通过BSDE管理交易对手信用风险

在这种情况下，只有清算会员向清算所提交抵押品。管理交易对手信用风险72.2交易对手信用风险自由值无信用交易对手风险的净额结算集N的值V完全取决于价格过程，其推导过程与经典Black-Scholes模型中的价格类似。像往常一样，我们可以建立一个自我融资的投资组合∏复制V。然而，与经典定价理论相反，S中的头寸并非以单一无风险利率r融资，而是以回购利率qS通过回购协议（repo）融资。这些证券作为现金抵押，用于购买这些证券。实际上，对抵押品收到的现金金额进行折减，即贷款金额小于质押证券的当前面值。折减的金额取决于证券的质量。这里，为了简单起见，我们假设零折减；直接调整我们的计算以适应非零折减。复制投资组合∏由δ单位的S头寸、在回购现金账户中的φSunits头寸和φRunits的BR头寸组成，即我们必须使VT=∏t=δ>tSt+（ДSt）>BSt+ДRtBRt，（3）在任何时候t∈ [0，T]。注意，δ和Д是n维向量。我们在以下方面描述了不同的现金流：证券融资：我们假设证券S中的头寸完全由（无违约风险）回购现金账户BS融资，这意味着我们总是有δ>tSt=-（^1St）>BSt.（4）该等式源自这样一个事实，即如果我们在S中进入多头头寸，即δ>0，我们需要通过回购协议获得完全抵押贷款，即ДS<0来为此次购买融资。另一方面，如果我们出售S，即δ<0，我们将收到的现金投资于BS，即νS>0。

现金账户按回购利率qs计算，按标的资产的股息收益率γ计算，即按bst=diag（qSt）演变- γSt）BStdt，BS=1，（5），其中diag（a）是对角线矩阵，其对角线由向量a给出。回想一下，根据我们的假设，所有速率，如γSand qhere，都是适应的随机过程。无风险存款：从方程式（3）和（4）中，我们可以看到V的融资/收益金额为无风险利率r，更准确地说，我们得到的是VT=ДRtBRt。（6） 然后，自融资条件意味着复制投资组合∏具有动态DVT=d∏t=δ>tdSt+（ДSt）>dBSt+ДRtdBRt，这与S、BSA和BR的动态一起，导致VT=δ>tσ（t，St）dWt+δ> tu（t，St）- （^1St）>诊断（γSt- qSt）BSt+ДRtrtBRtdt，=δ>tσ（t，St）dWt+δ> tu（t，St）+δ>tdiag（γSt- qSt）St+rtVtdt，8 A.Lesniewski和A.Richter，我们在最后一个等式中使用了等式（4）和（6）。如果我们现在设置Z>t=δ>tσ（t，St），我们可以用终值N（St）的BSDE来描述无违约投资组合动力学，即。-dVt公司=- Z> tσ（t，St）-1（u（t，St）+诊断（γSt- qSt）St）- rtVtdt公司- Z> tdWt，VT=N（ST）。（7） 数值V，即该方程解（V，Z）的第一部分，可以明确地找到，因为驱动因素在V和Z中是线性的。更准确地说，从附录A.2中，我们得到了Vt=Ethe-RTtruduΓt，TN（ST）i，（8），其中Γt，t=E-ZTt公司σ（u，Su）-1（u（u，Su）+诊断（γSu- qSu）Su）>dWu公司. （9） 上述方程式扩展了经典的Black-Scholes模型，因为它明确说明了头寸融资成本。在下文中，我们将流程V视为交易对手信贷风险模型的已知输入。2.3平仓净额结算在交易组合的有效期内，银行或交易对手可能违约。

违约时，组合^V的交易对手信用风险调整值由ISDA主协议中规定的条款确定，可以采取多种形式。一般来说，违约价值受到违约方、终止价值M以及抵押品I和X的影响。在文献中，请参阅【15，第3.1.1节】了解更多背景信息，可以找到确定违约价值的几种不同约定。在下面，我们使用符号x+=max{x，0}，和x-= 最小值{x，0}。在交易对手违约的情况下，银行已经拥有抵押品X+如果C。现在，如果无担保价值M- （X+如果C）为负值，即银行欠对方款项，则银行必须支付全部未付金额（M-十、-如果是C）-. 否则，银行只能收回未偿价值的一小部分，更准确地说是RC（M）- 十、- 如果C）+，其中RC∈ [0，1]是C违约情况下的恢复率。这里我们不关心恢复率建模，因此，为了简单起见，我们假设RCI是确定性的。在现实中，恢复率是一个未知的随机变量，不一定能够衡量Gt。总之，我们可以看到，在C默认的情况下，默认值的形式为θC=X+如果C+RC（M- 十、- 如果C）++（M- 十、- 如果是C）-.同样，如果银行本身违约，则有权适当履行合同，因此，除了抵押品金额X之外- IT C收到未清余额（M-X+IT C）+。如果M<X-如果是C，则银行支付其自身债务的一小部分，即RB（M-X+IT C）-, 其中RB∈ [0，1]是银行的（确定性）回收率。

