对这样一个投资组合进行天真的建模会导致一个高维随机系统。

我们讨论了一种近似方法，该方法允许我们将完整模型简化为由中等数量的风险因素驱动的模型。然后，我们证明折减因子BSDEindeed近似于基本BSDE。此外，我们还简要讨论了选择适当定价措施的问题。对于连续扩散BSDE，已开发出有效的数值格式，参见示例[7]。我们采用一种方案来数值求解简化的基本BSDE，这需要一种有效的方法来计算条件期望值。为此，我们使用了LongstaffSchwartz（29）回归技术的一种变体，该技术适用于我们的环境。具体而言，我们建议使用厄米多项式作为基函数。Hermite多项式有各种各样的优点，例如它们具有加法公式和鞅性质，这为计算条件期望提供了实用的方法。此外，使用Hermite体系结构允许我们用显式表达式表示BSDE解决方案的一部分。我们继续研究[27]中问题的数值方面。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了我们的模型设置，并开发了描述有无交易对手信用风险的投资组合价值的基本方程。第3节介绍了导致Burgard-Kjaer型DE的确定性利率和股息的特殊情况。在第4节中，我们将讨论两个最常见的收尾值的总价值调整。然后，我们将注意力转向实际问题，如第5节中的定价措施选择和风险因素降低。最后，在第6节中，我们提出了一个使用蒙特卡罗方法求解基本BSDE的数值算法。

关键技术成果见附录。2基本方程2。1模型在本节中，我们提出了对两个交易对手（B（“银行”）和C（“客户”）之间的交易对手信用风险建模问题的数学公式。下面的方程式假设了银行B的观点。我们研究了银行与其交易对手C之间的资产S合同，这两种合同都可能违约。在我们的设置中，两种可能的违约都不会对资产产生影响。考虑到这种情况，我们考虑概率空间(Ohm, G，P），并让市场过滤f：=（Ft）t≥0be由n维布朗运动W生成，并由所有（G，P）空集扩充。违约事件的信息由过滤系数J表示：=（Jt）t≥0稍后指定。我们定义了扩大过滤G：=（Gt）t≥0by Gt：=英尺∨Jt，对于所有t≥ 0、然后管理交易对手信用风险5(Ohm, G，P）是满足通常条件的过滤概率空间。有关过滤渐进放大的特性，请参见示例【32，VI.3】。设S=（S，…，Sn）>表示价格过程，即在最小生成元At内的n维马尔可夫过程。度量P下资产的动态为：u（t，St）dt+σ（t，St）dWt，S=S。（1）此处，u：R+×Rn→ Rnandσ：R+×Rn→ Matn（R）是确定性函数，W是标准的n维布朗运动。我们假设u和σ的一般条件，以保证该SDE强解的存在唯一性。此外，sis是一个n维实向量。我们认为净额结算集N由N种工具组成，这些工具可能包括衍生工具和现金类型以及标的资产。从交易对手风险管理的角度来看，与固定交易对手的交易允许在净额结算集中相互抵销。

净额结算的组成由双边协议规定。我们用N（St）表示净值的时间t值。此外，我们考虑无风险（无违约风险）银行账户BR。其动力学为给定的nbydbrt=rtBRtdt，BR=1，（2），其中r是随机信用无风险利率。在下文中，我们假设r以及所有其他利率和股息均根据市场过滤F进行调整。从财务角度来看，r是理论上的“中央保证金账户”支付的利率，可以用theOIS利率表示。在我们的模型中，我们允许银行及其交易对手违约。我们让τBandτc分别表示银行和交易对手的随机违约时间，并通过计算过程Jbt=1τB来表示其指示过程≤t、 andJCt=1τC≤t、 jb和JCs生成的自然过滤构成默认事件过滤J，即Jt：=σ（JBs，JCs:s≤ t） 。假设两个计数过程JB、jc都是Cox过程，即它们具有随机的、与时间相关的强度λB、λC，即λBtdt=e[dJBt | Gt-],λCtdt=E[dJCt | Gt-].我们表示银行和交易对手的违约风险、零回收ZCB PB和PC，其各自的到期日为TBT和TC。它们遵循动态CDPBT=rBtPBtdt- PBt公司-dJBt，dPCt=rCtPCtdt- PCT-dJCt。6 A.Lesniewski和A.RichterHere，调整后的随机过程rB和Rc分别是PBC和PC上的产量。ISDA主协议【21】提供了场外衍生品交易的法律框架，其中包含了双方商定的共同核心和可调整条款。该协议旨在通过记录净额结算、抵押现金流、违约事件和收尾流程等方面来降低（交易对手）风险（见[15、18]）。

在一个通常与交易对手发生多次交易的世界中，净额结算允许双方抵消各自欠对方的款项。2008年的金融危机推动了衍生品定价方法的需求，包括交易对手信用风险方面。目标是确定S上衍生工具净投资组合的价值^V，允许银行B及其交易对手C违约。更准确地说，我们让^V=^V（t，t）表示时间范围为t的网络集N的时间t值，假设满足t≤ 最小值（TB，TC）。无交易对手违约风险的银行与交易对手之间的净额结算集N的值表示为V=V（t，t）。以A表示的这两个值之间的差值称为总估值调整，即^V=V+A。为降低交易对手信用风险，双方以现金或高质量金融工具的形式交换抵押品。OTC交易中抵押品的机制由美国证券交易委员会规定，该委员会通常对ISDA主协议进行修订。通常，我们会区分两种抵押品，即初始保证金和变动保证金。前者由两个交易对手过账，未发生任何净额结算。初始保证金的金额是使用基于风险的方法计算的，如VaR、CoVaR或压力测试。这些计算涉及历史模拟，通常使用1至5年的观察窗，参见示例【15】。为了确保在默认情况下可以检索到共同债券，它是隔离的，不能用于（例如）资助其他头寸。相反，我们表示为X的变动幅度经常根据交易的市场价值计算，可以进行净额结算和再抵押。

我们表示银行B通过IT C向交易对手公布的初始保证金，而交易对手的金额由IF C表示。保证金价值调整（MVA）是银行在一段时间内向交易对手公布初始保证金的成本【0，T】。保证金要求指南见【3】。虽然抵押品可确保违约方在发生违约时部分履行其合同义务，但监管资本旨在帮助存续方管理违约造成的潜在损失。2010年推出的巴塞尔协议III文件提供了计算监管资本K（银行必须持有的准备金数额）的具体指导原则。在[0，T]期间持有该资本的成本称为资本价值调整（KVA）。总价值调整的另一个组成部分是资金价值调整（FVA）。基本上，FVA考虑了无抵押（或部分抵押）头寸的融资成本。关于如何在像我们这样的框架中对待资金调整，存在着一场辩论，见[18]，第349-356页，以及[20]，[1]。在下文中，我们首先根据有条件预期确定合同的无违约价值V。我们提供了默认情况下的现金流净额，并将与投资组合相关的现金流设置为复制价值^V。然后导出了描述交易对手信用风险值^V的基本BSDE。请注意，从现在起，除非另有说明，否则所有利率都被视为适应随机过程。该规则的一个重要例外是当交易对手是中央交易对手（CCP）时。