这意味着银行默认值可以表示为：θB=X- IT C+（M- X+IT C）++RB（M- X+IT C）-.请注意，我们在这里遵循的是金融文献中使用的约定，而不是数学文献中使用的约定，根据该约定-= 最大值{-x、 0}。管理交易对手信用风险9因此，违约时的投资组合价值（时间τ=τB∧ τC）由θτ=1τC<τBθCτ+1τB<τCθBτ=1τC<τB（Xτ+如果Cτ+RCMτ- Xτ- 如果Cτ）++（Mτ- Xτ- 如果Cτ）-+ 1τB<τCXτ- IT Cτ+（Mτ- Xτ+IT Cτ）++RB（Mτ- Xτ+IT Cτ）-.（10） 为了考虑违约前的信贷风险投资组合价值，我们建立了一个复制投资组合，包括一个现金账户，反映融资和抵押品交换相关的现金流。2.4交易对手信用风险的动态投资组合复制经典定价理论是围绕市场参与者可以在无需交换抵押品的情况下以单一利率自由借贷的假设发展而来的，即无风险利率r。在这里，我们采用更现实的方法，并指定与不同类型贷款相关的不同融资成本。此外，我们还包括抵押品保证金和银行对不同类型资本的利息收入/支付。我们的目标是为交易对手信贷风险投资组合价值^V构建一个自我融资的复制投资组合，我们将在下一节中进行探讨。复制投资组合^∏由S的δ单位、PB的αBunits、PC的αCunits和现金账户B向量的Д单位组成，其中δ、αB、αCandД是随机过程。现金账户B的向量由几个账户组成，每个账户都有自己的累积率，下面将更详细地讨论这些账户。

更准确地说，帐户B分解为n+6个现金帐户，我们将其写为向量B=（BS，BC，BX，BT C，BF C，BK，BF）>。我们假设每个现金账户都是无违约风险的，在t=0时的值为1，例如BK=1。相应的策略Д表示为Д=（ДS，ДC，ДX，ДT C，ДF C，ДK，ДF）>。每次t时，我们需要^∏tat的值≤ T∧τ复制价值^Vt，即^∏t=^Vt，或等效的^Vt=^∏t=δ>tSt+αBtPBt+αCtPCt+Д>tBt（11）证券融资：如第2.2节所述，在基础S中持仓需要进行回购交易。交易是完全抵押的，我们必须有δ>tSt=-（^1St）>BSt，（12），其中现金账户的动态再次由（5）给出。交易对手债券融资：同样，银行通过回购交易在交易对手债券PCT中建立头寸，即我们必须始终有αCtPCt=-^1CtBCt。（13） 10 A.Lesniewski和A.Richter回购现金账户BC的演变由DBCT=qCtBCtdt给出，其中QCT是债券PC的回购利率。银行及其交易对手必须满足CSA和ZF监管机构规定的双边交易的监管和抵押品要求。初始保证金：初始保证金在合同开始时进行交换，并单独持有，在违约事件发生时不受影响。请注意，初始保证金未扣除。初始保证金，如果C≥ 0，即交易对手在银行过账，融资保证金账户BF C，即我们有IF Ct=ДF CtBF Ct。（14） DBF Ct给出的BF CI动态=-rF CtBF Ctdt，代表银行根据收到的初始保证金向其交易对手支付的rF Ctdt利率。以同样的方式，交易对手的初始保证金≥ 0，在anothermargin账户BT C的账户中持有，这意味着我们拥有- IT Ct=^1T CtBT Ct。

（15） 账户动态BT CisdBT Ct=-rT-CtBT-Ctdt，其中rT-Cis为银行收到的初始过账保证金的利率。变动保证金：与初始保证金不同，变动保证金X通常是完全可再抵押的，当我们考虑不同保证金的融资时，我们会回到这一点。如果X>0，对应于已向银行过账抵押品的交易对手，则由保证金账户BX的ДXshares进行融资。CSA规则规定向缔约方支付利率rXis。另一方面，X<0表示银行将其交易对手的抵押品过账到账户BX中，获得利率rX。综上所述，我们总是有xt=ДXtBXt，（16）和BXisdBXt的动力学=-rXtBXtdt。监管资本现金流：我们将监管资本成本K纳入模型。从股权和债务投资者处筹集的资本，相当于持有一个现金账户BK的单位数小于0，即持有的单位数=-^1KtBKt。（17） 用rK表示资本成本，BKaredBKt的动力学=Rktbktt。管理交易对手信用风险11无抵押头寸的融资：到目前为止，我们只解决了为标的股票S、违约风险交易对手债券PCs和监管资本K中的头寸融资的问题。在这里，我们处理的是对衍生品价值^V和抵押品之间差额的融资。再次说明，在经典的Black-Scholes模型中，没有抵押品，标的股票的delta头寸使用无风险银行账户进行融资。因此，需要融资的金额是衍生价值和增量头寸之间的差额。在我们的案例中，抵押品包括初始保证金和变动保证金，如果分别是C和X。

支付给交易对手的IT Cto价值始终需要融资，而变化保证金X在X>0时降低了融资要求，但在其他方面也会提高。由于交易对手的初始保证金为正，因此也会降低融资要求。然而，初始保证金不可再抵押，因此需要融资的价值为^Vt- （Xt）- IT Ct）。该银行有两个资金来源。一种融资方式是发行自有债券PB，另一种是通过融资账户进行外部融资。具有αbtpB头寸的融资账户的价值必须始终为φFtBFt+αBtPBt=^Vt- Xt+IT Ct。（18） pf的动态取决于值ДFtBFtis是正值还是负值。在前一种情况下，这些现金以无风险利率r投资，以避免引入进一步的信用风险，而在后一种情况下，资金以rF为成本筹集。因此，BFT的演变由DBFT=r±tBFtdt给出，其中r±t=rt{ДFtBFt>0}+rFt{ДFtBFt<0}。在明确了不同现金账户的结构后，我们现在准备确定在违约事件之前复制^V的投资组合∏的动态。因为我们要求复制投资组合是自我融资的，即。

投资组合价值的任何变化仅由基础工具的变化引起，我们必须使d^Vt=d^∏t=δ>tdSt+αBtdPBt+αCtdPCt+Д>tdBt。（19） 结合S、Pb和Pc的动态以及不同现金账户的上述动态，我们得出了∏t=δ>t（u（t，St）dt+σ（t，St）dWt）+αBtrBtPBtdt- PBt公司-dJBt公司+ αCtrCtPCtdt- PCT-dJCt公司- （^1St）>诊断（γSt- qSt）BStdt+ДCtqCtBCtdt- ^1XtrXtBXtdt+ДT CrT CtBT Ctdt- ДF CtrF CtBF Ctdt+ДktRktbdtt+ДFtr±tBFtdt，=δ>t（u（t，St）dt+σ（t，St）dWt）+αBtrBtPBtdt- PBt公司-dJBt公司+ αCtrCtPCtdt- PCT-dJCt公司+ δ> tdiag（γSt- qSt）Stdt- qCtαCtPCtdt+rT CtIT Ct- rF CtIF Ct- rXtXt文本- rKtKt公司dt公司+rt（^Vt- Xt+IT Ct- αBtPBt）+（rFt- rt）（^Vt- Xt+IT Ct- αBtPBt）-dt，12 A.Lesniewski和A.Richterwhere在上一个等式中，我们使用了公式（12）-（18）。我们可以简化动力学tod^∏t=δ>tσ（t，St）dWt- αBtPBt-dJBt公司- αCtPCt-dJCt公司+δ> t型u（t，St）+诊断（γSt- qSt）St+ αBt（rBt- rt）PBt+αCt（rCt- qCt）PCt+（rT Ct+rT）IT Ct- 射频CtIF-Ct- （rXt+rt）Xt- rKtKt+rt^Vt+（rFt- rt）（^Vt- Xt+IT Ct- αBtPBt）-dt。该方程描述了T∧ τ.2.5基本BSDE我们的下一个目标是根据BSDE来描述上述复制问题。

为此，我们设定^Z>t=δ>tσ（t，St），UBt-= -αBtPBt-,UCt公司-= -αCtPCt-.（20） 由于^V=^∏，我们得到d^Vt=^Z>tdWt+UBt-dJBt+UCt-dJCt公司+^Z>tσ（t，St）-1.u（t，St）+诊断（γSt- qSt）St- （rBt- rt）UBt- （rCt- qCt）UCt+（rT Ct+rT）IT Ct- rF CtIF Ct- （rXt+rt）Xt- rKtKt+rt^Vt+（rFt- rt）（^Vt- Xt+IT Ct- αBtPBt）-dt。最后，确定驱动因素（t、s、^v、^z、uB、uC）=- ^z>σ（t，s）-1.u（t，s）+诊断（γSt- qSt）s+ （rBt- rt）uB+（rCt- qCt）uC- （rT Ct+rT）IT Ct+rF CtIF Ct+（rXt+rT）Xt+RKT- rt^v- （rFt- rt）（^v- Xt+IT Ct+uB）-（21）我们可以将对冲组合的演变写为以下BSDE，-d^Vt=g（t，St，^Vt，^Zt，UBt，UCt）dt-^Z>tdWt- UBt公司-dJBt公司- UCt公司-dJCt，t∈ [0，τ∧ T]，^Vτ∧T=1τ>TN（ST）+1τ≤Tθτ。（22）我们将此方程称为交易对手信用风险建模的基本BSDE。回想一下，默认值θτ已在第2.3节中定义。与标准SDE不同，标准SDE在应用中由初值条件补充，BSDE由终值条件构成。基本BSDE的终端条件要求考虑三种可能的结果。如果银行和交易对手均未在最终到期日T之前违约，我们的流程将在T结束，^VT=N（ST）=VT。另一方面，如果违约管理交易对手信用风险13发生在T之前，则投资组合将关闭，流程提前终止。在这种情况下，最终投资组合值θτ取决于哪一方首先违约，由（10）给出。请注意，如果在时间τ发生违约，基本BSDE可能会发生跳跃，这使得其数值实现相当复杂。幸运的是，这个方程有一个明确的映射到一个连续的BSDE上，这在概念上很清楚，并且允许标准的数值实现。附录A.1详细介绍了这种转换。

具体而言，我们在那里展示了可以表示所有t的^Vt、^Zt、UBt和UCT∈ [0，T]，如^Vt=^Vt<τ+θτT≥τ、 ^Zt=^Zt≤τ、 UBt=（θBt-^Vt）1t≤τ、 UCt=（θCt-^Vt）1t≤τ、 （23）其中一对过程（^Vt，^Zt）是以下BSDE的解决方案：-d^Vt=g（t，St，^Vt，^Zt，θBt-^Vt，θCt-^Vt）dt-^Z>tdWt，^VT=N（ST），t∈ [0，T]。（24）我们将此方程称为约化基本BSDE。我们在此强调，找到减少的BSDE（24）的解决方案，然后使用（23）确定信贷风险投资组合价值^V就足够了。因此（24）将在本文的其余部分中发挥中心作用。作为上述缩减的一个简单但有指导意义的示例，我们考虑以下jumpBSDE：-dYt=（αYt+βUt）dt- UtdJt，Yτ∧T=ξ1τ>T+θ1τ≤T、 （25）式中α，β，θ∈ R是常数，ξ是FT可测的随机变量。我们按照上述步骤找到此BSDE的封闭式解决方案。关键是再次减少随机时间范围内的BSDE，并跳转到具有固定时间范围T且无跳跃的BSDE。相应的约化方程如下所示：-dYt=（αYt+β（θ- Yt）dt，Yt=ξ，（26）是一个线性非均匀常微分方程。Its解决方案就绪=ξ+βθα- βe（α-β） （T-t）-βθα- β。因此，应用定理a.1给出了（25）asYt的显式解（Y，U=ξ+βθα- βe（α-β） （T-t）-βθα- βT≤τ+θ1t>τ，Ut=αθα- β-ξ+βθα- βe（α-β） （T-t）T≤τ。请注意，如果没有约化步骤，很难直接求解（25）。14 A.Lesniewski和A.Richter3 Burgard-Kjaer PDE和Feynman-Kac代表在本节中，我们根据Burgard和Kjaer的精神推导出基本PDE，请参见【9】，【15】。该方法要求上述所有利率和股息都是确定性的。